2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時集訓(xùn)47《拋物線》文數(shù)（含解析）北師大版 試卷

課后限時集訓(xùn)(四十七)　(建議用時：60分鐘)A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=1，則a的值為(　　)A．　　 　B．－　　 　C．4　　 　D．－4B　[由y=ax2，變形得x2=y=2×y，∴p=.又拋物線的準(zhǔn)線方程是y=1，∴－=1，解得a=－.]2．若動點M(x，y)到點F(4,0)的距離比它到直線x=－5的距離小1，則點M的軌跡方程是(　　)A．x=－4 B．x=4C．y2=8x D．y2=16xD　[依題意可知點M到點F的距離等于點M到直線x=－4的距離，因此點M的軌跡是拋物線，且頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，p=8，∴點M的軌跡的方程為y2=16x，故選D.]3．已知AB是拋物線y2=8x的一條焦點弦，|AB|=16，則AB中點C的橫坐標(biāo)是(　　)A．3 B．4C．6 D．8C　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|=x1＋x2＋p=16，又p=4，所以x1＋x2=12，所以點C的橫坐標(biāo)是=6.]4．以x軸為對稱軸，原點為頂點的拋物線上的一點P(1，m)到焦點的距離為4，則拋物線的方程是(　　)A．y=4x2 B．y=12x2C．y2=6x D．y2=12xD　[設(shè)拋物線方程為y2=2px(p＞0)，則準(zhǔn)線方程為x=－，由題知1＋=4，∴p=6，∴拋物線方程為y2=12x，故選D.]5．(2019·湖北荊州模擬)從拋物線y2=4x在第一象限內(nèi)的一點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|=9，設(shè)拋物線的焦點為F，則直線PF的斜率為(　　)A． B．C． D．C　[設(shè)P(x0，y0)，由拋物線y2=4x，可知其焦點F的坐標(biāo)為(1,0)，故|PM|=x0＋1=9，解得x0=8，故P點坐標(biāo)為(8,4)，所以kPF==.]二、填空題6．(2019·泰安期末)若拋物線x2=4y上的點A到焦點的距離為10，則點A到x軸的距離是________．9　[根據(jù)題意，拋物線x2=4y的準(zhǔn)線方程為y=－1，點A到準(zhǔn)線的距離為10，故點A到x軸的距離是9.]7．(2019·營口期末)直線y=k(x－1)與拋物線y2=4x交于A，B兩點，若|AB|=，則k=________.±　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為直線AB經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，所以|AB|=x1＋x2＋2=，所以x1＋x2=.聯(lián)立得到k2x2－(2k2＋4)x＋k2=0，所以x1＋x2==，所以k=±.]8．(2018·北京高考)已知直線l過點(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y2=4ax截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標(biāo)為________．(1,0)　 [由題知直線l的方程為x=1，則直線與拋物線的交點為(1，±2)(a>0)．又直線被拋物線截得的線段長為4，所以4=4，即a=1.所以拋物線的焦點坐標(biāo)為(1,0)．]三、解答題9．(2019·襄陽模擬)已知點F，M(0,4)，動點P到點F的距離與到直線y=－的距離相等．(1)求點P的軌跡方程；(2)是否存在定直線y=a，使得以PM為直徑的圓與直線y=a的相交弦長為定值？若存在，求出定直線方程，若不存在，請說明理由．[解]　(1)設(shè)P(x，y)，由題意得=，化簡得y=x2.∴點P的軌跡方程為x2=y.(2)假設(shè)存在定直線y=a，使得以PM為直徑的圓與直線y=a的相交弦長為定值，設(shè)P(t，t2)，則以PM為直徑的圓方程為2＋2=，∴以PM為直徑的圓與直線y=a的相交弦長為l=2=2若a為常數(shù)，則對于任意實數(shù)y，l為定值的條件是a－=0，即a=時，l=.∴存在定直線y=，以PM為直徑的圓與直線y=的相交弦長為定值．10．如圖，已知點F為拋物線E：y2=2px(p＞0)的焦點，點A(2，m)在拋物線E上，且|AF|=3.(1)求拋物線E的方程；(2)已知點G(－1,0)，延長AF交拋物線E于點B，證明：GF為∠AGB的平分線．[解]　(1)由拋物線定義可得|AF|=2＋=3，解得p=2.∴拋物線E的方程為y2=4x.(2)證明：∵點A(2，m)在拋物線E上，∴m2=4×2，解得m=±2，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A(2,2)，由A(2,2)，F(1,0)，∴直線AF的方程為y=2(x－1)，由得2x2－5x＋2=0，解得x=2或，∴B.又G(－1,0)，∴kGA=，kGB=－，∴kGA＋kGB=0，∴∠AGF=∠BGF.∴GF為∠AGB的平分線．B組　能力提升1．(2019·雞西模擬)已知圓C：x2＋y2＋6x＋8y＋21=0，拋物線y2=8x的準(zhǔn)線為l.設(shè)拋物線上任意一點P到直線l的距離為m，則m＋|PC|的最小值為(　　)A．5　　　　B.　　　　C．－2　　　　D．4B　[由題意得，圓C的圓心坐標(biāo)為(－3，－4)，拋物線的焦點為F(2,0)．根據(jù)拋物線的定義，得m＋|PC|=|PF|＋|PC|≥|FC|=.]2．(2019·長春模擬)過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F且傾斜角為120°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點，則的值等于(　　)A． B．C． D．A　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|=x1＋x2＋p==，所以x1＋x2=.又x1x2=，可得x2=p，x1=，則==.故選A．]3．(2019·山東棗莊期末)已知拋物線C1：y2=2px(p＞0)的焦點F與雙曲線C2：－=1(b＞0)的一個焦點重合，若點F到雙曲線C2的一條漸近線的距離為1，則C1的焦點F到其準(zhǔn)線的距離為________．4　[根據(jù)題意，雙曲線的一個焦點為(，0)，它到一條漸近線y=x的距離為=b=1，所以焦點F(2,0)，所以拋物線方程為y2=8x，其準(zhǔn)線方程為x=－2，故C1的焦點F到其準(zhǔn)線的距離為4.]4．(2019·江西吉安模擬)已知拋物線C1：x2=2py(p＞0)與圓C2：x2＋y2=5的兩個交點之間的距離為4.(1)求p的值；(2)設(shè)過拋物線C1的焦點F且斜率為k的直線與拋物線交于A，B兩點，與圓C2交于C，D兩點，當(dāng)k∈[0,1]時，求|AB|·|CD|的取值范圍．[解]　(1)由題意知，交點坐標(biāo)為(－2,1)，(2,1)，代入拋物線C1：x2=2py，解得p=2.(2)由(1)知，拋物線C1方程為x2=4y，故拋物線C1的焦點F(0,1)．設(shè)直線方程為y=kx＋1，與拋物線C1：x2=4y聯(lián)立化簡得x2－4kx－4=0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2=4k，x1x2=－4，∴|AB|=·=·=4(1＋k2)．∵圓心C2到直線y=kx＋1的距離為d=，∴|CD|=2=2=2.∴|AB|·|CD|=4(1＋k2)×2=8=8.又k∈[0,1]，∴|AB|·|CD|的取值范圍為[16,24]．