2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時(shí)集訓(xùn)41《簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積》文數(shù)（含解析）北師大版 試卷

課后限時(shí)集訓(xùn)(四十一)　(建議用時(shí)：60分鐘)A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　)A．　　　 B.C．2π D．4πB　[依題意知，該幾何體是以為底面半徑，為高的兩個(gè)同底圓錐組成的組合體，則其體積V=π×()2×2=π.]2．一個(gè)正方體挖去一個(gè)多面體所得的幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖、左視圖和俯視圖均為邊長(zhǎng)等于2的正方形，則這個(gè)幾何體的表面積為(　　)A．16＋4 B．16＋4C．20＋4 D．20＋4D　[由三視圖可知，該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)部挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2的正四棱錐，將三視圖還原可得如圖，可得其表面積為S=5×22＋4××2×=20＋4，故選D.]3．(2018·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　)A．2　　　　B．4C．6　　　　D．8C　[由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V=×(1＋2)×2×2=6.故選C．]4．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則主視圖中的x的值是(　　)A．2 B．C． D．3D　[由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底=×(1＋2)×2=3，∴V=x·3=3，解得x=3.]5．(2019·昆明模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為(　　)A．36π B．8πC．π D．πB　[根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是底面為等腰直角三角形，高為2的直三棱錐，如圖所示，則該直三棱錐的外接球是對(duì)應(yīng)直三棱柱的外接球，設(shè)幾何體外接球的半徑為R，∴2R=VB.∵VB==2，∴R=，∴該幾何體的外接球的表面積是4πR2=8π.故選B.]二、填空題6．現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個(gè)，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_(kāi)_____．　[設(shè)新的底面半徑為r，由題意得×π×52×4＋π×22×8=×π×r2×4＋π×r2×8，∴r2=7，∴r=.]7．一個(gè)六棱錐的體積為2，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．12　[設(shè)正六棱錐的高為h，棱錐的斜高為h′.由題意，得×6××2××h=2，∴h=1，∴斜高h′==2，∴S側(cè)=6××2×2=12.]8．(2019·惠州模擬)已知三棱錐S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜邊AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，則三棱錐S-ABC的外接球的表面積為_(kāi)_______．100π　[將三棱錐S-ABC放在長(zhǎng)方體中(圖略)，易知三棱錐S-ABC所在長(zhǎng)方體的外接球，即為三棱錐S-ABC的外接球，所以三棱錐S-ABC的外接球的直徑2R==10，即三棱錐S -ABC的外接球的半徑R=5，所以三棱錐S-ABC的外接球的表面積S=4πR2=100π.]三、解答題9．如圖，從正方體ABCD-A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)中選出的4個(gè)點(diǎn)恰為一個(gè)正四面體的頂點(diǎn)．(1)若選出4個(gè)頂點(diǎn)包含點(diǎn)A，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出這個(gè)正四面體；(2)求棱長(zhǎng)為a的正四面體外接球的半徑．[解]　(1)如圖所示，選取的四個(gè)點(diǎn)分別為A，D1，B1，C．(2)棱長(zhǎng)為a的正四面體外接球的半徑等于正方體外接球的半徑等于正方體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)a，所以正方體的邊長(zhǎng)為a，因此外接球的半徑為×a=a.10．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4.過(guò)點(diǎn)E，F的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形．(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由)；(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值．[解]　(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示．(2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8.因?yàn)樗倪呅?/span>EHGF為正方形，所以EH=EF=BC=10.于是MH==6，AH=10，HB=6.故S四邊形A1EHA=×(4＋10)×8=56，S四邊形EB1BH=×(12＋6)×8=72.因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為.B組　能力提升1．(2019·青島模擬)如圖為某個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　)A．12－　　　　　B．12－πC．12－ D．12－A　[由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)正四棱柱挖掉一個(gè)半圓錐所得到的幾何體，其直觀圖如圖所示，其中正四棱柱的底面正方形的邊長(zhǎng)a=2，半圓錐的底面半徑r=1，高h=3，所以正四棱柱的體積V1=a2h=22×3=12，半圓錐的體積V2=×r2h=×12×3=，所以該幾何體的體積V=V1－V2=12－.]2．(2018·株洲模擬)已知正三棱錐P-ABC的主視圖和俯視圖如圖所示，則此三棱錐外接球的表面積為(　　)A． B．C． D．12πB　[如圖，作PG⊥CB于點(diǎn)G，連接AG，設(shè)點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的射影為D，連接PD，依題易得AB=2，PG=，PA=4，AD=2，PD=2，PD⊥平面ABC．易知，正三棱錐P-ABC外接球的球心在PD上，不妨設(shè)球心為O，半徑為r，連接OA，則在Rt△AOD中，r2=22＋(2－r)2?r2=，S=4πr2=.故選B.]3．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為_(kāi)_______．8π　[由題意畫(huà)出圖形，如圖，設(shè)AC是底面圓O的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則由SA⊥SB，△SAB的面積為8，得l2=8，得l=4.在Rt△ASO中，由題意知∠SAO=30°，所以SO=l=2，AO=l=2.故該圓錐的體積V=π×AO2×SO=π×(2)2×2=8π.]4．一個(gè)透明的球形裝飾品內(nèi)放置了兩個(gè)公共底面的圓錐，且這兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在這個(gè)球面上，如圖，已知圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r.(1)試確定R與r的關(guān)系，并求出較大圓錐與較小圓錐的體積之比；(2)求出兩個(gè)圓錐的體積之和與球的體積之比．[解]　(1)不妨設(shè)球的半徑為4；則球的表面積為64π，圓錐的底面積為12π，所以圓錐的底面半徑為2.由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離，球的半徑以及圓錐底面的半徑三者可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形．由此可以求得球心到圓錐底面的距離是=2，所以圓錐體積較小者的高為4－2=2，同理可得圓錐體積較大者的高為4＋2=6.又由這兩個(gè)圓錐的底面相同，所以較大圓錐與較小圓錐的體積之比等于它們高之比，即3∶1.(2)由(1)可得兩個(gè)圓錐的體積和為·π·(2)2·8=32π，球的體積為·π·43=π，故兩個(gè)圓錐的體積之和與球的體積之比為32π∶π=3∶8.