第15講


講














軸對(duì)稱現(xiàn)象及其性質(zhì)


























概述





【教學(xué)建議】


本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是使學(xué)生認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形，理解軸對(duì)稱圖形的含義并能夠做出相應(yīng)的對(duì)稱軸、設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形；并且要區(qū)分軸對(duì)稱圖形和成軸對(duì)稱的圖形，可以利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題。





學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)時(shí)可能會(huì)在以下三個(gè)方面感到困難：


1. 軸對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)及對(duì)稱軸；


2.設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖形；


3.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)。





【知識(shí)導(dǎo)圖】














教學(xué)過(guò)程








一、導(dǎo)入





【教學(xué)建議】


有關(guān)軸對(duì)稱圖形的問(wèn)題，首先要讓學(xué)生掌握軸對(duì)稱的基本概念，并能做出軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸；然后要讓學(xué)生理解成軸對(duì)稱的圖形的性質(zhì)，并可根據(jù)性質(zhì)設(shè)計(jì)出簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形。


要注意強(qiáng)調(diào)對(duì)稱軸是一條直線，且不同圖形的對(duì)稱軸條數(shù)是不同的。








二、知識(shí)講解








知識(shí)點(diǎn)1 軸對(duì)稱圖形


后對(duì)此





1.軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形；


2.成軸對(duì)稱的圖形：如果兩個(gè)平面圖形沿一條直線對(duì)折后能夠完全重合，那么稱這兩個(gè)圖形形成軸對(duì)稱；


3．對(duì)稱軸的判斷。





知識(shí)點(diǎn)2 軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)





1. 在軸對(duì)稱圖形或兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等


2.設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形。


e


三、例題精析








例題1





【題干】下列說(shuō)法正確的是（ ）


A．能夠完全重合的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱


B．全等的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱


C．形狀一樣的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱


D．沿著一條直線對(duì)折能夠重合的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱


【答案】D


【解析】 A．能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；


B．C．如下圖可知，此兩個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤；


D．沿著一條直線對(duì)折能夠重合的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，此選項(xiàng)正確；


故選D．








例題2





【題干】、下面有4個(gè)汽車標(biāo)志圖案，其中是軸對(duì)稱圖形的是 （ ）





A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④


【答案】B


【解析】觀察圖形可知④不是軸對(duì)稱圖形，故選B





例題3





【題干】動(dòng)手操作，將如圖1中的正方形紙片沿其中一條對(duì)角線對(duì)折后，再沿原正方形的另一條對(duì)角線對(duì)折，如圖2剪下一部分紙片，如圖3所示，若下列有一圖形為圖3的展開(kāi)圖，則此圖為（ ）





【答案】B


【解析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特征，可知選B.





例題4





【題干】如圖①是3×3正方形方格，將其中兩個(gè)方格涂黑，并且使涂黑后的整個(gè)圖案是軸對(duì)稱圖形，約定繞正方形ABCD的中心旋轉(zhuǎn)能重合的圖案都視為同一種圖案，例如圖②中的四幅圖就視為同一種圖案，則得到的不同圖案共有（ ）





A．4種 B．5種 C．6種 D．7種


【答案】C


【解析】符合要求的圖形有以下6種，故答案選C．








例題5





【題干】如圖，等邊△ABC中，AB=5，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，將△EDC沿直線DE翻折后，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，且點(diǎn)C′在△ABC的外部，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為 ．





【答案】15


【解析】由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知：CE= C′E，CD= C′D，故陰影部分的周長(zhǎng)等于△ABC的周長(zhǎng)，為15.








四 、課堂運(yùn)用





【教學(xué)建議】


在講解過(guò)程中，教師可以通過(guò)作圖、折紙讓學(xué)生切實(shí)了解軸對(duì)稱圖形的概念及性質(zhì)，并要注意與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合和與之前所學(xué)的全等三角形的聯(lián)系，加深學(xué)生的理解。





基礎(chǔ)





1.下列標(biāo)志中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（ ）


A． B． C． D．


【答案】D


【解析】將圖形沿著某條直線對(duì)稱，如果直線兩邊的圖形能夠完全重疊，則圖象就是軸對(duì)稱圖形．根據(jù)定義可得D是軸對(duì)稱圖形．


2. 一只小狗正在平面鏡前欣賞自己的全身像（如圖所示），此時(shí)，它所看到的全身像是（ ）








【答案】A


【解析】根據(jù)成軸對(duì)稱的圖形的性質(zhì)判斷，選A。


3. 如圖，ΔABC與ΔA'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，∠A=50°，∠C'=30°，則∠B的度數(shù)為 （ ）





A．30° B．50° C．90° D．100°


【答案】D


【解析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，可知：∠C=∠C'=30°


由三角形內(nèi)角和為180°可知：


∠B=180°-50°-30°=100°


故選D。


4. 請(qǐng)分別畫出下圖中各圖的所有對(duì)稱軸．


（1）正方形 （2）正三角形 （3）相交的兩個(gè)圓





【答案】見(jiàn)解析。


【解析】正方形有四條對(duì)稱軸，正三角形有三條對(duì)稱軸，最后的兩圓有兩條對(duì)稱軸





鞏固





一個(gè)汽車牌在水中的倒影為，則該車牌照號(hào)碼 。


【答案】M17936


【解析】該車牌照號(hào)碼與看到的圖象關(guān)于一條直線對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)寫出即可


2. 將一正方形紙片按下面圖（1）、（2）的方式依次對(duì)折后，再沿（3）中的虛線裁剪，最后將（4）中的紙片打開(kāi)鋪平，所得圖案應(yīng)該是下面圖案中的（ ）








【答案】B


【解析】嚴(yán)格按照?qǐng)D中的順序向右對(duì)折，向上對(duì)折，從正方形的上邊的中點(diǎn)處剪去一個(gè)小長(zhǎng)方形，從正方形的左下角剪去一個(gè)小長(zhǎng)方形，展開(kāi)得到結(jié)論．


故選B．





3. 如圖，△ABC 與△BAD關(guān)于直線ON成軸對(duì)稱，且直線ON與AB交于點(diǎn)N，若AN的長(zhǎng)為5cm，△AOD的周長(zhǎng)為26cm，則△ABC 的周長(zhǎng)為_(kāi)______cm。





【答案】36


【解析】∵△ABC 與△BAD關(guān)于直線ON


∴AO=BO AN=BN


∴△ABC的周長(zhǎng)=26+10=36cm


4. 、如圖，已知五邊形ABCDE是軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)B．E是一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺畫出該圖形的對(duì)稱軸．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）


A


B


C


D


E





【答案】見(jiàn)解析。


【解析】如圖所示，直線AK即為所求的一條對(duì)稱軸（解答不唯一）．











拔高





1. 將一張正方形紙片按下圖所示的方式三次折疊，折疊后再按圖中所示沿MN裁剪，則可得（ ）





A．多個(gè)等腰直角三角形


B．一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正方形


C．四個(gè)相同的正方形


D．兩個(gè)相同的正方形


【答案】C


【解析】解：按圖中所示的方式折疊，然后剪開(kāi)，可得四個(gè)相同的正方形；


故選C.


2. 如圖，點(diǎn)P是∠AOB外的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)R落在MN的延長(zhǎng)線上．若PM=3cm，PN=4cm，MN=4．5cm，則線段QR的長(zhǎng)為_(kāi)_________。





【答案】5．5cm


【解析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出PM=MQ=3cm，PN=NR=4cm，


又因MN=4cm，可得NQ=MN-MQ=4．5-3=1．5cm，


則線段QR=RN+NQ=4+1．5=5．5cm．


3. 如圖所示，在所給正方形網(wǎng)格圖中完成下列各題：（用直尺畫圖，保留痕跡）





（1）求出格點(diǎn)△ABC（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）的面積；


（2）畫出格點(diǎn)△ABC關(guān)于直線DE對(duì)稱的△A′B′C′；


（3）在DE上畫出點(diǎn)Q，使△QAB的周長(zhǎng)最?。?br/>

【答案】見(jiàn)解析。


【解析】（1）S=3×3－1×3÷2－3×2÷2－1×2÷2=9－1．5－3－1=3．5


（2）（3）如圖所示：














課堂小結(jié)





軸對(duì)稱圖形的概念；


軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)；


軸對(duì)稱圖形作圖；


軸對(duì)稱圖形與全等圖形的綜合應(yīng)用。








擴(kuò)展延伸








基礎(chǔ)





1. 將一張矩形紙片對(duì)折，用筆尖在上面扎個(gè)“R”,再鋪平，可以看到 （ ）





【答案】C


【解析】觀察選項(xiàng)可知，只有C是軸對(duì)稱圖形.


2. 小宏從鏡子里看到墻上鐘表的時(shí)刻如下圖所示，而實(shí)際時(shí)間為（ ）





A．2：05 B．9：55 C．10：55 D．3：55


【答案】B


【解析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右顛倒，題中所顯示的時(shí)刻成軸對(duì)稱，所以此時(shí)實(shí)際時(shí)刻為：9：55．故選：B．


3. 如圖是一個(gè)圖案的一半，其中虛線是這個(gè)圖案的對(duì)稱軸，請(qǐng)你畫出這個(gè)圖案的另一半．








【答案】見(jiàn)解析。


【解析】利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案．


如圖所示：





4. 如圖，陰影部分是由5個(gè)小正方形組成的一個(gè)直角圖形，請(qǐng)用二種方法分別在下圖方格內(nèi)添涂黑二個(gè)小正方形，使陰影部分成為軸對(duì)稱圖形．





【答案】見(jiàn)解析。


【解析】作簡(jiǎn)單平面圖形軸對(duì)稱后的圖形，其依據(jù)是軸對(duì)稱的性質(zhì)．基本作法：①先確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；②利用軸對(duì)稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；③按原圖形中的方式順次連接對(duì)稱點(diǎn)．


試題解析：解：如圖所示：


（答案不唯一）．








鞏固





1. 如圖，將長(zhǎng)方形ABCD的一角沿AE折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，若∠CED′=50°，則∠DEA=______．





【答案】65°


【解析】解：根據(jù)題意可得：∠DED′=180°－50°=130°，


根據(jù)折疊圖形的性質(zhì)可得：∠DEA=130°÷2=65°


2. 如圖：點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，則△PMN的周長(zhǎng)為 ．





【答案】15


【解析】解：因?yàn)镻點(diǎn)關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，所以P1M=PM, P2N=PN,


所以△PMN的周長(zhǎng)=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN= P1P2=15．


3. 如圖1，將矩形紙片沿虛線AB按箭頭方向向右對(duì)折， 再將對(duì)折后的紙片沿虛線CD向下對(duì)折，然后剪下一個(gè)小三角形，最后，把紙片打開(kāi)，所得展開(kāi)圖為（ ）





【答案】D


【解析】解：∵第三個(gè)圖形是三角形，


∴將第三個(gè)圖形展開(kāi)，可得，即可排除答案A，


∵再展開(kāi)可知兩個(gè)短邊正對(duì)著，


∴選擇答案D，排除B與C．


故選D．


4. 如圖是3×3正方形網(wǎng)格，其中已有4個(gè)小方格涂成了黑色．移動(dòng)其中一個(gè)黑色方塊到其他無(wú)色位置，使得整個(gè)圖形成為軸對(duì)稱圖形（包括黑色部分），你有______種不同的移法．





【答案】8


【解析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)只要把其中一個(gè)移到的位置能符合軸對(duì)稱即可。





拔高





1. 牧童在點(diǎn)A處放牛，其家在點(diǎn)B處，牧童從A處牽牛到河邊飲水后再回家，是否有最近的路線可走？若有，請(qǐng)通過(guò)作圖說(shuō)明在何處飲水，所走的路線最短，并標(biāo)出路線。





【答案】見(jiàn)解析


【解析】作點(diǎn)A關(guān)于直線MN（河）的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B與MN相交于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最短．





2.在3×3的正方形格點(diǎn)圖中，有格點(diǎn)△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF關(guān)于某直線成軸對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)谙旅娼o出的圖中畫出4個(gè)這樣的△DEF．


圖①


圖②





圖③


圖④





【答案】見(jiàn)解析


【解析】：解：答案不唯一，以下均可．





3. 如圖，在矩形ABCD中，AB的長(zhǎng)度為a，BC的長(zhǎng)度為b，其中b＜a＜b．將此矩形紙片按下列順序折疊，則C′D′的長(zhǎng)度為 （用含a、b的代數(shù)式表示）．





【答案】3a-2b


【解析】解：試題解析：由軸對(duì)稱可以得出A′B=AB=a，


∵BC=b，


∴A′C=b-a．


由軸對(duì)稱可以得出A′C′=b-a，


∴C′D′=a-2（b-a），


∴C′D′=3a-2b．


4. 如圖，將矩形ABCD沿DE折疊，使A點(diǎn)落在BC上F處，若∠EFB＝60°，則∠AED＝______________．





【答案】75°


【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠B＝90°，


因?yàn)椤螮FB＝60°，所以∠BEF＝30°，所以∠AEF＝180°－30°＝150°，


因?yàn)榫匦蜛BCD沿DE折疊點(diǎn)A落在BC上F處，


所以∠AED＝∠FED＝∠AEF，


所以∠AED＝×150＝75°.











教學(xué)反思





適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初中三年級(jí)
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
1、軸對(duì)稱圖形概念


2、成軸對(duì)稱關(guān)系


3、軸對(duì)稱的性質(zhì)


4、作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的對(duì)稱圖形
教學(xué)目標(biāo)
1、通過(guò)豐富的圖形，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形，知道軸對(duì)稱圖形的含義，能識(shí)別軸對(duì)稱圖形，找出對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，并能設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形.


2、會(huì)畫簡(jiǎn)單圖形的軸對(duì)稱圖形.


3、培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力；培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力；培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)
認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱，能識(shí)別軸對(duì)稱圖形，并且能夠做出簡(jiǎn)單圖形的軸對(duì)稱圖形.
教學(xué)難點(diǎn)
區(qū)別軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形.能畫出它們的對(duì)稱軸，作簡(jiǎn)單圖形的軸對(duì)稱圖形.

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初中數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

1 軸對(duì)稱現(xiàn)象

版本： 北師大版

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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