第2講　參數(shù)方程

[考綱解讀]　了解參數(shù)方程及參數(shù)的意義，掌握直線、圓及橢圓的參數(shù)方程，并能利用參數(shù)方程解決問題．(重點、難點)
[考向預(yù)測]　從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個必考點．預(yù)測2021年將會考查參數(shù)方程與普通方程的互化及直線與橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用．





對應(yīng)學(xué)生用書P209
1.曲線的參數(shù)方程
一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，并且對于t的每一個允許值，由這個方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．
2.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程
點的軌跡
普通方程
參數(shù)方程
直線
y－y0＝tanα(x－x0)

(t為參數(shù))
圓
x2＋y2＝r2
(θ為參數(shù))
橢圓
＋＝1(a>b>0)
(φ為參數(shù))
提醒：直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離.

1.概念辨析
(1)直線(t為參數(shù))的傾斜角α為30°.(　　)
(2)過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點M0為起點，任一點M(x，y)為終點的有向線段的數(shù)量．(　　)
(3)方程表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓．(　　)
(4)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應(yīng)參數(shù)t＝，點O為原點，則直線OM的斜率為.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.小題熱身
(1)若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線的斜率為________．
答案?。?br /> 解析　因為所以3x＋2y＝7，因此直線的斜率為－.
(2)橢圓(θ為參數(shù))的離心率為________．
答案　
解析　將消去參數(shù)θ，得橢圓＋＝1.
所以a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，所以a＝5，b＝3，c＝4，所以離心率e＝＝.
(3)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則曲線C的普通方程為________．
答案　y＝2－2x2(－1≤x≤1)
解析　由(θ為參數(shù))消去參數(shù)θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1).



對應(yīng)學(xué)生用書P209
題型 一　參數(shù)方程與普通方程的互化

1.求直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點個數(shù)．
解　將消去參數(shù)t得直線x＋y－1＝0；
將消去參數(shù)α，得圓x2＋y2＝9.
又圓心(0,0)到直線x＋y－1＝0的距離d＝0且λ≠1)，P點的軌跡是圓．”這個圓我們稱之為“阿波羅尼奧斯圓”．已知點M與長度為3的線段OA兩端點的距離之比為＝，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出M點的軌跡方程并化為參數(shù)方程．
解　由題意，以O(shè)A所在直線為x軸，過O點作OA的垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)M(x，y)，則O(0,0)，A(3,0)．
因為＝，即＝，
化簡得(x＋1)2＋y2＝4，
所以點M的軌跡是以(－1,0)為圓心，2為半徑的圓．
由圓的普通方程可得其參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).

1.參數(shù)方程化為普通方程
基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有：①代入消元法；②加減消元法；③恒等式(三角的或代數(shù)的)消元法；④平方后再加減消元法等．其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程組的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cos2θ＝1等.
2.普通方程化為參數(shù)方程
(1)選擇參數(shù)的一般原則
曲線上任意一點的坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對簡單；當(dāng)參數(shù)取某一值時，可以唯一確定x，y的值．
(2)解題的一般步驟
第一步，引入?yún)?shù)，但要選定合適的參數(shù)t；
第二步，確定參數(shù)t與變量x或y的一個關(guān)系式x＝f(t)(或y＝φ(t))；
第三步，把確定的參數(shù)與一個變量的關(guān)系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一關(guān)系y＝g(t)(或x＝φ(t))，問題得解．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：(t為參數(shù))，與曲線C：(k為參數(shù))交于A，B兩點，求線段AB的長．
解　將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，得4x－3y＝4，將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，得y2＝4x，聯(lián)立方程解得或
所以A(4,4)，B，－1或A，－1，B(4,4)．
所以|AB|＝＝.
題型 二　參數(shù)方程的應(yīng)用　

角度1　利用參數(shù)方程解最值問題
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，圓C2的方程為(x－1)2＋y2＝1，若曲線C1上有一動點M，圓C2上有一動點N，求|MN|的最小值．
解　圓C2的圓心為C2(1,0)，半徑為1，設(shè)曲線C1上的動點M(3cosα，2sinα)，易知點M在圓C2外，由動點N在圓C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.
因為|MC2|＝
＝＝，
所以當(dāng)cosα＝時，|MC2|min＝，
所以|MN|min＝|MC2|min－1＝－1，
即|MN|的最小值為－1.
角度2　參數(shù)幾何意義的應(yīng)用
2.(2018·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．
(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；
(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率．
解　(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1.
當(dāng)cosα≠0時，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tanα·x＋2－tanα，當(dāng)cosα＝0時，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1.
(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①
因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2.

1.設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線的參數(shù)方程在交點問題中的應(yīng)用
(1)設(shè)M0(x0，y0)，若M1，M2是直線l上的兩個點，對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.
(2)若線段M1M2的中點為M3，點M1，M2，M3對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，t3，則t3＝.
(3)若直線l上的線段M1M2的中點為M0(x0，y0)，則t1＋t2＝0，t1t2

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