第7講　拋物線
[考綱解讀]　1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線)．(重點(diǎn))
2．能根據(jù)幾何性質(zhì)求最值，能利用拋物線的定義進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，并能理解數(shù)形結(jié)合思想，掌握拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．(難點(diǎn))
[考向預(yù)測(cè)]　從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容．預(yù)測(cè)2021年高考將會(huì)考查：①拋物線的定義及其應(yīng)用；②拋物線的幾何性質(zhì)；③直線與拋物線的位置關(guān)系及拋物線與橢圓或雙曲線的綜合．試題以選擇題、填空題、解答題形式呈現(xiàn)，靈活多變、技巧性強(qiáng)，具有一定的區(qū)分度．試題中等偏難．

1.拋物線的定義
平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F?l)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
圖形




性質(zhì)
頂點(diǎn)
O(0,0)
對(duì)稱軸
y＝0
x＝0


焦點(diǎn)
F
F
F
F
離心率
e＝1
準(zhǔn)線方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下
3.必記結(jié)論
(1)拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝x0＋，也稱為拋物線的焦半徑．
(2)y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－.
(3)直線AB過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，如圖．

①y1y2＝－p2，x1x2＝.
②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2＝p，即當(dāng)x1＝x2時(shí)，弦長(zhǎng)最短為2p.
③＋為定值.
④弦長(zhǎng)AB＝(α為AB的傾斜角)．
⑤以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．
⑥焦點(diǎn)F對(duì)A，B在準(zhǔn)線上射影的張角為90°.

1.概念辨析
(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．(　　)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－.(　　)
(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．(　　)
(4)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切．(　　)
(5)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a＞0)的通徑長(zhǎng)為2a.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2.小題熱身
(1)若拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(　　)
A. B.
C. D．0
答案　B
解析　M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y＝－，設(shè)M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝.
(2)拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程是(　　)
A.x＝ B．x＝－
C.y＝ D．y＝－
答案　D
解析　拋物線y＝2x2的方程可化為x2＝，其準(zhǔn)線方程為y＝－.
(3)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)P(－4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A.y2＝－x B．x2＝－8y
C.y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
答案　D
解析　設(shè)拋物線為y2＝mx，代入點(diǎn)P(－4，－2)，解得m＝－1，則拋物線方程為y2＝－x；設(shè)拋物線為x2＝ny，代入點(diǎn)P(－4，－2)，解得n＝－8，則拋物線方程為x2＝－8y.故選D.
(4)若過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線，則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為(　　)
A.8 B．16
C．32 D．64
答案　B
解析　由拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，得直線的方程為y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，所以x1＋x2＝12，弦長(zhǎng)為x1＋x2＋p＝12＋4＝16.故選B.

題型一　拋物線的定義及應(yīng)用　

1.過點(diǎn)F(0,3)且和直線y＋3＝0相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為(　　)
A.y2＝12x B．y2＝－12x
C.x2＝－12y D．x2＝12y
答案　D
解析　由題意，得動(dòng)圓的圓心到直線y＝－3的距離和到點(diǎn)F(3,0)的距離相等，所以動(dòng)圓的圓心是以點(diǎn)F(0,3)為焦點(diǎn)，直線y＝－3為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為x2＝12y.
2.(2019·沈陽模擬)拋物線y2＝6x上一點(diǎn)M(x1，y1)到其焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為________．
答案　3
解析　由題意，知焦點(diǎn)坐標(biāo)為，0，準(zhǔn)線方程為x＝－，點(diǎn)M(x1，y1)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，所以x1＋＝，解得x1＝3，所以y＝18，所以|OM|＝＝3.
條件探究　將本例中的條件變?yōu)椤霸趻佄锞€上找一點(diǎn)M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)”．則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________，此時(shí)的最小值為________．
答案　　
解析　如圖，點(diǎn)A在拋物線y2＝6x的內(nèi)部，由拋物線的定義可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，

其中|MH|為點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離．
過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線交拋物線于M1，垂足為B，
則|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝3－－＝，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M在M1的位置時(shí)等號(hào)成立．即|MA|＋|MF|的最小值為，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，2.

利用拋物線的定義可解決的常見問題
(1)軌跡問題：用拋物線的定義可以確定動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線．見舉例說明1.
(2)距離問題：涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離問題時(shí)，注意在解題中利用兩者之間的關(guān)系進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．見舉例說明2.
(3)看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑．

1.若拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OFP的面積為(　　)
A. B．1
C. D．2
答案　B
解析　設(shè)P(xP，yP)，由題意，得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，又點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為2，∴由拋物線的定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為2，∴xP＋1＝2，得xP＝1，代入拋物線方程得|yP|＝2，∴△OFP的面積為S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.
2.(2019·山西大學(xué)附中模擬)已知點(diǎn)Q(2，0)及拋物線y＝上一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則y＋|PQ|的最小值是________．
答案　2
解析　拋物線y＝即x2＝4y，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1.因?yàn)辄c(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，0)，所以|FQ|＝ ＝3.過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線PH，交x軸于點(diǎn)D，如圖所示．結(jié)合拋物線的定義，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2.

題型二　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

1.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝(　　)
A.2 B．3
C．4 D．8
答案　D
解析　拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.由題意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.故選D.
2.(2019·北京高考)設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為________．
答案　(x－1)2＋y2＝4
解析　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x－1)2＋y2＝4.
3．如圖所示，拋物線形拱橋的跨度是20米，拱高是4米，在建橋時(shí)，每隔4米需要用一支柱支撐，求其中最長(zhǎng)的支柱的長(zhǎng)度．

解　建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為

x2＝－2py(p>0)，
因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)B(10，－4)，
所以102＝－2p·(－4)，
解得p＝，所以x2＝－25y，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝－，
所以最長(zhǎng)支柱長(zhǎng)為4－|y|＝4－＝3.84(m).

1.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式，要掌握焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線、焦點(diǎn)的距離，通徑長(zhǎng)與標(biāo)準(zhǔn)方程中系數(shù)2p的關(guān)系．見舉例說明2.
(2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時(shí)要進(jìn)行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2＝mx或x2＝my(m≠0)．見舉例說明3.
2.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧
(1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算．

1.已知A是拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|AF|＝4時(shí)，∠OFA＝120°，則拋物線的準(zhǔn)線方程是(　　)
A.x＝－1 B．y＝－1
C.x＝－2 D．y＝－2
答案　A
解析　過A向準(zhǔn)線作垂線，設(shè)垂足為B，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D(圖略)．因?yàn)椤螼FA＝120°，所以△ABF為等邊三角形，∠DBF＝30°，從而p＝|DF|＝2，因此拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.
2.(2019·荊門模擬)拋物線C：y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F，過C上一點(diǎn)D作直線DE垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)E，△DEF恰好為等腰直角三角形，其面積為4，則拋物線方程為(　　)
A.y2＝2x B．y2＝2x
C.y2＝4x D．y2＝4x
答案　D
解析　根據(jù)拋物線的定義，得|DF|＝|DE|，又△DEF恰好為等腰直角三角形，所以∠EDF＝90°，

∴|DE|·|DF|＝4，
∴|DE|＝|DF|＝2，
∴D2－，±2，將其代入y2＝2px，得8＝2p2－，解得p＝2.∴拋物線方程為y2＝4x.
3.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線發(fā)射后必經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，一平行于x軸的光線從點(diǎn)M(3,1)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則直線AB的斜率為(　　)
A. B．－
C．± D．－
答案　B
解析　令y＝1，代入y2＝4x可得x＝，即A.由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F(1,0)，所以k＝＝－.故選B.
題型三　直線與拋物線的綜合問題　

角度1　直線與拋物線相切問題
1.(2019·全國(guó)卷Ⅲ)已知曲線C：y＝，D為直線y＝－上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.
(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；
(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程．
解　(1)證明：設(shè)D，A(x1，y1)，則x＝2y1.
由于y′＝x，所以切線DA的斜率為x1，故＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0.
所以直線AB過定點(diǎn).
(2)由(1)得直線AB的方程為y＝tx＋.
由得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.
設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M.
由于⊥，而＝(t，t2－2)，與向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.
當(dāng)t＝0時(shí)，||＝2，所求圓的方程為x2＋2＝4；
當(dāng)t＝±1時(shí)，||＝，所求圓的方程為x2＋2＝2.
綜上，圓的方程為x2＋2＝4或x2＋2＝2.
角度2　過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交問題
2.(2019·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，E為其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，且|ME|＝，則|AB|＝(　　)
A.6 B．3
C．8 D．9
答案　A
解析　根據(jù)題意，知直線AB的斜率存在且不為零，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(1,0)．設(shè)直線AB：y＝k(x－1)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得方程組消去y并整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，則x1＋x2＝，從而M，.又E(－1,0)，根據(jù)|ME|＝，得＋12＋＝11，解得k2＝2.所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2＋＋2＝6.故選A.
3.過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)作直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，直線l與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C.若＝3，則直線l的斜率為________．
答案　2
解析　解法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y＝kx－(k>0)．由＝3，得x1＝4x2.由得k2x2－(k2＋2)px＋＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝，故＝，即＝2＋，解得k＝2.
解法二： 設(shè)直線l：y＝kx－(k>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝3，得x1＝4x2.
由得k2x2－(k2＋2)px＋＝0，則x1x2＝.所以x1＝p，y1＝p，則直線l的斜率k＝＝＝2.
角度3　不過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交問題
4.(2019·淄博模擬)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線距離為2.
(1)若點(diǎn)E(1,1)，且點(diǎn)P在拋物線C上，求|PE|＋|PF|的最小值；
(2)若過點(diǎn)N(0，b)的直線與圓M：x2＋(y－2)2＝4相切，且與拋物線C有兩個(gè)不同交點(diǎn)A，B，求△AOB的面積．
解　(1)由題意可知，p＝2，∴拋物線方程為x2＝4y.
則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1.如圖所示，

記點(diǎn)P，E到拋物線C準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2，
故|PE|＋|PF|＝|PE|＋d1≥d2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)PE垂直于準(zhǔn)線時(shí)“＝”成立．
∴|PE|＋|PF|的最小值為2.
(2)由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b.
聯(lián)立得x2－4kx－4b＝0.
利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.
由M到直線l的距離d＝＝2，得b2－4b＝4k2.
又|AB|＝
＝·
＝·.
點(diǎn)O到直線l的距離為.
∴S△AOB＝ ··
＝2·|b|＝b2.

1.直線與拋物線交點(diǎn)問題的解題思路
(1)求交點(diǎn)問題，通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組．
(2)與交點(diǎn)相關(guān)的問題通常借助根與系數(shù)的關(guān)系或用向量法解決．見舉例說明2,3,4.
2.解決拋物線的弦及弦中點(diǎn)問題的常用方法
(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用焦點(diǎn)弦公式(見舉例說明2)，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．
(2)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.
提醒：為了回避討論直線斜率存在和不存在，可以靈活設(shè)直線方程，見鞏固遷移3.

1．(2019·南寧二模)已知拋物線x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線方程為y＝－1，△ABC的頂點(diǎn)A在拋物線上，B，C兩點(diǎn)在直線y＝2x－5上，如果|－|＝2，那么△ABC面積的最小值為(　　)
A．5 B．4
C. D．1
答案　D
解析　依題意得拋物線方程為x2＝4y.因?yàn)閨－|＝2，所以||＝2.設(shè)拋物線x2＝4y的一條切線方程為y＝2x＋b.將y＝2x＋b代入x2＝4y，得x2－8x－4b＝0.由Δ＝64＋16b＝0，得b＝－4.此時(shí)拋物線x2＝4y的切線方程為y＝2x－4.該切線與直線BC的距離為d＝，即點(diǎn)A到直線y＝2x－5的最小距離為，故S△ABC的最小值為|BC|·d＝1.
2．已知直線l與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，且l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,4)，則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是________．
答案　
解析　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，所以kAF＝＝.
所以直線l的方程為y－0＝(x－1)，
即y＝(x－1)．
由消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，
所以線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
所以線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是－(－1)＝.
3．已知拋物線C：y2＝ax(a>0)上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為2t.
(1)求拋物線C的方程；
(2)拋物線上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)Q(3，－1)的直線與拋物線C交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)(均與點(diǎn)A不重合)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值．
解　(1)由拋物線的定義可知|PF|＝t＋＝2t，
則a＝4t，由點(diǎn)P在拋物線上，則at＝.
所以a×＝，則a2＝1，
由a>0，得a＝1，故拋物線C的方程為y2＝x.
(2)證明：因?yàn)锳點(diǎn)在拋物線上，且yA＝1.所以xA＝1，所以A(1,1)，設(shè)過點(diǎn)Q(3，－1)的直線l的方程為x－3＝m(y＋1)．即x＝my＋m＋3，代入y2＝x得y2－my－m－3＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則y1＋y2＝m，y1y2＝－m－3，
所以k1·k2＝·
＝
＝＝－，
為定值．
高頻考點(diǎn)　圓錐曲線方程和幾何性質(zhì)問題
考點(diǎn)分析　高考題對(duì)圓錐曲線的考查，通常有兩個(gè)選擇(或一個(gè)選擇、一個(gè)填空)題和一個(gè)解答題．解答題以橢圓、拋物線為背景出題，綜合考查橢圓、拋物線方程、直線與橢圓(或拋物線)位置關(guān)系及綜合計(jì)算、證明問題、選擇題和填空題，主要考查雙曲線、拋物線(有時(shí)也考橢圓)的方程和幾何性質(zhì)問題，特別是雙曲線(或橢圓)的離心率、雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線等知識(shí)．
[典例1]　(2019·天津高考)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|＝4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為(　　)
A. B.
C．2 D.
答案　D
解析　由已知，得拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線l：x＝－1，所以|OF|＝1.又雙曲線的兩條漸近線的方程為y＝±x，不妨設(shè)點(diǎn)A，B，所以|AB|＝＝4|OF|＝4，所以＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又雙曲線方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝＝.故選D.
[典例2]　(2019·全國(guó)卷Ⅲ)已知F是雙曲線C：－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|OP|＝|OF|，則△OPF的面積為(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由F是雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限為P(x0，y0)，x0>0，y0>0，則解得所以P，所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.故選B.
[典例3]　設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)l與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，且＋2＝0，則|FQ|為(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　B
解析　解法一：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)．如下圖，過點(diǎn)P作PP′垂直于準(zhǔn)線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)P′.由拋物線的定義知|PF|＝|PP′|.由＝2得|MP|＝2|PF|，∴|MP|＝2|PP′|，∴∠P′PM＝60°，故直線l的傾斜角為60°.∴直線l的方程為y＝(x－1)．將其代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，解得x＝或x＝3.故點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3.∴|FQ|＝xQ＋1＝4.故選B.

解法二：如上圖，過點(diǎn)P作PP′垂直于準(zhǔn)線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)P′.∵＋2＝0，∴＝＝，∴|PP′|＝.又∵|PP′|＝|PF|，∴|PF|＝.由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知＋＝，∴|QF|＝4.
[典例4]　(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．由橢圓的定義可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，
∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，
∴點(diǎn)A是橢圓的短軸端點(diǎn)，如圖．

不妨設(shè)A(0，－b)，
由F2(1,0)，＝2，得
B.
由點(diǎn)B在橢圓上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴橢圓C的方程為＋＝1.故選B.
[典例5]　(2019·懷化模擬)過拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1，k2的兩條直線l1，l2，其中l(wèi)1交C于A，B兩點(diǎn)，l2交C于D，E兩點(diǎn)，若k1k2＝2，則|AB|＋|DE|的最小值為(　　)
A．12 B．16
C．24 D．30
答案　C
解析　拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)F(0,1)，由題意可知，l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x＋1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得x2－4k1x－4＝0.∴x1＋x2＝4k1，x1x2＝－4.|AB|＝·＝4(1＋k)，同理|DE|＝4(1＋k)，∴|AB|＋|DE|＝4(2＋k＋k)≥4(2＋2|k1k2|)＝24.當(dāng)且僅當(dāng)|k1|＝|k2|＝時(shí)取“＝”，∴|AB|＋|DE|的最小值為24.

　組　基礎(chǔ)關(guān)
1．(2019·廈門一模)若拋物線x2＝ay的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，則a＝(　　)
A．2 B．4
C．±2 D．±4
答案　C
解析　拋物線x2＝ay的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，，準(zhǔn)線方程為y＝－.而拋物線x2＝ay的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，所以＝1，解得a＝±2.
2．(2019·汀贛十四校第一次聯(lián)考)已知拋物線y2＝4x與x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)間的距離為2，則p的值為(　　)
A．4 B．12
C．2 D．6
答案　C
解析　兩拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)和0，.由題意可知 ＝2，且p>0，解得p＝2.
3．(2020·南昌摸底)一動(dòng)圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動(dòng)圓恒與直線x＋2＝0相切，則此動(dòng)圓必過定點(diǎn)(　　)
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0,0)
答案　B
解析　由拋物線y2＝8x，得準(zhǔn)線方程為x＝－＝－2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)．因?yàn)閯?dòng)圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動(dòng)圓恒與直線x＋2＝0相切，由拋物線的定義可知?jiǎng)訄A必經(jīng)過定點(diǎn)(2,0)．
4．(2019·哈爾濱三模)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作一條傾斜角為的直線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝(　　)
A．4 B．6
C．8 D．16
答案　D
解析　拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，p＝2，過焦點(diǎn)的直線的斜率k＝tan＝，則直線方程為y＝(x－1)，代入y2＝4x得(x－1)2＝4x，整理得x2－14x＋1＝0，設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝14，則|AB|＝x1＋x2＋p＝14＋2＝16.
5．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A，過拋物線C上一點(diǎn)P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q.若△QAF的面積為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　)
A．(1,2)或(1，－2) B．(1,4)或(1，－4)
C．(1,2) D．(1,4)
答案　A
解析　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)．因?yàn)椤鱍AF的面積為2，所以×2×|y0|＝2，即|y0|＝2，所以x0＝1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或(1，－2)．
6．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則·＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
答案　D
解析　根據(jù)題意，過點(diǎn)(－2,0)且斜率為的直線方程為y＝(x＋2)，與拋物線方程聯(lián)立消去x并整理，得y2－6y＋8＝0，解得M(1,2)，N(4,4)，又因?yàn)镕(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，從而可以求得·＝0×3＋2×4＝8.故選D.
7．(2019·懷化三模)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作斜率為k的直線，與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA，OB(O為坐標(biāo)系原點(diǎn))的斜率分別為k1，k2，則下列等式正確的是(　　)
A．k1＋k2＝k B.＝k1＋k2
C.＝＋ D．k2＝k1·k2
答案　C
解析　由題意，得OA的方程為y＝k1x，與拋物線C：y2＝2px(p>0)聯(lián)立，解得A，，同理可得B，，∴k＝＝，∴＝＋.故選C.
8．(2019·湖北四地七校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A，P是拋物線C上的點(diǎn)，且PF⊥x軸．若以AF為直徑的圓截直線AP所得的弦長(zhǎng)為1，則實(shí)數(shù)p的值為________．
答案　
解析　由題意，F(xiàn)，A，設(shè)P在第一象限，則P，kAP＝＝1，則直線AP的方程為x－y＋＝0，以AF為直徑的圓的圓心為O(0,0)，半徑為R＝，則O到直線AP的距離為d＝＝，則圓O截直線AP所得的弦長(zhǎng)為1＝2＝2，解得p＝.
9．(2019·曲靖一模)已知點(diǎn)P(1，－1)和拋物線C：y＝x2，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若·＝0，則k＝________.
答案　
解析　拋物線C：y＝x2，即x2＝4y的焦點(diǎn)為F(0,1)．將直線AB的方程y＝kx＋1與拋物線C的方程聯(lián)立并整理，得x2－4kx－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.由·＝0，得(x1－1)·(x2－1)＋(y1＋1)(y2＋1)＝0.整理，得x1x2－(x1＋x2)＋1＋＋＋1＝0.將x1＋x2＝4k，x1x2＝－4代入并化簡(jiǎn)，得(2k－1)2＝0，解得k＝.
10．(2019·河南六市第二次聯(lián)考)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)M(5,2)作直線l的垂線，垂足為H，則∠FMH的平分線的斜率為________．
答案　
解析　連接HF.因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線y2＝4x上，所以由拋物線的定義可知|MH|＝|MF|.所以△MHF為等腰三角形．所以∠FMH的平分線所在的直線經(jīng)過HF的中點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)F(1,0)，H(－1,2)，所以HF的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，所以∠FMH的平分線的斜率為＝.
　組　能力關(guān)
1．(2019·濰坊高三上學(xué)期期末)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一點(diǎn)，A(1,1)，當(dāng)△PAF周長(zhǎng)最小時(shí)，PF所在直線的斜率為(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　A
解析　求△PAF周長(zhǎng)的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值．設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的投影為D，則根據(jù)拋物線的定義，可知|PF|＝|PD|.因此問題轉(zhuǎn)化為求|PA|＋|PD|的最小值．根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)|PA|＋|PD|最?。逜(1,1)，點(diǎn)P在拋物線上，
∴P，1，∴PF所在直線的斜率為＝－.
2．(2020·重慶名校聯(lián)盟調(diào)研抽測(cè))過拋物線y2＝2x上一點(diǎn)A(2,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB，AC，分別交拋物線于B，C兩點(diǎn)，則直線BC的斜率為(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
答案　D
解析　依題意，可設(shè)直線AB的方程為y－2＝k(x－2)，則直線AC的方程為y－2＝－k(x－2)．設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)(y1≠2，y2≠2)．由得y1＝.同理，得y2＝.所以直線BC的斜率為＝＝＝－.故選D.
3．(2019·華中師大第一附中模擬)如圖所示，點(diǎn)F是拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且AB總平行于x軸，則△FAB的周長(zhǎng)的取值范圍是(　　)

A．(2,6) B．(6,8)
C．(8,12) D．(10,14)
答案　C
解析　設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)．拋物線的準(zhǔn)線l：x＝－2，焦點(diǎn)F(2，0)．由拋物線定義，得|AF|＝xA＋2.因?yàn)閳A(x－2)2＋y2＝16的圓心為(2,0)，半徑為4，所以△FAB的周長(zhǎng)為|AF|＋|AB|＋|BF|＝(xA＋2)＋(xB－xA)＋4＝6＋xB.由得
則xB∈(2,6)，所以6＋xB∈(8,12)．
4．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________.
答案　2
解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
所以y－y＝4x1－4x2，所以k＝＝.
取AB的中點(diǎn)M′(x0，y0)，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足分別為A′，B′.
因?yàn)椤螦MB＝90°，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．
因?yàn)镸′為AB的中點(diǎn)，所以MM′平行于x軸．
因?yàn)镸(－1,1)，所以y0＝1，則y1＋y2＝2，所以k＝2.
5．(2020·銀川摸底)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)A(－1,0)，則的最小值為________，當(dāng)取得最小值時(shí)，直線AP的方程為________．
答案　　x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0
解析　設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4t2,4t)，
∵F(1,0)，A(－1,0)，
∴|PF|2＝(4t2－1)2＋16t2＝16t4＋8t2＋1，
|PA|2＝(4t2＋1)2＋16t2＝16t4＋24t2＋1，
∴2＝＝1－
＝1－≥1－
＝1－＝，
當(dāng)且僅當(dāng)16t2＝，即t＝±時(shí)取等號(hào)．故的最小值為；當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或(1，－2)，
∴直線AP的方程為y＝±(x＋1)，即x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0.
6．(2019·洛陽模擬)已知拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(2，y0)是E上一點(diǎn)，且|AF|＝2.
(1)求E的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)B是E上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，直線AB與直線y＝x－3交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線交E于點(diǎn)M，證明：直線BM過定點(diǎn)．
解　(1)根據(jù)題意，知4＝2pya，①
因?yàn)閨AF|＝2，所以ya＋＝2.②
聯(lián)立①②解得ya＝1，p＝2.所以E的方程為x2＝4y.
(2)證明：設(shè)B(x1，y1)，M(x2，y2)．
由題意，可設(shè)直線BM的方程為y＝kx＋b，
代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0.
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.?、?br /> 由MP⊥x軸及點(diǎn)P在直線y＝x－3上，
得P(x2，x2－3)，
則由A，P，B三點(diǎn)共線，得＝，整理，
得(k－1)x1x2－(2k－4)x1＋(b＋1)x2－2b－6＝0.
將③代入上式并整理，得(2－x1)(2k＋b－3)＝0.
由點(diǎn)B的任意性，得2k＋b－3＝0，
所以y＝kx＋3－2k＝k(x－2)＋3.
即直線BM恒過定點(diǎn)(2,3)．
7．(2019·衡水一模)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且＋＝.
(1)證明：B，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；
(2)設(shè)λ＝·，求λ的取值范圍．
解　(1)證明：設(shè)A，y0，B，y1，C，y2，F(xiàn)(1,0)，∴＝－1，y0，＝－1，y1，＝－1，y2，
∵＋＝，
∴－1＋－1＝－1，y1＋y2＝y(tǒng)0，
即y＋y＝y(tǒng)＋4，∴(y1＋y2)2＝y(tǒng)，
∴y＋4＋2y1y2＝y(tǒng)，∴y1y2＝－2.
(2)由＋＝，得四邊形ABFC為平行四邊形，

故λ＝·＝·＝1－1－＋(－y1)·(－y2)＝1－＋＋＋y1y2＝1－＋－2＝－y－≤－，
故λ的取值范圍是－∞，－.

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