2021版高考數(shù)學蘇教版一輪教師用書：9.3變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例

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第三節(jié)　變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例
[最新考綱]　1.會做兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸系數(shù)公式不要求記憶).3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.4.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的思想、方法及其初步應(yīng)用．


1．兩個變量的線性相關(guān)
(1)正相關(guān)
在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)．
(2)負相關(guān)
在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負相關(guān)．
(3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線
如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．
2．回歸方程
(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
(2)回歸方程：方程＝x＋是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中，是待定參數(shù)．

3．回歸分析
(1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．
(2)樣本點的中心
對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)稱為樣本點的中心．
(3)相關(guān)系數(shù)
當r＞0時，表明兩個變量正相關(guān)；
當r＜0時，表明兩個變量負相關(guān)．
r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性．
4．獨立性檢驗
(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．
(2)列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為
2×2列聯(lián)表

y1
y2
總計
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
總計
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
構(gòu)造一個隨機變量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．

1．回歸直線必過樣本點的中心(，)．
2．當兩個變量的相關(guān)系數(shù)|r|＝1時，兩個變量呈函數(shù)關(guān)系．

一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關(guān)關(guān)系． (　　)
(2)通過回歸直線方程可以估計預(yù)報變量的取值和變化趨勢． (　　)
(3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關(guān)性檢驗． (　　)
(4)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越大． (　　)
[答案](1)√　(2)√　(3)×　(4)√
二、教材改編
1．在兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的是(　　)
A．模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98
B．模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80
C．模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50
D．模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25
A　[R2越接近于1，其擬合效果越好．]
2．下面是2×2列聯(lián)表：

y1
y2
總計
x1
a
21
73
x2
22
25
47
總計
b
46
120
則表中a，b的值分別為(　　)
A．94,72　　　　　　 B．52,50
C．52,74 D．74,52
C　[∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.]
3．為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如下2×2列聯(lián)表：

理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值k＝≈4.844.則認為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性約為 ．
5%　[K2的觀測值k≈4.844，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設(shè)檢驗的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為5%.]
4．某同學家里開了一個小賣部，為了研究氣溫對某種冷飲銷售量的影響，他收集了一段時間內(nèi)這種冷飲每天的銷售量y(杯)與當天最高氣溫x(℃)的有關(guān)數(shù)據(jù)，通過描繪散點圖，發(fā)現(xiàn)y和x呈線性相關(guān)關(guān)系，并求得其回歸方程＝2x＋60.如果氣象預(yù)報某天的最高氣溫為34 ℃，則可以預(yù)測該天這種飲料的銷售量為 杯．
128　[由題意x＝34時，該小賣部大約能賣出熱飲的杯數(shù)＝2×34＋60＝128杯．]

考點1　相關(guān)關(guān)系的判斷
　判定兩個變量正、負相關(guān)的方法
(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關(guān)．
(2)相關(guān)系數(shù)：r＞0時，正相關(guān)；r＜0時，負相關(guān)．
(3)線性回歸直線方程中：>0時，正相關(guān)；3.841，故有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.