2021版高考數(shù)學(xué)蘇教版一輪教師用書：10.2二項(xiàng)式定理

第二節(jié)　二項(xiàng)式定理[最新考綱]　會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題．1．二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；(2)通項(xiàng)公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C，C，…，C.2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)0≤r≤n時(shí)，C與C的關(guān)系是C＝C.(2)二項(xiàng)式系數(shù)先增后減中間項(xiàng)最大當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第項(xiàng)和項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為.3．各二項(xiàng)式系數(shù)和(1)(a＋b)n展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.(2)偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)Can－rbr是(a＋b)n的展開式中的第r項(xiàng)． (　　)(2)二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)．  (　　)(3)(a＋b)n的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無(wú)關(guān)． (　　)(4)通項(xiàng)Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互換． (　　)[答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√二、教材改編1．(1－2x)4展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為(　　)A．6　　　B．－6　　　C．24　　　D．－24A　[(1－2x)4展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C＝6.故選A.]2．二項(xiàng)式的展開式中x3y2的系數(shù)是(　　)A．5   B．－20C．20   D．－5A　[二項(xiàng)式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C (－2y)r.根據(jù)題意，得解得r＝2.所以x3y2的系數(shù)是C×(－2)2＝5.故選A.]3.的值為(　　)A．1   B．2C．2 019   D．2 019×2 020A　[原式＝＝＝1.故選A.]4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為        ．8　[令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，兩式相加得a0＋a2＋a4＝8.]考點(diǎn)1　二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用　形如(a＋b)n的展開式問(wèn)題　求二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)的3種方法求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)一般需要建立方程求r，再將r的值代回通項(xiàng)求解，注意r的取值范圍(r＝0,1,2，…，n)．(1)第m項(xiàng)：此時(shí)r＋1＝m，直接代入通項(xiàng)；(2)常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變?cè)?/span>”，令通項(xiàng)中“變?cè)?/span>”的冪指數(shù)為0建立方程；(3)有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)?/span>”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程． (1)(2018·全國(guó)卷Ⅲ)的展開式中x4的系數(shù)為(　　)A．10　　　B．20　　　C．40　　　D．80(2)若的展開式中x5的系數(shù)是－80，則實(shí)數(shù)a＝        .(3)(2019·浙江高考)在二項(xiàng)式(＋x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是        ；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是        ．(1)C　(2)－2　(3)16　5　[(1)Tr＋1＝C(x2)5－r ＝C2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系數(shù)為C×22＝40.(2)的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C(ax2)5－r·x－＝Ca5－r ·x10－r，令10－r＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2.(3)由題意，(＋x)9的通項(xiàng)為Tr＋1＝C()9－rxr(r＝0,1,2…9)，當(dāng)r＝0時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為T1＝C()9＝16；若展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則r＝1,3,5,7,9，有T2, T4, T6, T8, T10共5個(gè)項(xiàng)．]　已知展開式的某項(xiàng)或其系數(shù)求參數(shù)，可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)公式寫出第k＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出k值，最后求出其參數(shù)．[教師備選例題]　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余數(shù)是(　　)A．－1　　　　B．1　　　　C．－87　　　　D．87B　[1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10項(xiàng)均能被88整除，∴余數(shù)是1.]　1.在(x2－4)5的展開式中，含x6的項(xiàng)為        ．160x6　[因?yàn)?/span>(x2－4)5的展開式的第k＋1項(xiàng)為Tk＋1＝C(x2)5－k(－4)k＝(－4)kCx10－2k，令10－2k＝6，得k＝2，所以含x6的項(xiàng)為T3＝(－4)2·Cx6＝160x6.]2．若的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)A．±2   B.C．－2   D．±　形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問(wèn)題　求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問(wèn)題的思路(1)若n，m中一個(gè)比較小，可考慮把它展開得到多個(gè)，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解．(2)觀察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.(3)分別得到(a＋b)n，(c＋d)m的通項(xiàng)公式，綜合考慮． (1)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為(　　)A．15   B．20C．30   D．35(2)(1－)6(1＋)4的展開式中x的系數(shù)是(　　)A．－4   B．－3C．3   D．4(1)C　(2)B　[(1)因?yàn)?/span>(1＋x)6的通項(xiàng)為Cxr，所以(1＋x)6展開式中含x2的項(xiàng)為1·Cx2和·Cx4.因?yàn)?/span>C＋C＝2C＝2×＝30，所以(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為30.故選C.(2)(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)．于是(1－)6(1＋)4的展開式中x的系數(shù)為C·1＋C·(－1)1·1＝－3.]　求幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題，可先分別化簡(jiǎn)或展開為多項(xiàng)式和的形式，再分類考慮特定項(xiàng)產(chǎn)生的每一種情形，求出相應(yīng)的特定項(xiàng)，最后進(jìn)行合并即可．　1.(x2＋2)的展開式的常數(shù)項(xiàng)是(　　)A．－3   B．－2C．2   D．3D　[能夠使其展開式中出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，由多項(xiàng)式乘法的定義可知需滿足：第一個(gè)因式取x2項(xiàng)，第二個(gè)因式取項(xiàng)得x2××C(－1)4＝5；第一個(gè)因式取2，第二個(gè)因式取(－1)5得2×(－1)5×C＝－2，故展開式的常數(shù)項(xiàng)是5＋(－2)＝3，故選D.]2．若(x2－a)的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于(　　)A.   B.C．1   D．2D　[由題意得的展開式的通項(xiàng)公式是Tk＋1＝C·x10－k·＝Cx10－2k，的展開式中含x4(當(dāng)k＝3時(shí))，x6(當(dāng)k＝2時(shí))項(xiàng)的系數(shù)分別為C，C，因此由題意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故選D.]　形如(a＋b＋c)n的展開式問(wèn)題　求三項(xiàng)展開式中某些特定項(xiàng)的系數(shù)的方法(1)通過(guò)變形先把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再用二項(xiàng)式定理求解．(2)兩次利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解．(3)由二項(xiàng)式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項(xiàng)式看作幾個(gè)因式之積，要得到特定項(xiàng)看有多少種方法從這幾個(gè)因式中取因式中的量． (1)將展開后，常數(shù)項(xiàng)是        ．(2)的展開式中，x3y3的系數(shù)是        ．(用數(shù)字作答)(3)設(shè)(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a1等于        ．(1)－160　(2)－120　(3)－240　[(1)＝展開式的通項(xiàng)是C()6－k·＝(－2)k·Cx3－k.令3－k＝0，得k＝3.所以常數(shù)項(xiàng)是C(－2)3＝－160.(2)表示6個(gè)因式x2－＋y的乘積，在這6個(gè)因式中，有3個(gè)因式選y，其余的3個(gè)因式中有2個(gè)選x2，剩下一個(gè)選－，即可得到x3y3的系數(shù)．即x3y3的系數(shù)是CC×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.(3)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，其展開式中x的系數(shù)a1＝C(－1)4×(－2)5＋(－1)5C(－2)4＝－240.] 　二項(xiàng)式定理研究?jī)身?xiàng)和的展開式，對(duì)于三項(xiàng)式問(wèn)題，一般是通過(guò)合并、拆分或進(jìn)行因式分解，轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式定理的形式去求解．　1.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2項(xiàng)的系數(shù)為(　　)A．10   B．20　　　C．30　　　 D．60C　[法一：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的項(xiàng)為T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4·x＝Cx5.所以x5y2項(xiàng)的系數(shù)為CC＝30.故選C.法二：利用組合知識(shí)求解．(x2＋x＋y)5為5個(gè)x2＋x＋y之積，其中有兩個(gè)取y，兩個(gè)取x2，一個(gè)取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC＝30.故選C.]2. 的展開式中含xy的項(xiàng)的系數(shù)為(　　)A．30   B．60C．90   D．120B　[展開式中含xy的項(xiàng)來(lái)自C(－y)1，展開式通項(xiàng)為Tr＋1＝(－1)rCx5－r，令5－r＝1?r＝3，展開式中x的系數(shù)為(－1)3C，所以的展開式中含xy的項(xiàng)的系數(shù)為C(－1)C(－1)3＝60，故選B.]考點(diǎn)2　二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)的系數(shù)和問(wèn)題　賦值法在求各項(xiàng)系數(shù)和中的應(yīng)用(1)對(duì)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝. (1)在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為32∶1，則x2的系數(shù)為(　　)A．50   B．70C．90   D．120(2)(2019·汕頭質(zhì)檢)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實(shí)數(shù)m的值為        ．(1)C　(2)－3或1　[(1)令x＝1，則n＝4n，所以n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為4n，又二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Cx5－rr＝C3rx5－r，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系數(shù)為C32＝90，故選C.(2)令x＝0，則(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，則m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1.] 　 (1)利用賦值法求解時(shí)，注意各項(xiàng)的系數(shù)是指某一項(xiàng)的字母前面的數(shù)值(包括符號(hào))．(2)在求各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值的和時(shí)，首先要判斷各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，然后將絕對(duì)值去掉，再進(jìn)行賦值．　1.在二項(xiàng)式(1－2x)n的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開式的中間項(xiàng)的系數(shù)為(　　)A．－960   B．960C．1120   D．1680C　[因?yàn)榕紨?shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n－1＝128，所以n－1＝7，n＝8，則展開式共有9項(xiàng)，中間項(xiàng)為第5項(xiàng)，因?yàn)?/span>(1－2x)8的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C(－2x)r＝C(－2)rxr，所以T5＝C(－2)4x4，其系數(shù)為C(－2)4＝1120.]2．在(1－x)(1＋x)4的展開式中，含x2項(xiàng)的系數(shù)是b.若(2－bx)7＝a0＋a1x＋…＋a7x7，則a1＋a2＋…＋a7＝        .－128　[在(1－x)(1＋x)4的展開式中，含x2項(xiàng)的系數(shù)是b，則b＝C－C＝2.在(2－2x)7＝a0＋a1x＋…＋a7x7中，令x＝0得a0＝27，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝0.∴a1＋a2＋…＋a7＝0－27＝－128.]3．(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a＝        .3　[設(shè)(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.]考點(diǎn)3　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)　二項(xiàng)式系數(shù)的最值問(wèn)題　求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，則依據(jù)(a＋b)n中n的奇偶及二次項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)求解．　1.二項(xiàng)式的展開式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為(　　)A．3   B．5C．6   D．7D　[根據(jù)的展開式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，得n＝20，∴的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C·(x)20－r·＝()20－r·C·x20－，要使x的指數(shù)是整數(shù)，需r是3的倍數(shù)，∴r＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有7項(xiàng)．]2．(2019·南昌模擬)設(shè)m為正整數(shù)，2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若15a＝8b，則m＝        .7　[2m展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a＝C，2m＋1展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b＝C，因?yàn)?/span>15a＝8b，所以15C＝8C，即15＝8，解得m＝7.]3．已知(1＋3x)n的展開式中，后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為        ．C(3x)7和C(3x)8　[由已知得C＋C＋C＝121，則n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去負(fù)值)，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8.]　二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念．二項(xiàng)式系數(shù)是指C，C，…，C，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)．　項(xiàng)的系數(shù)的最值問(wèn)題　二項(xiàng)展開式系數(shù)最大項(xiàng)的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用 從而解出k來(lái)，即得． 　已知(＋x2)2n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x－1)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，則在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為        ，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為        ．－8 064?。?/span>15 360x4　[由題意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T6＝C(2x)5＝－8 064.設(shè)第k＋1項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，則Tk＋1＝C·(2x)10－k·＝(－1)kC·210－k·x10－2k，令 得 即 解得≤k≤.∵k∈Z，∴k＝3.故系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，T4＝－C·27·x4＝－15 360x4.]　展開式中項(xiàng)的系數(shù)一般不同于二項(xiàng)式系數(shù)，求解時(shí)務(wù)必分清．[教師備選例題]已知(x＋3x2)n的展開式中第3項(xiàng)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．[解](1)易知n＝5，故展開式共有6項(xiàng)，其中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、第四兩項(xiàng)．所以T3＝C(x)3·(3x2)2＝90x6，T4＝C(x)2·(3x2)3＝270x.(2)設(shè)展開式中第r＋1項(xiàng)的系數(shù)最大．Tr＋1＝C(x)5－r·(3x2)r＝C·3r·x，故有即解得≤r≤.因?yàn)?/span>r∈N，所以r＝4，即展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)最大．T5＝C·x·(3x2)4＝405x.　若的展開式中第6項(xiàng)系數(shù)最大，則不含x的項(xiàng)為(　　)A．210   B．10C．462   D．252A　[∵第6項(xiàng)系數(shù)最大，且項(xiàng)的系數(shù)為二項(xiàng)式系數(shù)，∴n的值可能是9,10,11.設(shè)常數(shù)項(xiàng)為Tr＋1＝Cx3(n－r)x－2r＝Cx3n－5r，則3n－5r＝0，其中n＝9,10,11，r∈N，∴n＝10，r＝6，故不含x的項(xiàng)為T7＝C＝210.]