2021版新高考數(shù)學(xué)（文科）一輪復(fù)習(xí)教師用書(shū)：第10章第4節(jié)　變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例

第四節(jié)　變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例[最新考綱]　1.會(huì)作兩個(gè)相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.3.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其初步應(yīng)用.4.了解回歸分析的基本思想、方法及簡(jiǎn)單應(yīng)用．1．變量間的相關(guān)關(guān)系(1)變量間的關(guān)系分類：常見(jiàn)的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．(2)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)．2．兩個(gè)變量的線性相關(guān)回歸直線從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線回歸方程最小二乘法通過(guò)求Q＝的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性3.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類變量變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．(2)2×2列聯(lián)表列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為 y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2(也可表示為χ2)的觀測(cè)值k＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)來(lái)判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．1．回歸直線方程＝x＋必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)，這個(gè)結(jié)論既是檢驗(yàn)所求回歸直線方程是否準(zhǔn)確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個(gè)依據(jù)．2．根據(jù)K2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若K2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大．3．根據(jù)回歸方程計(jì)算的值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值．一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系．????????????? ????????????? (　　)(2)只有兩個(gè)變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回歸模型才有預(yù)測(cè)價(jià)值．  (　　)(3)回歸直線方程＝x＋至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)．????????????? ????????????? (　　)(4)若事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值越小.  ?????????????  ????????????? (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×二、教材改編1．下面是2×2列聯(lián)表：則表中a，b的值分別為(　　) y1y2合計(jì)x1a2173x2222547合計(jì)b46120A.94,72　　　　　　 B．52,50C．52,74   D．74,52C　[∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.]2．已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)＝3，＝3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是(　　)A.＝0.4x＋2.3   B.＝2x－2.4C.＝－2x＋9.5   D.＝－0.3x＋4.4A　[因?yàn)樽兞?/span>x和y正相關(guān)，排除選項(xiàng)C，D.又樣本中心(3,3.5) 在回歸直線上，排除B，選項(xiàng)A滿足．]3．已知x，y的取值如下表，從散點(diǎn)圖可以看出y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為＝0.95x＋，則＝        .x0134y2.24.34.86.72.6　[∵回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)，又＝2，＝4.5，代入回歸方程，得＝2.6.]4．為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下列聯(lián)表： 理科文科男1310女720已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測(cè)值k＝≈4.844.則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性為        ．5%　[K2的觀測(cè)值k≈4.844，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯(cuò)的可能性約為5%.]考點(diǎn)1　變量間的相關(guān)關(guān)系的判斷　判定兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫(huà)散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：r>0時(shí)，正相關(guān)；r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．(3)線性回歸方程中：>0時(shí)，正相關(guān)；<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．　1.觀察下列各圖形，①　　　　②　　　　③　　　　　④其中兩個(gè)變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的圖是(　　)A．①②　　　B．①④　　　C．③④　　　D．②③C　[圖形③具有正線性相關(guān)關(guān)系，圖形④具有非線性相關(guān)關(guān)系，故選C.]2．已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是(　　)A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)C　[因?yàn)?/span>y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x與y負(fù)相關(guān)．因?yàn)?/span>y與z正相關(guān)，可設(shè)z＝y＋，＞0，則z＝y＋＝－0.1x＋＋，故x與z負(fù)相關(guān)．]3．某統(tǒng)計(jì)部門對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，其中正確的是(　　)A．r4＜r2＜0＜r1＜r3B．r2＜r4＜0＜r1＜r3C．r2＜r4＜0＜r3＜r1D．r4＜r2＜0＜r3＜r1C　[根據(jù)散點(diǎn)圖的特征，數(shù)據(jù)大致呈增長(zhǎng)趨勢(shì)的是正相關(guān)，數(shù)據(jù)呈遞減趨勢(shì)的是負(fù)相關(guān)；數(shù)據(jù)越集中在一條直線附近，說(shuō)明相關(guān)性越強(qiáng)，由題中數(shù)據(jù)可知：(1)(3)為正相關(guān)，(2)(4)為負(fù)相關(guān)；故r1>0，r3>0；r2<0，r4＜0；又(1)與(2)中散點(diǎn)圖更接近于一條直線，故r1>r3，r2<r4,  因此，r2<r4<0<r3<r1，故選C.]　(1)變量間的相關(guān)關(guān)系分線性相關(guān)關(guān)系和非線性相關(guān)關(guān)系，如T1.(2)對(duì)相關(guān)系數(shù)r來(lái)說(shuō)，|r|越接近于1，散點(diǎn)圖越接近于一條直線，如T3.考點(diǎn)2　線性回歸分析　線性回歸分析問(wèn)題的類型及解題方法(1)求回歸方程①利用公式，求出回歸系數(shù).②利用回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心求系數(shù).(2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．(3)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)；決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù).(4)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．　下圖是我國(guó)2012年至2018年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位：億噸)的折線圖．注：年份代碼1～7分別對(duì)應(yīng)年份2012～2018.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測(cè)2020年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：＝9.32，＝40.17，＝0.55，≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝回歸方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：[解]　(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得所以r≈≈0.99.因?yàn)?/span>y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．(2)由＝≈1.331及(1)得＝－≈1.331－0.10×4≈0.93.所以y關(guān)于t的回歸方程為＝0.93＋0.10t.將2020年對(duì)應(yīng)的t＝9代入回歸方程得＝0.93＋0.10×9＝1.83.所以預(yù)測(cè)2020年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量約為1.83億噸．　在計(jì)算時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給數(shù)據(jù)對(duì)公式進(jìn)行合理變形，如[教師備選例題]下表是某學(xué)生在4月份開(kāi)始進(jìn)入沖刺復(fù)習(xí)至高考前的5次大型聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)(分)：聯(lián)考次數(shù)x(1≤x≤5，x∈N*)12345數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)y(0＜y≤150)117127125134142(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖：(2)①請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；   ②若在4月份開(kāi)始進(jìn)入沖刺復(fù)習(xí)前，該生的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)最好為116分，并以此作為初始分?jǐn)?shù)，利用上述回歸方程預(yù)測(cè)高考的數(shù)學(xué)成績(jī)，并以預(yù)測(cè)高考成績(jī)作為最終成績(jī)，求該生4月份后復(fù)習(xí)提高率．(復(fù)習(xí)提高率＝×100%，分?jǐn)?shù)取整數(shù))．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為[解]　(1)散點(diǎn)圖如圖：(2)①由題得，＝＝3，＝＝129，＝55,52＝5×32＝45,5 ＝5×3×129＝1 935，所以＝＝＝5.7，＝129－5.7×3＝111.9，故y關(guān)于x的線性回歸方程為y＝5.7x＋111.9.②由上述回歸方程可得高考應(yīng)該是第六次考試，故x＝6，則y＝5.7×6＋111.9＝146.1≈146(分)，故凈提高分為146－116＝30(分)，所以該生的復(fù)習(xí)提高率為×100%＝20%.　1.經(jīng)過(guò)對(duì)中學(xué)生記憶能力x和識(shí)圖能力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù)：記憶能力x46810識(shí)圖能力y3568由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為＝x＋，若某中學(xué)生的記憶能力為14，則該中學(xué)生的識(shí)圖能力為(　　)A．7　　　　B．9.5　　　　C．11.1　　　　D．12C　[x的平均數(shù)＝(4＋6＋8＋10)＝＝7，y的平均數(shù)＝(3＋5＋6＋8)＝＝＝5.5，回歸方程過(guò)點(diǎn)(，)，即(7,5.5)，則5.5＝0.8×7＋，得＝－0.1，則＝0.8x－0.1，則當(dāng)x＝14時(shí)，y＝0.8×14－0.1＝11.2－0.1＝11.1，即該中學(xué)生的識(shí)圖能力為11.1，故選C.]2．二手車經(jīng)銷商小王對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的A型號(hào)二手汽車的使用年數(shù)x與銷售價(jià)格y(單位：萬(wàn)元/輛)進(jìn)行整理，得到如下數(shù)據(jù)：使用年數(shù)x234567售價(jià)y201286.44.43z＝ln y3.002.482.081.861.481.10z關(guān)于x的折線圖，如圖所示：(1)由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)某輛A型號(hào)二手車當(dāng)使用年數(shù)為9年時(shí)售價(jià)約為多少．(，小數(shù)點(diǎn)后保留兩位有效數(shù)字)[解]　(1)由題意，知＝×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，＝×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，∴r＝＝－≈－0.99，∴z與x的相關(guān)系數(shù)大約為－0.99，說(shuō)明z與x的線性相關(guān)程度很高．(2)＝＝－≈－0.36，∴＝－＝2＋0.36×4.5＝3.62，∴z與x的線性回歸方程是＝－0.36x＋3.62，又z＝ln y，∴y關(guān)于x的回歸方程是＝e－0.36x＋3.62.令x＝9，得＝e－0.36×9＋3.62＝e0.38，∵ln 1.46≈0.38，∴＝1.46，即預(yù)測(cè)某輛A型號(hào)二手車當(dāng)使用年數(shù)為9年時(shí)售價(jià)約為1.46萬(wàn)元． 考點(diǎn)3　獨(dú)立性檢驗(yàn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式K2＝，計(jì)算K2的觀測(cè)值k的值；(3)查表比較K2的觀測(cè)值k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷．　(2019·全國(guó)卷Ⅰ)某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表： 滿意不滿意男顧客4010女顧客3020(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？附：K2＝[解]　(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)知，男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為＝0.8，因此男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8.女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為＝0.6，因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.6.(2)K2的觀測(cè)值k＝≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異．　對(duì)于“估計(jì)概率”問(wèn)題，一般是用頻率代替概率．[教師備選例題]有人發(fā)現(xiàn)，多看電視容易使人變冷漠，下表是一個(gè)調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)此現(xiàn)象的調(diào)查結(jié)果： 冷漠不冷漠總計(jì)多看電視6842110少看電視203858總計(jì)8880168附表：P(K2≥k)0.0500.010k3.8416.635則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)多少的前提下認(rèn)為多看電視與人冷漠有關(guān)系(　　)A．0.01　　　　　　 B．0.025C．0.05   D．0.10A　[∵K2的觀測(cè)值k＝≈11.377，又11.377＞6.635，∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為多看電視與人變冷漠有關(guān)系，故選A.]　(2017·全國(guó)卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：    (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)； 箱產(chǎn)量＜50 kg箱產(chǎn)量≥50 kg舊養(yǎng)殖法  新養(yǎng)殖法  (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較．附：K2＝.[解]　(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量<50 kg箱產(chǎn)量≥50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2的觀測(cè)值k＝≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．