2021版高考文科數(shù)學(xué)（人教A版）一輪復(fù)習(xí)教師用書：第四章　第4講　第2課時　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）

第2課時　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(二)　　　　　三角函數(shù)的周期性與奇偶性(師生共研) (1)函數(shù)f(x)＝2cos2－1是(　　)A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù)D．最小正周期為的偶函數(shù)(2)(2020·湖北宜昌聯(lián)考)已知函數(shù)y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)為偶函數(shù)，其圖象與直線y＝2的某兩個交點的橫坐標分別為x1，x2，|x2－x1|的最小值為π，則(　　)A．ω＝2，θ＝　　　　　 B．ω＝，θ＝C．ω＝，θ＝  D．ω＝2，θ＝【解析】　(1)因為f(x)＝2cos2－1＝cos＝cos＝sin 2x.所以T＝＝π，f(x)＝sin 2x是奇函數(shù)．故函數(shù)f(x)是最小正周期為π的奇函數(shù)．(2)因為函數(shù)y＝2sin(ωx＋θ)的最大值為2，且其圖象與直線y＝2的某兩個交點的橫坐標分別為x1，x2，|x2－x1|的最小值為π，所以函數(shù)y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π.由＝π得ω＝2.因為函數(shù)y＝2sin(ωx＋θ)為偶函數(shù)，所以θ＝＋kπ，k∈Z.又0＜θ＜π，所以θ＝，故選A.【答案】　(1)A　(2)A(1)奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acos ωx＋b的形式．(2)周期的計算方法：利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為求解．1．下列函數(shù)中，最小正周期為π的奇函數(shù)是(　　)A．y＝sin　　　 B．y＝cosC．y＝sin 2x＋cos 2x  D．y＝sin x＋cos x解析：選B.y＝sin＝cos 2x是偶函數(shù)，不符合題意；y＝cos＝－sin 2x是T＝π的奇函數(shù)，符合題意；同理C，D均不是奇函數(shù)．2．(2020·石家莊市質(zhì)量檢測)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin的最小正周期為π，且f(－x)＝f(x)，則(　　)A．f(x)在上單調(diào)遞增B．f(x)在上單調(diào)遞減C．f(x)在上單調(diào)遞減D．f(x)在上單調(diào)遞增解析：選A.f(x)＝sin，因為f(x)的最小正周期為π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.f(－x)＝f(x)，即f(x)為偶函數(shù)，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因為|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝－cos 2x，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選A.　　　　　　三角函數(shù)的對稱性(師生共研) 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，它的最小正周期為π，則函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心是(　　)A.   B.C.  D．【解析】　由題意可得＝π，所以ω＝2，可得f(x)＝Asin(2x＋φ)，再由函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝對稱，故f＝Asin＝±A，故可取φ＝－.故函數(shù)f(x)＝Asin，令2x－＝kπ，k∈Z，可得x＝＋，k∈Z，故函數(shù)的對稱中心為，k∈Z.所以函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心是.【答案】　B三角函數(shù)圖象的對稱軸和對稱中心的求解思路和方法(1)思路：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的對稱軸和對稱中心可結(jié)合y＝sin x圖象的對稱軸和對稱中心求解．(2)方法：利用整體代換的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即對稱軸方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即對稱中心的橫坐標(縱坐標為0)．對于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用類似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的圖象無對稱軸)．1．(2019·高考全國卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)兩個相鄰的極值點，則ω＝(　　)A．2   B.C．1  D．解析：選A.依題意得函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，選A.2．已知函數(shù)f(x)＝|sin x||cos x|，則下列說法錯誤的是(　　)A．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱B．f(x)的周期為C．(π，0)是f(x)的一個對稱中心D．f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減解析：選A.f(x)＝|sin x||cos x|＝|sin xcos x|＝·|sin 2x|，則f＝|sin π|＝0，則f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝對稱，故A錯誤；函數(shù)周期T＝×＝，故B正確；f(π)＝|sin 2π|＝0，則(π，0)是f(x)的一個對稱中心，故C正確；當(dāng)x∈時，2x∈，此時sin 2x＞0，且sin 2x為減函數(shù)，故D正確．　　　　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合問題(師生共研) 已知函數(shù)f(x)＝sin(2π－x)·sin－cos2x＋.(1)求f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程；(2)當(dāng)x∈時，求f(x)的最小值和最大值．【解】　(1)由題意，得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2x＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，所以f(x)的最小正周期T＝＝π；令2x－＝kπ＋(k∈Z)，則x＝＋(k∈Z)，故所求圖象的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z)．(2)當(dāng)0≤x≤時，－≤2x－≤，由函數(shù)圖象(圖略)可知，－≤sin≤1，即0≤sin(2x－)＋≤.故f(x)的最小值為0，最大值為.解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問題的方法先將y＝f(x)化為y＝asin x＋bcos x的形式，然后用輔助角公式化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)(如周期性、對稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題．　已知函數(shù)f(x)＝2sin.(1)求函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x值的集合；(2)求函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程與對稱中心．解：(1)當(dāng)sin＝1時，2x－＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，此時函數(shù)取得最大值為2；故f(x)的最大值為2，使函數(shù)取得最大值的x的集合為.(2)由2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.即函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為x＝＋kπ，k∈Z.由2x－＝kπ，k∈Z得x＝＋kπ，k∈Z，即對稱中心為，k∈Z.[基礎(chǔ)題組練]1．函數(shù)y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期為(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C．π  D．2π解析：選C.因為y＝2＝2sin，所以T＝＝π.2．f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，則f(－b)＝(　　)A．0  B．3C．－1  D．－2解析：選A.因為f(b)＝tan b＋sin b＋1＝2，即tan b＋sin b＝1.所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1＝－(tan b＋sin b)＋1＝0.3．若是函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx圖象的一個對稱中心，則ω的一個取值是(　　)A．2  B．4C．6  D．8解析：選C.因為f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，由題意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，當(dāng)k＝1時，ω＝6.4．關(guān)于函數(shù)y＝tan(2x－)，下列說法正確的是(　　)A．是奇函數(shù)B．在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減C．(，0)為其圖象的一個對稱中心D．最小正周期為π解析：選C.函數(shù)y＝tan(2x－)是非奇非偶函數(shù)，A錯；在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，B錯；最小正周期為，D錯；由2x－＝，k∈Z得x＝＋，當(dāng)k＝0時，x＝，所以它的圖象關(guān)于(，0)中心對稱，故選C.5．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期為4π，則該函數(shù)的圖象(　　)A．關(guān)于點對稱  B．關(guān)于點對稱C．關(guān)于直線x＝對稱  D．關(guān)于直線x＝對稱解析：選B.函數(shù)f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.函數(shù)f(x)的對稱軸為＋＝＋kπ，解得x＝π＋2kπ(k∈Z)；令k＝0得x＝π.函數(shù)f(x)的對稱中心的橫坐標為＋＝kπ，解得x＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一個對稱中心.6．若函數(shù)y＝cos(ω∈N*)圖象的一個對稱中心是，則ω的最小值為        ．解析：由題意知＋＝kπ＋(k∈Z)?ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2.答案：27．(2020·無錫期末)在函數(shù)①y＝cos|2x|；②y＝|cos 2x|；③y＝cos；④y＝tan 2x中，最小正周期為π的所有函數(shù)的序號為        ．解析：①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期為π；②y＝cos 2x，最小正周期為π，由圖象知y＝|cos 2x|的最小正周期為；③y＝cos的最小正周期T＝＝π；④y＝tan 2x的最小正周期T＝.因此①③的最小正周期為π.答案：①③8．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的圖象的一條對稱軸為x＝π，其中ω為常數(shù)，且ω∈(1，2)，則函數(shù)f(x)的最小正周期為        ．解析：由函數(shù)f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的圖象的一條對稱軸為x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，從而得函數(shù)f(x)的最小正周期為＝.答案：9．已知函數(shù)f(x)＝2cos2＋2sin·sin.求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對稱中心．解：因為f(x)＝2cos2＋2sin·sin＝cos＋1＋2sinsin＝cos＋2sincos＋1＝cos 2x＋sin 2x＋sin＋1＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1，所以f(x)的最小正周期為＝π，圖象的對稱中心為，k∈Z.10．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π.(1)求當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時φ的值；(2)若f(x)的圖象過點，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．解：由f(x)的最小正周期為π，則T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．(1)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時，f(－x)＝f(x)．所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，展開整理得sin 2xcos φ＝0，已知上式對?x∈R都成立，所以cos φ＝0.因為0<φ<，所以φ＝.(2)因為f＝，所以sin＝，即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因為0<φ<，所以φ＝，即f(x)＝sin，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．[綜合題組練]1．已知函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(x∈R)，又f(α)＝2，f(β)＝2，且|α－β|的最小值是，則正數(shù)ω的值為(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：選D.函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.由f(α)＝2，f(β)＝2，且|α－β|的最小值是，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝，所以ω＝＝4.2．(2020·江西八所重點中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象經(jīng)過點(0，1)，且關(guān)于直線x＝對稱，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．f(x)在上是減函數(shù)B．若x＝x0是f(x)圖象的對稱軸，則一定有f′(x0)≠0C．f(x)≥1的解集是，k∈ZD．f(x)圖象的一個對稱中心是解析：選D.由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象經(jīng)過點(0，1)，得sin φ＝，又|φ|＜，所以φ＝，則f(x)＝2sin.因為f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝，則f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A錯誤；若x＝x0是f(x)圖象的對稱軸，則f(x)在x＝x0處取得極值，所以一定有f′(x0)＝0，故B錯誤；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C錯誤；因為f＝0，所以是其圖象的一個對稱中心，故D正確．選D.3．已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期為π.(1)求函數(shù)y＝f(x)圖象的對稱軸方程；(2)討論函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性．解：(1)因為f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，所以ω＝2.于是，f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z)．(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；同理，其單調(diào)遞減區(qū)間為.4．已知函數(shù)f(x)＝sinsin x－cos2x＋.(1)求f(x)的最大值及取得最大值時x的值；(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2，求cos(x1－x2)的值．解：(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin.當(dāng)2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取最大值，且最大值為1.(2)由(1)知，函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x＝π＋kπ(k∈Z)，所以當(dāng)x∈(0，π)時，對稱軸為x＝π.又方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2.所以x1＋x2＝π，則x1＝π－x2，所以cos(x1－x2)＝cos＝sin，又f(x2)＝sin＝，故cos(x1－x2)＝.