2021版高考文科數(shù)學(xué)（人教A版）一輪復(fù)習(xí)教師用書：第七章　第4講　基本不等式

第4講　基本不等式一、知識(shí)梳理1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．[點(diǎn)撥]　應(yīng)用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某個(gè)條件，就會(huì)出錯(cuò)．2．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y時(shí)，x＋y有最小值是2．(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y時(shí)，xy有最大值是．(簡記：和定積最大)[點(diǎn)撥]　在利用不等式求最值時(shí)，一定要盡量避免多次使用基本不等式．若必須多次使用，則一定要保證它們等號(hào)成立的條件一致．常用結(jié)論幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(2)ab≤(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(3)≥(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(4)＋≥2(a，b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．二、習(xí)題改編1．(必修5P99例1(2)改編)設(shè)x＞0，y＞0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(　　)A．80　　　　　　　　　　　 B．77C．81  D．82解析：選C.xy≤＝＝81，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y＝9時(shí)等號(hào)成立，故選C.2．(必修5P100A組T2改編)若把總長為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場地，則矩形場地的最大面積是        ．解析：設(shè)矩形的長為x m，寬為y m，則x＋y＝10，所以S＝xy≤＝25，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y＝5時(shí)取等號(hào)．答案：25 m2一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝x＋的最小值是2.(　　)(2)函數(shù)f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.　(　　)(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要條件．(　　)(4)不等式a2＋b2≥2ab與≥有相同的成立條件．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、易錯(cuò)糾偏(1)忽視不等式成立的條件a>0且b>0；(2)忽視定值存在；(3)忽視等號(hào)成立的條件．1．若x<0，則x＋(　　)A．有最小值，且最小值為2B．有最大值，且最大值為2C．有最小值，且最小值為－2D．有最大值，且最大值為－2解析：選D.因?yàn)?/span>x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)，等號(hào)成立，所以x＋≤－2.2．若x>1，則x＋的最小值為        ．解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝3時(shí)等號(hào)成立．答案：53．設(shè)0<x<1，則函數(shù)y＝2x(1－x)的最大值為        ．解析：y＝2x(1－x)≤2＝.當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝時(shí)，等號(hào)成立．答案：　　　　　利用基本不等式求最值(典例遷移)角度一　通過配湊法求最值 (1)已知0<x<1，則x(4－3x)取得最大值時(shí)x的值為        ．(2)已知x<，則f(x)＝4x－2＋的最大值為        ．【解析】　(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4－3x，即x＝時(shí)，取等號(hào)．(2)因?yàn)?/span>x<，所以5－4x>0，則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2 ＋3≤－2＋3＝1.當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值為1.【答案】　(1)　(2)1通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．角度二　通過常數(shù)代換法求最值 已知a>0，b>0，a＋b＝1，則的最小值為        ．【解析】　＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，取等號(hào)．【答案】　9【遷移探究1】　(變問法)若本例中的條件不變，則＋的最小值為        ．解析：因?yàn)?/span>a>0，b>0，a＋b＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立．答案：4【遷移探究2】　(變條件)若本例條件變?yōu)椋?/span>已知a>0，b>0，4a＋b＝4，則的最小值為        ．解析：由4a＋b＝4得a＋＝1，＝＝＝＋＋＋≥＋2＝＋.當(dāng)且僅當(dāng)4a＝b時(shí)取等號(hào)．答案：＋常數(shù)代換法求最值的步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值．角度三　通過消元法求最值 若正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最小值是(　　)A.　　　　　　　　 B.C.  D．【解析】　因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由即解得0<x<1.所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝時(shí)取等號(hào)．故x＋2y的最小值為.【答案】　A通過消元法求最值的方法消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．但應(yīng)注意保留元的范圍．1．(2020·遼寧大連第一次(3月)雙基測(cè)試)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝(ab)，則ab的最小值為(　　)A．1   B.C．2  D．4解析：選C.(ab)＝a＋b≥2＝2(ab)，所以ab≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)，故ab的最小值為2，故選C.2．已知x，y為正實(shí)數(shù)，則＋的最小值為(　　)A.   B.C.  D．3解析：選D.由題意得x>0，y>0，＋＝＋－1≥2－1＝4－1＝3(當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y時(shí)等號(hào)成立)．3．已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy，則x＋y的最小值為        ．解析：已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy.即＋＝1，則x＋y＝(x＋y)＝16＋1＋＋≥17＋2＝25，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y＝20時(shí)等號(hào)成立，所以x＋y的最小值為25.答案：25　　　　利用基本不等式解決實(shí)際問題(師生共研) 某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝x2－200x＋80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元．(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使單位不虧損？【解】　(1)由題意可知，二氧化碳每噸的平均處理成本為＝x＋－200≥2－200＝200，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝400時(shí)等號(hào)成立，故該單位月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為200元．(2)不獲利．設(shè)該單位每月獲利為S元，則S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，因?yàn)?/span>x∈[400，600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．故該單位每月不獲利，需要國家每月至少補(bǔ)貼40 000元才能不虧損．應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題的基本步驟(1)理解題意，設(shè)出變量，建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題；(2)在定義域內(nèi)，利用基本不等式求出函數(shù)的最值；(3)還原為實(shí)際問題，寫出答案．　某游泳館擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的泳池，池的深度為1米，池的四周墻壁建造單價(jià)為每米400元，中間一條隔壁建造單價(jià)為每米100元，池底建造單價(jià)每平方米60元(池壁厚忽略不計(jì))，則泳池的長設(shè)計(jì)為多少米時(shí)，可使總造價(jià)最低．解：設(shè)泳池的長為x米，則寬為米，總造價(jià)f(x)＝400×＋100×＋60×200＝800×＋12 000≥1 600＋12 000＝36 000(元)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝(x>0)，即x＝15時(shí)等號(hào)成立．即泳池的長設(shè)計(jì)為15米時(shí)，可使總造價(jià)最低．[基礎(chǔ)題組練]1．(2020·安徽省六校聯(lián)考)若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝2，則的最小值為(　　)A．1　　　　　　　　　 B．2C．3  D．4解析：選A.因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝2，所以xy≤＝＝1，所以≥1.2．下列選項(xiàng)中，正確的是(　　)A．x＋的最小值為2B．sin x＋的最小值為4，x∈(0，π)C．x2＋1的最小值為2D．4x(1－x)的最大值為1解析：選D.對(duì)于A，當(dāng)x<0時(shí)，x＋<0，錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，0<sin x≤1，由基本不等式可得sin x＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)sin x＝，即當(dāng)sin x＝2時(shí)，等號(hào)成立，這與0<sin x≤1矛盾，錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?/span>x2≥0，x2＋1≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，所以，x2＋1的最小值為1；對(duì)于D，由基本不等式可得4x(1－x)≤4·＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x時(shí)，即當(dāng)x＝時(shí)，等號(hào)成立，正確．3．設(shè)x>0，則函數(shù)y＝x＋－的最小值為(　　)A．0   B.C．1  D．解析：選A.y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＋＝，即x＝時(shí)等號(hào)成立．所以函數(shù)的最小值為0.故選A.4．若a>0，b>0，a＋b＝ab，則a＋b的最小值為(　　)A．2  B．4C．6  D．8解析：選B.法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，故選B.法二：由題意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，故選B.法三：由題意知a＝(b>1)，所以a＋b＝＋b＝2＋b－1＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，故選B.5．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是        ．解析：一年購買次，則總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為×6＋4x＝4≥8＝240，當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時(shí)取等號(hào)，故總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小時(shí)x的值是30.答案：306．函數(shù)y＝(x>－1)的最小值為        ．解析：因?yàn)?/span>y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)，所以y≥2－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號(hào)成立．答案：07．(2020·湖南岳陽期末改編)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，則ab的最大值為        ，＋的最小值為        ．解析：因?yàn)?/span>a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a·2b≤×＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，即a＝2，b＝1時(shí)等號(hào)成立，所以ab的最大值為2，因?yàn)?/span>＋＝·＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以＋的最小值為.答案：2　8．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，則1＝＋≥2 ＝.得xy≥64，當(dāng)且僅當(dāng)x＝16，y＝4時(shí)，等號(hào)成立．所以xy的最小值為64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，則x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2 ＝18.當(dāng)且僅當(dāng)x＝12且y＝6時(shí)等號(hào)成立，所以x＋y的最小值為18.[綜合題組練]1．設(shè)a>0，若關(guān)于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，則a的最小值為(　　)A．16  B．9C．4  D．2解析：選C.在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1＋時(shí)取等號(hào))．由題意知2＋1≥5，所以a≥4.2．(2020·福建龍巖一模)已知x>0，y>0，且＋＝，則x＋y的最小值為(　　)A．3  B．5C．7  D．9解析：選C.因?yàn)?/span>x>0，y>0.且＋＝，所以x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2(1＋1＋＋)≥2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝3，y＝4時(shí)取等號(hào)，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值為7，故選C.3．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝1，①則x2＋y2的最小值為        ；②若＋≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是        ．解析：因?yàn)?/span>x＋y＝1，所以xy≤＝，所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，所以x2＋y2的最小值為.若a≤＋恒成立，則a小于等于的最小值，因?yàn)?/span>＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，所以＋的最小值為9，所以a≤9，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，9]．答案：　(－∞，9]4．(2020·洛陽市統(tǒng)考)已知x>0，y>0，且＋＝1，則xy＋x＋y的最小值為        ．解析：因?yàn)?/span>＋＝1，所以2x＋y＝xy，所以xy＋x＋y＝3x＋2y，因?yàn)?/span>3x＋2y＝(3x＋2y)(＋)＝7＋＋，且x>0，y>0，所以3x＋2y≥7＋4，所以xy＋x＋y的最小值為7＋4.答案：7＋4