核心考向突破 考向一　利用空間向量證明平行、垂直　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　(2019·南京模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD所成的角為30°.求證：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.證明　以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB，CD，CP所在的直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角．∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4.∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝.(1)設(shè)n＝(x，y，z)為平面PAD的一個(gè)法向量，由得令y＝2，得n＝(－，2,1)．∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥.又CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)如圖，取AP的中點(diǎn)E，連接BE，則E(，2,1)，＝(－，2,1)．∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，∴⊥，∴BE⊥DA.又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.又BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD. 1．用向量法證平行問(wèn)題的類型及常用方法線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直②證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行③證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量表示面面平行①證明兩平面的法向量平行(即為共線向量)②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題 2．利用向量法證垂直問(wèn)題的類型及常用方法線線垂直問(wèn)題證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直問(wèn)題直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直面面垂直問(wèn)題兩個(gè)平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直  [即時(shí)訓(xùn)練]　1.(2019·廣東深圳模擬)如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C和側(cè)面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M為AA1的中點(diǎn)，N為BC1的中點(diǎn)．求證：(1)MN∥平面A1B1C1；(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.證明　由題意知AA1，AB，AC兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)正方形AA1C1C的邊長(zhǎng)為2，則A(0,0,0)，A1(2,0,0)，B(0,2,0)，B1(2,2,0)，C(0,0,2)，C1(2,0,2)，M(1,0,0)，N(1,1,1)．(1)因?yàn)閹缀误w是直三棱柱，所以側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1.因?yàn)?/span>＝(2,0,0)，＝(0,1,1)，所以·＝0，即⊥.因?yàn)?/span>MN?平面A1B1C1，故MN∥平面A1B1C1.(2)設(shè)平面MBC1與平面BB1C1C的法向量分別為n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．因?yàn)?/span>＝(－1,2,0)，＝(1,0,2)，所以即令x1＝2，則平面MBC1的一個(gè)法向量為n1＝(2,1，－1)．同理可得平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n2＝(0,1,1)．因?yàn)?/span>n1·n2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n1⊥n2，所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破考向二　利用空間向量求空間角角度1　　求異面直線所成的角例2　(2020·安徽合肥笫一次質(zhì)檢)如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿BD將△ABD翻折，得到三棱錐A－BCD，則當(dāng)三棱錐A－BCD的體積最大時(shí)，異面直線AD與BC所成角的余弦值為(　　)A.   B.  C.   D.答案　D解析　當(dāng)三棱錐A－BCD的體積最大時(shí)，平面ADB⊥平面BDC，∵在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴BD＝1，取DB的中點(diǎn)O，連接AO，OC，則AO⊥平面BDC，OC⊥平面ADB，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以OB，OC，OA所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D，A，B，C，＝，＝，設(shè)異面直線AD與BC所成的角為θ，則cosθ＝＝＝，即異面直線AD與BC所成角的余弦值為，故選D.  (1)求異面直線所成角的思路①選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；②求出兩直線的方向向量v1，v2；③代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解． (2)兩異面直線所成角的關(guān)注點(diǎn)兩異面直線所成角的范圍是θ∈(0°，90°]，兩向量的夾角α的范圍是[0°，180°]，當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，該角就是異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角．  [即時(shí)訓(xùn)練]　2.(2019·廣西八市4月聯(lián)合調(diào)研)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝3，AB＝3，AA1＝4，則異面直線A1C與BC1所成角的余弦值為________．答案　 解析　因?yàn)?/span>AC＝3，BC＝3，AB＝3，所以∠C為直角，又CC1⊥平面ABC，則CA，CB，CC1兩兩垂直，以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，C1(0,0,4)，A1(3,0,4)，B(0,3,0)，所以＝(－3,0，－4)，＝(0，－3,4)，設(shè)異面直線A1C與BC1所成的角為θ，則cosθ＝＝＝.角度2　　求直線與平面所成的角   例3　(2019·浙江高考)如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分別是AC，A1B1的中點(diǎn)．(1)證明：EF⊥BC；(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值．解　解法一：(1)證明：如圖1，連接A1E.因?yàn)?/span>A1A＝A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC. 又因?yàn)槠矫?/span>A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，則A1E⊥BC.又因?yàn)?/span>A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F.又因?yàn)?/span>A1E∩A1F＝A1，所以BC⊥平面A1EF.因?yàn)?/span>EF?平面A1EF，所以EF⊥BC.(2)如圖1，取BC的中點(diǎn)G，連接EG，GF，則四邊形EGFA1是平行四邊形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形．由(1)，得BC⊥平面EGFA1，所以平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上．連接A1G交EF于點(diǎn)O，則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成的角(或其補(bǔ)角)．不妨設(shè)AC＝4，則在Rt△A1EG中，A1E＝2，EG＝.由于O為A1G的中點(diǎn)，故EO＝OG＝＝，所以cos∠EOG＝＝.因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是.解法二：(1)證明：連接A1E.因?yàn)?/span>A1A＝A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC.又因?yàn)槠矫?/span>A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC.如圖2，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz.不妨設(shè)AC＝4，則E(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3,2)，F，C(0,2,0)．因此，＝，＝(－，1,0)．由·＝0，得EF⊥BC.(2)由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)．設(shè)平面A1BC的法向量為n＝(x，y，z)．由得取n＝(1, ，1)，設(shè)直線EF與平面A1BC所成的角為θ，故sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，所以cosθ＝.因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是.利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)． (2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線與平面所成的角． 提醒：在求平面的法向量時(shí)，若能找出平面的垂線，則在垂線上取兩個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)法向量． [即時(shí)訓(xùn)練]　3．(2020·鄭州一中測(cè)試)在如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD.∠ABD＝30°，AB＝2AD.(1)求證：平面BDEF⊥平面ADE；(2)若ED＝BD，求直線AF與平面AEC所成角的正弦值．解　(1)證明：在△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝2AD，由余弦定理，得BD＝AD，從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，所以△ABD為直角三角形且∠ADB＝90°.因?yàn)?/span>DE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以DE⊥BD.又因?yàn)?/span>AD∩DE＝D.所以BD⊥平面ADE.因?yàn)?/span>BD?平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.(2)由(1)可得，在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，BD＝AD，又由ED＝BD，設(shè)AD＝1，則BD＝ED＝. 因?yàn)?/span>DE⊥平面ABCD，BD⊥AD，所以以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則A(1,0,0)，C(－1，，0)，E(0,0，)，F(0，，)，所以＝(－1,0，).＝(－2，，0)．設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，則即令z＝1，得n＝(，2,1)為平面AEC的一個(gè)法向量．因?yàn)?/span>＝(－1，，)，所以cos〈n，〉＝＝，所以直線AF與平面AEC所成角的正弦值為.角度3　　求二面角 例4　(2019·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．  解　(1)證明：如圖，連接B1C，ME.因?yàn)?/span>M，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因?yàn)?/span>N為A1D的中點(diǎn)，所以ND＝A1D.由題設(shè)知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，所以MN∥ED.因?yàn)?/span>MN?平面C1DE，ED?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>x軸正方向，D的方向?yàn)?/span>y軸正方向，的方向?yàn)?/span>z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，＝(0,0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(－1,0，－2)，＝(0，－，0)．設(shè)m＝(x，y，z)為平面A1MA的法向量，則所以可取m＝(，1,0)．設(shè)n＝(p，q，r)為平面A1MN的法向量，則所以可取n＝(2,0，－1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角A－MA1－N的正弦值為. 利用向量法確定二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大?。?/span> (2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量夾角的大小就是二面角的大小． [即時(shí)訓(xùn)練]　4.(2019·全國(guó)卷Ⅲ)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)證明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．解　(1)證明：由已知，得B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又因?yàn)?/span>BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>x軸正方向，的方向?yàn)?/span>y軸正方向，的方向?yàn)?/span>z軸正方向，||為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(1，－1，1)，CC1＝(0,0,2)．設(shè)平面EBC的法向量為n＝(x1，y1，z1)，則即所以可取n＝(0，－1，－1)．設(shè)平面ECC1的法向量為m＝(x2，y2，z2)，則即所以可取m＝(1,1,0)．于是cosn，m＝＝－.所以二面角B－EC－C1的正弦值為.考向三　利用空間向量求空間距離(選學(xué))例5　如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD.(1)證明：DC1⊥BC；(2)設(shè)AA1＝2，A1B1的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P到平面BDC1的距離．解　(1)證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形．由于D為AA1的中點(diǎn)，故DC＝DC1.又由AC＝AA1可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.又因?yàn)?/span>DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.因?yàn)?/span>BC?平面BCD，所以DC1⊥BC.(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，DC1∩CC1＝C1，則BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1兩兩垂直．以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>x軸的正方向，C的方向?yàn)?/span>y軸的正方向，的方向?yàn)?/span>z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.由題意知B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)，B1(0，1,2)，P，則＝(1，－1，1)，＝(－1，0,1)，＝.設(shè)m＝(x，y，z)是平面BDC1的法向量，則即可取m＝(1,2,1)．設(shè)點(diǎn)P到平面BDC1的距離為d，則d＝＝. 求平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離的步驟(1)求平面α的法向量n. (2)在平面α內(nèi)取一點(diǎn)A，確定向量的坐標(biāo)． (3)代入公式d＝求解． [即時(shí)訓(xùn)練]　5.如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE＝2，M為線段BF的中點(diǎn)．(1)求M到平面DEC的距離及三棱錐M－CDE的體積；(2)求證：DM⊥平面ACE.解　(1)設(shè)AC∩BD＝O，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，過(guò)O作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，，0)，D(－1,0,0)，E(－1,0,2)，M(1,0,1)，＝(0,0,2)，＝(1，，0)，＝(2,0,1)，∵·＝0，∴DE⊥DC，∴S△CDE＝DE·DC＝×2×2＝2，設(shè)平面DEC的法向量n＝(x，y，z)，則取x＝，得n＝(，－1,0)，∴M到平面DEC的距離h＝＝＝，∴三棱錐M－CDE的體積V＝S△CDE×h＝×2×＝.(2)證明：A(0，－，0)，＝(0,2，0)，＝(－1，，2)，·＝0，·＝－2＋2＝0，∴AC⊥DM，AE⊥DM，∵AC∩AE＝A，∴DM⊥平面ACE.  　(2019·天津市重點(diǎn)中學(xué)高三聯(lián)考)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.(1)求證：PD⊥平面PAB；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．解　(1)證明：因?yàn)槠矫?/span>PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)?/span>PA⊥PD，PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.(2)取AD的中點(diǎn)O，連接PO，CO.因?yàn)?/span>PA＝PD，所以PO⊥AD.又因?yàn)?/span>PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因?yàn)?/span>CO?平面ABCD，所以PO⊥CO.因?yàn)?/span>AC＝CD，所以CO⊥AD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0，0,1)，P＝(1,1，－1)，P＝(2,0，－1)，P＝(0，－1，－1)．設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，則即令z＝2，則x＝1，y＝－2，所以n＝(1，－2,2)．又＝(1,1，－1)，所以cos〈n，〉＝＝－，所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.(3)設(shè)M是棱PA上一點(diǎn)，則存在λ∈[0,1]使得＝λ.因此點(diǎn)M(0,1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ)．因?yàn)?/span>BM?平面PCD，所以當(dāng)且僅當(dāng)·n＝0時(shí)BM∥平面PCD，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0，解得λ＝.所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM∥平面PCD，此時(shí)＝.答題啟示對(duì)于點(diǎn)的探究型問(wèn)題，要善于根據(jù)點(diǎn)的位置結(jié)合向量的有關(guān)定理靈活設(shè)出未知量，盡量使未知量個(gè)數(shù)最少．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練  (2019·河南開(kāi)封一模)如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AE⊥平面BCE，且AE＝1.(1)求證：平面ABCD⊥平面ABE；(2)線段AD上是否存在一點(diǎn)F，使二面角A－BF－E的余弦值為？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解　(1)證明：∵AE⊥平面BCE，BC?平面BCE，∴AE⊥BC，又BC⊥AB，AE∩AB＝A，∴BC⊥平面ABE，又BC?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABE.(2)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Axyz，∵AE⊥平面BCE，BE?平面BCE，∴AE⊥BE，又AE＝1，AB＝2，∴BE＝.假設(shè)線段AD上存在一點(diǎn)F滿足題意，E，B(0,2,0)，F(0,0，h)(0<h≤2)，由已知得平面ABF的一個(gè)法向量為m＝(1,0,0)，∵＝，＝(0，－2，h)，∴設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，由得取y＝1，得n＝，cos〈m，n〉＝＝＝，∴h＝1.∴存在一點(diǎn)F，且點(diǎn)F為線段AD的中點(diǎn)時(shí)，二面角A－BF－E的余弦值為. 

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