2021高三數(shù)學(xué)北師大版（理）一輪教師用書：第8章經(jīng)典微課堂規(guī)范答題系列3高考中的立體幾何問題

[命題解讀]　立體幾何是高考的重要內(nèi)容，從近五年全國卷高考試題來看，立體幾何每年必考一道解答題，難度中等，主要采用“論證與計算”相結(jié)合的模式，即首先利用定義、定理、公理等證明空間的線線、線面、面面平行或垂直，再利用空間向量進行空間角的計算，考查的熱點是平行與垂直的證明、二面角的計算、平面圖形的翻折、探索存在性問題，突出三大能力：空間想象能力、運算能力、邏輯推理能力與兩大數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的考查．[典例示范]　(本題滿分12分)(2019·全國卷Ⅲ)圖1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.圖1　　　　　　　圖2(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點共面①，且平面ABC⊥平面BCGE②；(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小③.[信息提取]　看到①想到四邊形ACGD共面的條件，想到折疊前后圖形中的平行關(guān)系；看到②想到面面垂直的判定定理；看到③想到利用坐標法求兩平面法向量的夾角余弦值，想到建立空間直角坐標系．[規(guī)范解答]　(1)由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面. 2分由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE.  3分又因為AB平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.  4分(2)作EH⊥BC，垂足為H.因為EH平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC.  5分由已知，菱形BCGE的邊長為2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝.  6分以H為坐標原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz，則A(－1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，＝(1,0，)，＝(2，－1,0). 8分設(shè)平面ACGD的法向量為n＝(x，y，z)，則即 9分所以可取n＝(3,6，－).  10分又平面BCGE的法向量可取為m＝(0,1,0)，所以cos〈n，m〉＝＝. 11分因此，二面角B-CG-A的大小為30°. 12分[易錯防范]易錯點防范措施不能恰當(dāng)?shù)慕⒅苯亲鴺讼?/span>由(1)的結(jié)論入手，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)及側(cè)面菱形的邊角關(guān)系建立空間直角坐標系建系后寫不出G點的坐標結(jié)合折疊后棱柱的側(cè)棱關(guān)系：＝可求出，或者借助折疊前后直角三角形的邊角關(guān)系，直接求出點G的坐標[通性通法]　合理建模、建系巧解立體幾何問題(1)建模——將問題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型、平面化模型或角度、距離等的計算模型；(2)建系——依托于題中的垂直條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解．[規(guī)范特訓(xùn)]　1.(2019·江南十校二模)已知多面體ABC-DEF，四邊形BCDE為矩形，△ADE與△BCF為邊長為2的等邊三角形，AB＝AC＝CD＝DF＝EF＝2.(1)證明：平面ADE∥平面BCF；(2)求BD與平面BCF所成角的正弦值．[解]　(1)取BC，DE中點分別為O，O1，連接OA，O1A，OF，O1F.由AB＝AC＝CD＝DF＝EF＝2，BC＝DE＝CF＝AE＝AD＝BF＝2，可知△ABC，△DEF為等腰直角三角形，故OA⊥BC，O1F⊥DE，CD⊥DE，CD⊥DF，又DE∩DF＝D，故CD⊥平面DEF，平面BCDE⊥平面DEF，因為平面BCDE∩平面DEF＝DE，O1F⊥DE，所以O1F⊥平面BCDE.同理OA⊥平面BCDE；所以O1F∥OA，而O1F＝OA，故四邊形 AOFO1為平行四邊形，所以AO1∥OF，AO1平面BCF，OF平面BCF，所以AO1∥平面BCF，又BC∥DE，故DE∥平面BCF，而AO1∩DE＝O1，所以平面ADE∥平面BCF.(2)以O為坐標原點，以過O且平行于AC的直線作為x軸，平行于AB的直線作為y軸，OO1為z軸建立空間直角坐標系如圖．則有B(1,1,0)，C(－1，－1,0)，D(－1，－1,2)，F(－1,1,2)，故＝(－2，－2,2)，＝(－2，－2,0)，＝(－2,0,2)．設(shè)平面BCF的法向量為n＝(x，y，z)，由⊥n，⊥n得取x＝1得y＝－1，z＝1，故平面BCF的一個法向量為n＝(1，－1,1)．設(shè)BD與平面BCF所成角為θ，則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.故BD與平面BCF所成角的正弦值為.2．(2019·河南、河北考前模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點E是邊AD上的一點，且AE＝2ED，點H是BE的中點，將△ABE沿著BE折起，使點A運動到點S處，且有SC＝SD.(1)證明：SH⊥平面BCDE.(2)求二面角C-SB-E的余弦值．[解]　(1)證明：取CD的中點M，連接HM，SM，由已知得AE＝AB＝2，∴SE＝SB＝2，又點H是BE的中點，∴SH⊥BE.∵SC＝SD，點M是線段CD的中點，∴SM⊥CD.又∵HM∥BC，BC⊥CD，∴HM⊥CD，∵SM∩HM＝M，從而CD⊥平面SHM，得CD⊥SH，又CD，BE不平行，∴SH⊥平面BCDE.(2)法一：取BS的中點N，BC上的點P，使BP＝2PC，連接HN，PN，PH，可知HN⊥BS，HP⊥BE.由(1)得SH⊥HP，∴HP⊥平面BSE，則HP⊥SB，又HN⊥BS，HN∩HP＝H，∴BS⊥平面PHN，∴二面角C-SB-E的平面角為∠PNH.又計算得NH＝1，PH＝，PN＝，∴cos∠PNH＝＝.法二：由(1)知，過H點作CD的平行線GH交BC于點G，以點H為坐標原點，HG，HM，HS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz，則點B(1，－1,0)，C(1,2,0)，E(－1,1,0)，S(0,0，), ∴＝(0,3,0)，＝(－2,2,0)，＝(－1,1，)．設(shè)平面SBE的法向量為m＝(x1，y1，z1)，由 令y1＝1，得m＝(1,1,0)．設(shè)平面SBC的法向量為n＝(x2，y2，z2)，由令z2＝1，得n＝(，0,1)．∴cos〈m，n〉＝＝＝.∴二面角C-SB-E的余弦值為.