[最新考綱]　1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用．


1．橢圓的定義
(1)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
①當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡為橢圓；
②當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡為線段F1F2；
③當(dāng)2ab>0)
＋＝1(a>b>0)
圖形


性
質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
離心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2－b2


1．點(diǎn)P(x0，y0)和橢圓的位置關(guān)系
(1)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi)?＋＜1.
(2)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上?＋＝1.
(3)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓外?＋＞1.
2．焦點(diǎn)三角形
如圖，橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．設(shè)r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓＋＝1(a＞b＞0)中：

(1)當(dāng)r1＝r2時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc.
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.
(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
3．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊長(zhǎng)，a2＝b2＋c2.
4．已知過(guò)焦點(diǎn)F1的弦AB，則△ABF2的周長(zhǎng)為4a.
5．橢圓中點(diǎn)弦的斜率公式
若M(x0，y0)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y軸)的中點(diǎn)，則有kAB·kOM＝－，即kAB＝－.
6．弦長(zhǎng)公式：直線與圓錐曲線相交所得的弦長(zhǎng)
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝|y1－y2|＝(k為直線的斜率)．

一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．(　　)
(2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長(zhǎng)為2a＋2c(其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為橢圓的半焦距)．(　　)
(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　)
(4)關(guān)于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲線是橢圓．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、教材改編
1．若F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2距離之和為10，則P點(diǎn)的軌跡方程是(　　)
A.＋＝1　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1
A　[設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1.故選A.]
2．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是(　　)
A. B．
C．2－ D．－1
D　[法一：設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，依題意，顯然有|PF2|＝|F1F2|，則＝2c，即＝2c，即e2＋2e－1＝0，又00)．因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率e＝，所以解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.]
第1課時(shí)　橢圓及其性質(zhì)

考點(diǎn)1　橢圓的定義及應(yīng)用
　橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面
一是判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積、弦長(zhǎng)、最值和離心率等．
　(1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是(　　)
A．橢圓　　　　　　　 B．雙曲線
C．拋物線 D．圓
(2)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F2的面積為(　　)
A．7　 B．
C．　 D．
(1)A　(2)C　[(1)由題意可知，CD是線段MF的垂直平分線，
∴|MP|＝|PF|，
∴|PF|＋|PO|
＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)．
又|MO|＞|FO|，
∴點(diǎn)P的軌跡是以F，O為焦點(diǎn)的橢圓，故選A.
(2)由題意得a＝3，b＝，c＝，
∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6.
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.
∴|AF1|＝，
∴S△AF1F2＝××2×＝.]
　本例(1)應(yīng)用線段中垂線的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)了“|PF|＋|PO|”向定值的轉(zhuǎn)化；本例(2)把余弦定理與橢圓的定義交匯在一起，借助方程的思想解出|AF1|，從而求得△AF1F2的面積．
[教師備選例題]
設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|－|PF1|的最小值為________．
－5　[由橢圓的方程可知F2(3,0)，由橢圓的定義可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，
當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)，
又|MF2|＝＝5,2a＝10，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，
即|PM|－|PF1|的最小值為－5.]
　已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________.
3　[設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
則所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]
考點(diǎn)2　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
　定義法
　先根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義，并確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程．特別地，利用定義法求橢圓方程要注意條件2a＞|F1F2|.
　1.在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周長(zhǎng)是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是(　　)
A．＋＝1(y≠0) B．＋＝1(y≠0)
C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0)
A　[由|AC|＋|BC|＝18－8＝10＞8知，頂點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓(A，B，C不共線)．設(shè)其方程為＋＝1(a＞b＞0)，則a＝5，c＝4，從而b＝3.
由A，B，C不共線知y≠0.
故頂點(diǎn)C的軌跡方程是＋＝1(y≠0)．]
2．已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A．－＝1　　　 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
D　[設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，∴動(dòng)圓圓心M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16,2c＝8，則a＝8，c＝4，∴b2＝48，故所求的軌跡方程為＋＝1.]
　利用定義法求軌跡方程時(shí)，注意檢驗(yàn)所求軌跡是否是完整的曲線，倘若不是完整的曲線，應(yīng)對(duì)曲線中的變量x或y進(jìn)行限制．
　待定系數(shù)法
　利用待定系數(shù)法要先定形(焦點(diǎn)位置)，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定，可設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
　1.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)
過(guò)兩點(diǎn)，(，)，則橢圓方程為________．
＋＝1　[設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．
由解得m＝，n＝.
∴橢圓方程為＋＝1.]
2．過(guò)點(diǎn)(，－)，且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
＋＝1　[法一：橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由橢圓的定義知，
2a＝＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
法二：∵所求橢圓與橢圓＋＝1的焦點(diǎn)相同，
∴其焦點(diǎn)在y軸上，
且c2＝25－9＝16.
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16.①
又點(diǎn)(，－)在所求橢圓上，
∴＋＝1，
則＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.]
3．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為________．
x2＋y2＝1　[不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，如圖所示．
∵AF2⊥x軸，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0＜b＜1，c＞0)．
又∵|AF1|＝3|F1B|，
∴由＝3得B，
代入x2＋＝1得＋＝1.
又c2＝1－b2，∴b2＝.
故橢圓E的方程為x2＋y2＝1.]

　(1)已知橢圓上兩點(diǎn)，常設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，
n＞0，m≠n)；(2)橢圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦)長(zhǎng)為.
考點(diǎn)3　橢圓的幾何性質(zhì)
　橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距
　求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題，如：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析．
　(1)已知橢圓＋＝1的長(zhǎng)軸在x軸上，焦距為4，則m等于(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
(2)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，且兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
(1)A　(2)＋＝1　[(1)因?yàn)闄E圓＋＝1的長(zhǎng)軸在x軸上，所以 解得60)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2，則該橢圓的離心率的取值范圍是(　　)
A. B．
C. D.
B　[∵F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，∴0c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，
所以2e2

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