2021高三數(shù)學(xué)北師大版（理）一輪教師用書：第4章經(jīng)典微課堂規(guī)范答題系列1：高考中的解三角形問題

[命題解讀]　從近五年全國卷高考試題來看，解答題第17題交替考查解三角形與數(shù)列，本專題的熱點題型有：一是考查解三角形；二是解三角形與三角恒等變換的交匯問題；三是平面幾何圖形中的度量問題；四是三角形中的最值(范圍)問題．[典例示范]　(本題滿分12分)(2018·全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB①；(2)若DC＝2，求BC②.[信息提取]　看到①想到△ADB；想到△ADB中已知哪些量；想到如何應(yīng)用正、余弦定理解三角形．看到②想到△DBC；想到用余弦定理求BC.[規(guī)范解答]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.由題設(shè)知，＝， 2分所以sin∠ADB＝.  3分由題設(shè)知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝.6分(2)由題設(shè)及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝. 8分在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25.  11分所以BC＝5.  12分[易錯防范]　易錯點防范措施想不到先求sin∠ADB，再計算cos∠ADB.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1常作為隱含條件，必須熟記于心求不出cos∠BDC.互余的兩個角α，β滿足sin α＝cos β[通性通法]　求解此類問題的突破口：一是觀察所給的四邊形的特征，正確分析已知圖形中的邊角關(guān)系，判斷是用正弦定理，還是用余弦定理，求邊或角；二是注意大邊對大角在解三角形中的應(yīng)用．[規(guī)范特訓(xùn)]　(2019·皖南八校聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知a＋2b＝2ccos A.(1)求角C；(2)已知△ABC的面積為，b＝4，求邊c的長．[解]　(1)∵a＋2b＝2ccos A，∴由正弦定理得sin A＋2sin B＝2sin Ccos A，則sin A＋2sin(A＋C)＝2sin Ccos A，化簡得sin A＋2sin Acos C＝0.由0＜A＜π，得sin A＞0，則cos C＝－.由0＜C＜π，得C＝.(2)△ABC的面積為absin C＝.又b＝4，sin C＝，∴a＝1.∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋16－2×1×4×＝21，∴c＝.