第1講　高考客觀題的解法

1．在“限時(shí)”的高考考試中，解答選擇題不但要“準(zhǔn)”，更要“快”，只有“快”，才能為后面的解答題留下充足的時(shí)間．而要做到“快”，必然要追求“巧”，“巧”即“不擇手段、多快好省”．由于數(shù)學(xué)選擇題是四選一的形式，因而在解答時(shí)應(yīng)突出一個(gè)“選”字，要充分利用題干和選項(xiàng)兩方面提供的信息，盡量減少書寫解題過程，依據(jù)題目的具體特點(diǎn)，靈活、巧妙、快速地選擇解法，以便快速解答．一般來說，能定性判斷的，就不再使用復(fù)雜的定量計(jì)算；能使用特殊值判斷的，就不必采用常規(guī)解法；能使用間接法的，就不必采用直接法；對(duì)于明顯可以否定的選項(xiàng)應(yīng)及早排除，以縮小選擇的范圍；初選后要認(rèn)真檢驗(yàn)，確保準(zhǔn)確．
2．?dāng)?shù)學(xué)填空題只要求寫出結(jié)果，不要求寫出計(jì)算和推理過程，其結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá)式(數(shù))最簡(jiǎn)．解題時(shí)，要有合理地分析和判斷，要求推理、運(yùn)算的每一步驟都正確無誤，還要求將答案表達(dá)得準(zhǔn)確、完整．合情推理、優(yōu)化思路、少算多思是快速、準(zhǔn)確地解答填空題的基本要求．
數(shù)學(xué)填空題，絕大多數(shù)是計(jì)算型(尤其是推理計(jì)算型)和概念(性質(zhì))判斷型的試題，應(yīng)答時(shí)必須按規(guī)則進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算或者合乎邏輯的推演和判斷．求解填空題的基本策略是要在“準(zhǔn)”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、數(shù)形結(jié)合法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等．

技法一　直接法
直接從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識(shí)，通過嚴(yán)密的推理和準(zhǔn)確的運(yùn)算，從而得出正確的結(jié)論．涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡(jiǎn)單的題目常用直接法．
[典型例題]
(1)(2019·杭州市學(xué)軍中學(xué)高考模擬)展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為1 024，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值是(　　)
A．790　　　B．680　　　C．462　　　D．330
(2)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，則A＝________，b＝________．
【解析】　(1)由題意可得2n－1＝1 024，即得n＝11，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值是C或C，則C＝＝462，故選C.
(2)由于2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x
＝sin(2x＋)＋1，所以A＝，b＝1.
【答案】　(1)C　(2)　1

直接法是解決選擇題，填空題最基本的方法，直接法適用范圍較廣．在計(jì)算過程中，要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計(jì)算過程簡(jiǎn)化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解問題的關(guān)鍵．　
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(2018·高考浙江卷)復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是(　　)
A．1＋i　　　B．1－i C．－1＋i　　　D．－1－i
解析：選B.因?yàn)椋剑剑?＋i，
所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為1－i.故選B.
2．若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝________．
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，則a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，所以＝1.
答案：1
技法二　特例法
當(dāng)已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論．
[典型例題]
(1)若函數(shù)f(x)＝x2＋ ax＋b在區(qū)間[0, 1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m(　　)
A．與a有關(guān)，且與b有關(guān)
B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)
C．與a無關(guān)，且與b無關(guān)
D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)
(2)已知E為△ABC的重心，AD為BC邊上的中線，令＝a，＝b，過點(diǎn)E的直線分別交AB，AC于P，Q兩點(diǎn)，且＝ma，＝nb，則＋＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D.
【解析】　(1)因?yàn)樽钪翟趂(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b，f(－)＝b－中取，所以最值之差一定與b無關(guān)，故選B.
(2)由于直線PQ是過點(diǎn)E的一條“動(dòng)”直線，所以結(jié)果必然是一個(gè)定值．故可利用特殊直線確定所求值．
法一：如圖1，令PQ∥BC，
則＝，＝，此時(shí)，m＝n＝，
故＋＝3.故選A.

法二：如圖2，直線BE與直線PQ重合，此時(shí)，＝，＝，故m＝1，n＝，所以＋＝3.故選A.

【答案】　(1)B　(2)A

特例法具有簡(jiǎn)化運(yùn)算和推理的優(yōu)點(diǎn)，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題或填空題，但用特例法解題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：　
第一，取特例盡可能簡(jiǎn)單，有利于計(jì)算和推理；
第二，若在不同的特殊情況下有兩個(gè)或兩個(gè)以上的結(jié)論相符，則應(yīng)選另一特例情況再檢驗(yàn)，或改用其他方法求解；
第三，對(duì)于開放性的問題或者有多種答案的填空題，不能使用該種方法求解．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
如圖，點(diǎn)P為橢圓＋＝1上第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過橢圓的右項(xiàng)點(diǎn)A、上頂點(diǎn)B分別作y軸、x軸的平行線，它們相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)P引BC，AC的平行線交AC于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)M，交AB于D、E兩點(diǎn)，記矩形PMCN的面積為S1，三角形PDE的面積為S2，則S1∶S2＝(　　)

A．1　　　　B．2 C.　　　　D.
解析：選A.不妨取點(diǎn)P，
則可計(jì)算S1＝×(5－4)＝，
由題易得PD＝2，PE＝，
所以S2＝×2×＝，
所以S1∶S2＝1.
技法三　圖解法
對(duì)于一些含有幾何背景的問題，若能“數(shù)中思形”“以形助數(shù)”，則往往可以借助圖形的直觀性，迅速作出判斷，簡(jiǎn)捷地解決問題，得出正確的結(jié)果．Venn圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象及方程的曲線等，都是常用的圖形．
[典型例題]
(1)如圖，已知正四面體D-ABC(所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐)，P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，AP＝PB，＝＝2.分別記二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角為α，β，γ，則(　　)

A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β
C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α
(2)(2019·寧波高考模擬)定義max{a，b}＝，已知函數(shù)f(x)＝max{|2x－1|，ax2＋b}，其中aOG>OF，

所以tan α－，故a的取值范圍為.
3．(2019·杭州市學(xué)軍中學(xué)模擬)已知q是等比數(shù)列{an}的公比，則“q

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