2020數(shù)學(xué)（文）二輪教師用書：第2部分專題5第1講　直線與圓-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

第1講　直線與圓

[做小題——激活思維]
1．已知點M(2,2)和N(5，－2)，點P在x軸上，且∠MPN為直角，則點P的坐標為________．
[答案]　(1,0)或(6,0)
2．若直線l過點(2,3)，且在兩坐標軸上的截距相等，則直線l的方程是________．
[答案]　3x－2y＝0或x＋y－5＝0
3．圓心在y軸上且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是________．
x2＋y2－10y＝0　[設(shè)圓心為(0，b)，半徑為r，則r＝|b|，
∴圓的方程為x2＋(y－b)2＝b2.
∵點(3,1)在圓上，
∴9＋(1－b)2＝b2，
解得b＝5，
∴圓的方程為x2＋y2－10y＝0.]
4．若點P在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為，則點P的坐標為________．
[答案]　(1,2)或(2，－1)
5．已知線段AB的端點B的坐標是(4,3)，端點A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運動，則線段AB的中點M的軌跡方程是________．
[答案]　2＋2＝1
6．已知圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0，則兩圓的公共弦長為________．
[答案]　2
[扣要點——查缺補漏]
1．直線的方程
(1)解決直線方程問題，要充分利用數(shù)形結(jié)合思想，養(yǎng)成邊讀題邊畫圖分析的習(xí)慣．
(2)求直線方程時應(yīng)根據(jù)條件選擇適合的方程形式利用特定系數(shù)法求解，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意．如T1，T2.
(3)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性．
2．圓的方程
(1)直接法求圓的方程：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．
(2)待定系數(shù)法求圓的方程：設(shè)圓的標準方程或圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出方程組，確定系數(shù)后得到圓的方程．如T3.

　圓的方程及應(yīng)用(5年3考)

[高考解讀]　高考對圓的方程求法的單獨考查很少，多考查直線與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用.
(2018·全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．
切入點：①過F且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于A，B兩點；
②|AB|＝8.
關(guān)鍵點：根據(jù)拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化求解．
[解]　(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此l的方程為y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
設(shè)所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則

解得或
因此所求圓的方程為
(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
[教師備選題]
1．(2015·北京高考)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D　[利用兩點間的距離公式求圓的半徑，從而寫出方程．圓的半徑r＝＝，圓心坐標為(1,1)，所以圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.]
2．[一題多解](2018·天津高考)在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為________．
x2＋y2－2x＝0　[法一：易知以(0,0)，(1,1)，(2,0)為頂點的三角形為等腰直角三角形，其外接圓的圓心為(1,0)，半徑為1，所以所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
法二：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知條件可得解得
所以所求圓的方程為x2＋y2－2x＝0.]
3．(2015·湖北高考)如圖，已知圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圓C的標準方程為________；
(2)圓C在點B處的切線在x軸上的截距為________．
(1)(x－1)2＋(y－)2＝2　(2)－－1　[(1)結(jié)合圖形，確定圓C的圓心坐標和半徑，從而寫出圓的標準方程．
取AB的中點D，連接CD，則CD⊥AB.
由題意|AD|＝|CD|＝1，
故|AC|＝＝，即圓C的半徑為.
又因為圓C與x軸相切于點T(1,0)，所以圓心C的坐標為(1，)，故圓C的標準方程為(x－1)2＋(y－)2＝2.
(2)如圖，先求出點B的坐標，進而求出圓C在點B處的切線方程，再求切線在x軸上的截距．
令(x－1)2＋(y－)2＝2中的x＝0，解得y＝±1，故B(0，＋1)．直線BC的斜率為＝－1，故切線的斜率為1，切線方程為y＝x＋＋1.令y＝0，解得x＝－－1，故所求截距為－－1.]

常見的求圓的方程的方法
(1)利用圓的幾何特征，求出圓心坐標和半徑長，從而寫出圓的標準方程.
(2)利用待定系數(shù)法.若利用所給條件易求圓心的坐標和半徑長，則常用標準方程求解；若所給條件與圓心、半徑關(guān)系不密切或涉及圓上多點，則常用一般方程求解.

1．(由圓的方程求參數(shù))若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－2)　 B.
C．(－2,0) D.
D　[若方程表示圓，則a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，化簡得3a2＋4a－4＜0，
解得－2＜a＜.]
2．(求圓的標準方程)若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標準方程為________．
(x－2)2＋(y－1)2＝1　[∵圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，∴圓心的縱坐標是1，設(shè)圓心坐標為(a,1)(a＞0)，則1＝，∴a＝2，故該圓的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.]
3．(與平面向量的交匯問題)已知圓M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB為圓M的任意一條直徑，且·＝－6(其中O為坐標原點)，則圓M的半徑r＝________.
　[圓M的標準方程為(x－1)2＋y2＝1－a(a＜1)，圓心M(1,0)，則|OM|＝1，圓的半徑r＝，因為AB為圓M的任意一條直徑，所以＝－，且||＝||＝r，則·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝2－2＝1－r2＝－6，所以r2＝7，得r＝，所以圓的半徑為.
　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(5年8考)

[高考解讀]　高考對圓的考查以直線與圓的位置關(guān)系、弦長問題為主，題型靈活，難度中等，對于切線及圓與圓的位置關(guān)系的考查較少.
角度一：與圓有關(guān)的距離問題
1．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　)
A．[2,6]　 B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
切入點：①直線x＋y＋2＝0與x軸、y軸交于A，B兩點；
②點P在圓(x－2)2＋y2＝2上．
關(guān)鍵點：①求出|AB|；②求出點P到直線x＋y＋2＝0的距離的范圍．
A　[由題意知圓心的坐標為(2,0)，半徑r＝，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d＝＝2，所以圓上的點到直線的最大距離是d＋r＝3，最小距離是d－r＝.易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以2≤S△ABP≤6.故選A.]
2．(2016·全國卷Ⅱ)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　)
A．－ B．－
C. D．2
切入點：①圓的方程；②圓心到直線的距離．
關(guān)鍵點：正確求出圓心坐標．
A　[圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的標準方程為(x－1)2＋(y－4)2＝4，由圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1可知＝1，解得a＝－，故選A.]
角度二：弦長問題
3．(2018·全國卷Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點，則|AB|＝________.
切入點：①直線方程；②圓的方程．
關(guān)鍵點：正確應(yīng)用弦長的求法．
2　[由題意知圓的方程為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓心坐標為(0，－1)，半徑為2，則圓心到直線y＝x＋1的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝2.]
4．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為________．
切入點：①直線和圓的方程；②|AB|＝2.
關(guān)鍵點：根據(jù)|AB|＝2確定a的值．
4π　[圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標準方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圓心C(0，a)，半徑r＝.又|AB|＝2，點C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圓C的面積為π×22＝4π.]
角度三：直線與圓的綜合問題
5．(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為(0,1)．當m變化時，解答下列問題：
(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；
(2)證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值．
切入點：曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點．
關(guān)鍵點：①計算kAC·kBC＝－1；②確定圓心和半徑．
[解]　(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況．理由如下：
設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又點C的坐標為(0,1)，
故AC的斜率與BC的斜率之積為·＝－，
所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況．
(2)證明：BC的中點坐標為，可得BC的中垂線方程為y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂線方程為x＝－.
聯(lián)立
又x＋mx2－2＝0，可得
所以過A，B，C三點的圓的圓心坐標為，半徑r＝.
故圓在y軸上截得的弦長為2＝3，
即過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值．
[教師備選題]
1．(2014·全國卷Ⅱ)設(shè)點M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是(　　)
A．[－1,1]　 B.
C．[－，] D.
A　[如圖，過點M作⊙O的切線，切點為N，連接ON.M點的縱坐標為1，MN與⊙O相切于點N.
設(shè)∠OMN＝θ，則θ≥45°，即sin θ≥，即≥.
而ON＝1，∴OM≤.
∵M為(x0,1)，
∴≤，
∴x≤1，
∴－1≤x0≤1，
∴x0的取值范圍為[－1,1]．]
2．(2016·全國卷Ⅲ)已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|＝________.
4　[如圖所示，∵直線AB的方程為x－y＋6＝0，
∴kAB＝，∴∠BPD＝30°，
從而∠BDP＝60°.
在Rt△BOD中，
∵|OB|＝2，∴|OD|＝2.
取AB的中點H，連接OH，則OH⊥AB，
∴OH為直角梯形ABDC的中位線，
∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.]
3．(2015·全國卷Ⅰ)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點．
(1)求k的取值范圍；
(2)若·＝12，其中O為坐標原點，求|MN|.
[解]　(1)由題設(shè)可知直線l的方程為y＝kx＋1.
因為直線l與圓C交于兩點，所以