高中北師大版 (2019)1 生活中的變量關(guān)系一等獎(jiǎng)教案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

§1 生活中的變量關(guān)系

1．依賴關(guān)系

一般地，在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，如果其中一個(gè)變量的值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的值也會(huì)隨之發(fā)生變化，那么就稱這兩個(gè)變量具有依賴關(guān)系．

思考1：某人坐摩天輪一圈用時(shí)8分鐘．若摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則他的海拔高度與摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間有依賴關(guān)系嗎？當(dāng)他位于摩天輪一半高度時(shí)，摩天輪轉(zhuǎn)了多少分鐘？

提示：該人的海拔高度與摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間有依賴關(guān)系．當(dāng)他位于摩天輪一半高度時(shí)，摩天輪轉(zhuǎn)了2分鐘或6分鐘．

2．函數(shù)關(guān)系

一般地，當(dāng)變量x每取一個(gè)值，另一個(gè)變量y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)時(shí)，變量x、y之間具有函數(shù)關(guān)系，并且y是x的函數(shù)．

思考2：某人坐摩天輪一圈用時(shí)8分鐘．若摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，若把摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間作為自變量，他的海拔高度h為因變量，則每取一個(gè)t值，有幾個(gè)h值與之對(duì)應(yīng)？

提示：每取一個(gè)t值，有唯一一個(gè)h值與之對(duì)應(yīng)．

3．分段函數(shù)

在自變量的不同取值范圍內(nèi)，有不同的對(duì)應(yīng)法則，需要用不同的解析式來(lái)表示的函數(shù)叫作分段函數(shù)．

1．下列各量間不存在依賴關(guān)系的是( )

A．扇形的圓心角與它的面積

B．某人的體重與其飲食情況

C．水稻的畝產(chǎn)量與施肥量

D．某人的衣著價(jià)格與視力

[答案] D

2．一人騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；下圖中與這件事正好吻合的圖象是(其中x軸表示時(shí)間，y軸表示路程)( )

A B C D

A [開(kāi)始一段時(shí)間路程逐漸增大，增大的速度相同，圖象是一直線段，耽擱的時(shí)間段路程不變，圖象與x軸平行，然后行駛路程在原來(lái)的基礎(chǔ)上又增大，由圖象知選A.]

3．給出下列關(guān)系：

①人的年齡與他(她)擁有的財(cái)富之間的關(guān)系；

②拋物線上的點(diǎn)與該點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系；

③橘子的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；

④某同學(xué)在6次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)與他的考試號(hào)之間的關(guān)系．

其中不是函數(shù)關(guān)系的有________(填序號(hào)).

①③④ [由已知關(guān)系判斷得，①③④中關(guān)系不確定，故不是函數(shù)關(guān)系，只有②是函數(shù)關(guān)系．]

4．如圖是一輛汽車的速度隨時(shí)間變化而變化的情況示意圖．

(1)汽車從出發(fā)到最后停止共經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？它的最高時(shí)速是多少？

(2)汽車在哪些時(shí)間段保持勻速行駛？時(shí)速分別是多少？

(3)出發(fā)后8分到10分之間可能發(fā)生了什么情況？

[解] (1)汽車從出發(fā)到最后停止共經(jīng)過(guò)了24分鐘，最高時(shí)速為80千米/時(shí)．

(2)汽車在出發(fā)后2分鐘到6分鐘，出發(fā)后18分鐘到22分鐘均保持勻速行駛，時(shí)速分別為30千米/時(shí)和80千米/時(shí)．

(3)出發(fā)后8分到10分之間汽車速度為0千米/時(shí)，重新出發(fā)后，車速很快提高到80千米/時(shí)，因此在8分到10分這段時(shí)間內(nèi)很可能在修車．

依賴關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的辨析

【例1】下列各組中兩個(gè)變量之間是否存在依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？

①球的體積和它的半徑；

②速度不變的情況下，汽車行駛的路程與行駛時(shí)間；

③家庭收入愈多，其消費(fèi)支出也有增長(zhǎng)的趨勢(shì)；

④正三角形的面積和它的邊長(zhǎng)．

[解] ①中球的體積V與半徑r間存在V＝ eq \f(4,3)πr3的關(guān)系；

②中在速度不變的情況下，行駛路程s與行駛時(shí)間t之間存在正比例關(guān)系；

③中家庭收入與其消費(fèi)支出之間存在依賴關(guān)系，但具有不確定性；

④中正三角形的面積S與其邊長(zhǎng)a間存在S＝ eq \f(\r(3),4)a2的關(guān)系．

綜上可知①②③④中兩個(gè)變量間都存在依賴關(guān)系，其中①②④是函數(shù)關(guān)系．

判斷兩個(gè)變量有無(wú)依賴關(guān)系，主要看其中一個(gè)變量變化時(shí)，另一個(gè)變量是否隨之變化．而判斷兩個(gè)變量是否具有函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是看對(duì)于一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一變量是否都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)．

eq \a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])

1．下列過(guò)程中，各變量之間是否存在依賴關(guān)系？若存在依賴關(guān)系，則其中哪些是函數(shù)關(guān)系？

(1)將保溫瓶中的熱水倒入茶杯中緩慢冷卻，并將一溫度計(jì)放入茶杯中，每隔一段時(shí)間，觀察溫度計(jì)示數(shù)的變化，冷卻時(shí)間與溫度計(jì)示數(shù)的關(guān)系；

(2)家庭的食品支出與電視機(jī)價(jià)格之間的關(guān)系；

(3)在高速公路上行駛的汽車所走的路程與時(shí)間的關(guān)系．

[解] (1)冷卻時(shí)間與溫度計(jì)示數(shù)具有依賴關(guān)系，根據(jù)函數(shù)定義知，二者之間是函數(shù)關(guān)系；

(2)家庭的食品支出與電視機(jī)價(jià)格之間沒(méi)有依賴關(guān)系；

(3)在高速公路上行駛的汽車所走的路程與時(shí)間這兩個(gè)變量存在依賴關(guān)系，且具有確定性，是函數(shù)關(guān)系．

綜上可知，(1)(3)中的變量間具有依賴關(guān)系，且是函數(shù)關(guān)系；(2)中兩個(gè)變量不存在依賴關(guān)系．

變量關(guān)系的表示

【例2】聲音在空氣中傳播的速度簡(jiǎn)稱音速，實(shí)驗(yàn)測(cè)得音速與氣溫的一些數(shù)據(jù)如下表：

(1)根據(jù)表內(nèi)數(shù)據(jù)作圖；

(2)用x表示y；

(3)氣溫為22 ℃時(shí)，某人看到煙花燃放5秒后才聽(tīng)到聲響，那么此人與燃放的煙花所在地約相距多少米．

[解] (1)

此圖反映的是變量音速隨氣溫的變化．

(2)由表中數(shù)據(jù)可知，氣溫每升高5 ℃，音速加快3米/秒，又過(guò)點(diǎn)(0，331)，

故所求函數(shù)關(guān)系式為y＝ eq \f(3,5)x＋331.

(3)由(2)可知?dú)鉁貫?2 ℃時(shí)，音速y＝ eq \f(3,5)×22＋331，

故此人與燃放的煙花所在地約相距為5×( eq \f(3,5)×22＋331)＝66＋1 655＝1 721(米).

借助圖表可使兩個(gè)變量間的關(guān)系直觀化，從而更便于我們從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．

eq \a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])

2．心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x(單位：分)之間有如下關(guān)系：(其中0≤x≤20)

(1)上表中反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？

(2)當(dāng)提出概念所用時(shí)間是10分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少？

(3)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為提出概念幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？

(4)從表格中可知，當(dāng)時(shí)間x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？當(dāng)時(shí)間x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步降低？

[解] (1)畫(huà)出圖如下：

反映了提出概念所用的時(shí)間x和對(duì)概念的接受能力y兩個(gè)變量之間的關(guān)系；其中x是自變量，y是因變量．

(2)由題中表格可知，當(dāng)提出概念所用時(shí)間為10分鐘時(shí)，學(xué)生接受能力是59.

(3)提出概念所用的時(shí)間為13分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)．

(4)當(dāng)x在2分鐘至13分鐘的范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)；當(dāng)x在13分鐘至20分鐘的范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步降低．

分段函數(shù)

【例3】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D的路線移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路線為x，△PAD的面積為y，

(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求當(dāng)x＝4和x＝18時(shí)的函數(shù)值；

(3)當(dāng)x取何值時(shí)，y＝20，并說(shuō)明此時(shí)點(diǎn)P在矩形的哪條邊上．

[解] (1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，此時(shí)AP＝x，

根據(jù)三角形的面積公式可得：y＝ eq \f(1,2)·AD·AP＝ eq \f(1,2)×8×x＝4x，

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積不變；

當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

DP＝6＋8＋6－x＝20－x，AD＝8

根據(jù)三角形的面積公式可得：y＝ eq \f(1,2)·AD·DP＝ eq \f(1,2)×8×(20－x)＝80－4x，

∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x（0≤x≤6），,24（6≤x≤14），,80－4x（14≤x≤20）.))

(2)當(dāng)x＝4時(shí)，y＝4x＝4×4＝16，

當(dāng)x＝18時(shí)，y＝80－4×18＝8；

(3)當(dāng)y＝4x＝20，解得x＝5，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上，

當(dāng)y＝80－4x＝20，解得x＝15，此時(shí)點(diǎn)P在線段CD上．

某些實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)解析式常用分段函數(shù)表示，須針對(duì)自變量的分段變化情況，列出各段的解析式．

eq \a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])

3．某同學(xué)從甲地以每小時(shí)6千米的速度步行2小時(shí)到達(dá)乙地，在乙地耽擱1小時(shí)后，又以每小時(shí)4千米的速度步行返回甲地。寫出該同學(xué)在上述過(guò)程中，離甲地的距離s(千米)和時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系式．

[解] 先考慮由甲地到乙地的過(guò)程，

當(dāng)0≤t≤2時(shí)，y＝6t，

再考慮在乙地耽擱的情況，

當(dāng)2

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