6.1 冪函數(shù)








經(jīng)調(diào)查，一種商品的價(jià)格和需求之間的關(guān)系如下表所示：


根據(jù)此表，我們可以得到價(jià)格x與需求量y之間近似地滿足關(guān)系式y(tǒng)＝x－0.38．這是一類怎樣的函數(shù)，這類函數(shù)有什么一般的性質(zhì)？





1．冪函數(shù)的概念


一般地，我們把形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．


2．冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)











3．在同一平面直角坐標(biāo)系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，y＝x－1的圖象如圖所示：








1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)


(1)冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限．( )


(2)冪函數(shù)的圖象必過(guò)(0,0)和(1,1)這兩點(diǎn)．( )


(3)冪函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽，與指數(shù)也無(wú)關(guān)．( )


[提示] (1)由冪函數(shù)的一般式y(tǒng)＝xα(α為常數(shù))及圖象可知，當(dāng)x>0時(shí)，y>0，即圖象不經(jīng)過(guò)第四象限．


(2)y＝x－1不經(jīng)過(guò)(0,0)點(diǎn)，故錯(cuò)誤．


(3)y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，定義域?yàn)閇0，＋∞)，與指數(shù)有關(guān)，故錯(cuò)誤．


[答案] (1)√ (2)× (3)×


2．若y＝mxα＋(2n－4)是冪函數(shù)，則m＋n＝ ．


3 [由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,2n－4＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝2，))m＋n＝3．]


3．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,8)，則f(－2)＝ ．


－8 [8＝2α，所以α＝3，


所以f(x)＝x3，f(－2)＝(－2)3＝－8．]








【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)xeq \s\up12(eq \(\f(1,m2－1)))＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值．


[思路點(diǎn)撥] 由冪函數(shù)的定義列式求解．


[解] 由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,m2－1≠0，,2n－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝\f(3,2)，))


∴m＝－3，n＝eq \f(3,2)為所求．





1．冪函數(shù)y＝xα滿足的三個(gè)特征


(1)冪xα前系數(shù)為1；


(2)底數(shù)只能是自變量x，指數(shù)是常數(shù)；


(3)項(xiàng)數(shù)只有一項(xiàng)．


2．求冪函數(shù)解析式時(shí)常用待定系數(shù)法，即設(shè)解析式為f(x)＝xα，根據(jù)條件求出α．





eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])


1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的有 ．(填序號(hào))


①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝；④y＝x2＋1；⑤y＝－eq \f(1,x)；⑥y＝xeq \s\up12(eq \f(2,3))．


③⑥ [根據(jù)冪函數(shù)的定義，只有③⑥符合題意．]


2．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過(guò)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，則f(100)＝ ．


eq \f(1,10) [由題知2α＝eq \f(\r(2),2)＝2eq \s\up12(－eq \f(1,2))，∴α＝－eq \f(1,2)．


∴f(x)＝xeq \s\up12(－eq \f(1,2))，


∴f(100)＝100eq \s\up12(－eq \f(1,2))＝eq \f(1,\r(100))＝eq \f(1,10)．]


【例2】 比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。?br/>

(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(eq \f(1,2))與eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(eq \f(1,2))；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(－1)與eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1)；


(3)0.25eq \s\up12(－eq \f(1,4))與6.25eq \s\up12(eq \f(1,4))；(4)1.20．6與0.30．4；


(5)(－3)eq \s\up12(eq \f(2,3))與(－2)eq \s\up12(eq \f(5,3))．


[思路點(diǎn)撥] 可以借助冪函數(shù)y＝x2的單調(diào)性或化為同指數(shù)或借助于中間量進(jìn)行比較．


[解] (1)∵y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))是[0，＋∞)上的增函數(shù)，且eq \f(1,3)>eq \f(1,4)，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(eq \f(1,2))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(eq \f(1,2))．


(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的減函數(shù)，


且－eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1)．


(3)0.25eq \s\up12(－eq \f(1,4))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－eq \f(1,4))＝2eq \s\up12(eq \f(1,2))，


6.25eq \s\up12(eq \f(1,4))＝2.5eq \s\up12(eq \f(1,2))．


∵y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))是[0，＋∞)上的增函數(shù)，且2b>c>d


C．d>c>a>b


D．a(chǎn)>b>d>c


(2)函數(shù)y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象大致是( )





A B C D


(1)B (2)B [(1)令a＝2，b＝eq \f(1,2)，c＝－eq \f(1,3)，d＝－1，正好和題目所給的形式相符合．


在第一象限內(nèi)，x＝1的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)增大，所以a>b>c>d．故選B．


(2)y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))的圖象位于第一象限且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖象是上升的，函數(shù)y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－1的圖象可看作由y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))的圖象向下平移一個(gè)單位得到的(如選項(xiàng)A中的圖所示)，將y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱后即為選項(xiàng)B．]


[探究問(wèn)題]


1．冪函數(shù)y＝xeq \s\up12(eq \f(2,3))的圖象應(yīng)該怎么作？


[提示] ①因?yàn)?yeq \s\up12(－eq \f(1,3))，則有以下情況：


①0

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

6.1 冪函數(shù)

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