1．熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式
2．掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法
3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用相關知識解決相應的問題

熱點題型一 公式法求和
例1、等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16。
(1)求數(shù)列{an}的通項公式。
(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第4項和第16項，試求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn。

【提分秘籍】
幾類可以使用公式求和的數(shù)列
(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加、減構成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解。
(2)奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構成等差數(shù)列或者等比數(shù)列的，可以分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式求解。
【舉一反三】
已知{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示{an}的前n項和。
(1)求an及Sn。
(2)設{bn}是首項為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2－(a4＋1)q＋S4＝0。求{bn}的通項公式及其前n項和Tn。

熱點題型二 分組法求和
例2、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝，n∈N 。
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和。
【解析】(1)當n＝1時，a1＝S1＝1；
當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝－＝n。
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n。
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn。記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，
則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)。
記A＝21＋22＋…22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則
A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n ＝n。
故數(shù)列{bn}的前2n項和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2。
【提分秘籍】
分組轉化法求和的常見類型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項和。
(2)通項公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和。
提醒：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論。
【舉一反三】
在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3。
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)記cn＝(－1)nbn＋an，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn。

(2)由題意，得cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n，
Sn＝c1＋c2＋…＋cn
＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n－1(2n－1)＋(－1)n(2n＋1) ＋3＋32＋…＋3n。
當n為偶數(shù)時，Sn＝n＋－＝＋n－。
當n為奇數(shù)時，Sn＝(n－1)－(2n＋1)＋－＝－n－。
所以Sn＝。
熱點題型三 裂項相消法求和
例3．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當n≥2時，其前n項和Sn滿足S＝an。
(1)求Sn的表達式；
(2)設bn＝，求{bn}的前n項和Tn。

【提分秘籍】
常見的裂項方法(其中n為正整數(shù))
數(shù)列
裂項方法

( 為非零常數(shù))
＝

＝



＝(－)

a>0，a≠1
loga＝loga(n＋1)－logan
【舉一反三】
在等比數(shù)列{an}(n∈N )中，a1>1，公比q>0，設bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0。
(1)求{an}的通項an。
(2)若cn＝，求{cn}的前n項和Sn。
【解析】(1)因為b1＋b3＋b5＝6，所以log2a1＋log2a3＋log2a5＝6，所以log2(a1a3a5)＝6，所以log2(aq6)＝6，
所以log2(a1q2)＝2，即b3＝2，a1q2＝4。
因為a1>1，所以b1＝log2a1>0，
又因為b1b3b5＝0，所以b5＝0，即log2(a1q4)＝0，
所以a1q4＝1。
又因為a1q2＝4，q>0，所以
所以an＝16·n－1＝25－n。

熱點題型四 錯位相減法求和
例4、已知首項都是1的兩個數(shù)列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N )滿足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0。
(1)令cn＝，求數(shù)列{cn}的通項公式；
(2)若bn＝3n＋1，求數(shù)列{an}的前n項和Sn。
【解析】(1)因為bn≠0，
所以由anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，
得－＋2＝0，即－＝2，
所以cn＋1－cn＝2，所以{cn}是以c1＝＝1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
所以cn＝1＋(n－1)×2＝2n－1。

【提分秘籍】利用錯位相減法的解題策略
一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是在和式的兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解。若{bn}的公比為參數(shù)(字母)，則應對公比分等于1和不等于1兩種情況分別求和。
【舉一反三】
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn＋2n＝2an。
(1)證明：數(shù)列{an＋2}是等比數(shù)列。并求數(shù)列{an}的通項公式an。
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝log2(an＋2)，設Tn是數(shù)列的前n項和。求證：Tn

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