一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.如果函數(shù)y=f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為1，那么limx→0f(x+1)?f(1)2x=( )
A. 12B. 1C. 2D. 14
2.已知(3x?1)n展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則(3x?1)n展開式中x2的系數(shù)為( )
A. ?252B. 252C. ?28D. 28
3.從4名男生、3名女生中選2人分別擔(dān)任班長(zhǎng)和副部長(zhǎng)，要求選出的2人中至少有一名男生，則不同的方法數(shù)為( )
A. 18B. 24C. 30D. 36
4.函數(shù)f(x)=sinxlg(x2+e)的圖象大致是( )
A. B.
C. D.
5.某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步向上走一級(jí)，也可以一步向上走兩級(jí)，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步恰好走完，則該同學(xué)從二樓到三樓共有( )種不同上法．
A. 7B. 35C. 70D. 128
6.函數(shù)f(x)=[3x2?(4a+6)x+a2+4a+6]ex在x=1處取得極大值，則常數(shù)a=( )
A. 1B. 3C. 1或3D. 1或13
7.2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，其會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，由一個(gè)正方形和四個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成(如圖).現(xiàn)給圖中5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，且每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色.若有5種不同的顏色可供使用，則不同的涂色方案有( )
A. 120種B. 360種
C. 420種D. 540種
8.已知a=e0.05，b=ln1.12+1，c= 1.1，則( )
A. a>b>cB. c>b>aC. b>a>cD. a>c>b
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知事件A，B，且P(A)=13，P(B|A)=15，P(B?|A?)=35，則( )
A. P(B|A?)=45B. P(AB)=115C. P(A?B?)=25D. P(B)=13
10.有甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)，下列說(shuō)法正確的是( )
A. 5名同學(xué)排成一排，甲乙相鄰且丙丁不相鄰，則不同的排法有24種
B. 5名同學(xué)排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有54種
C. 5名同學(xué)排成一排，甲乙丙按從左到右的順序，則不同排法共有20種
D. 若將5名同學(xué)分配到3個(gè)班進(jìn)行宣講，每班至少1名同學(xué)，且每名同學(xué)只去1個(gè)班，則有150種不同的分配方案
11.對(duì)于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，給出定義：f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心，若函數(shù)f(x)=23x3?x2?12x+496，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. f(x)的極大值點(diǎn)為1376
B. f(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)
C. 若f(x)在(?3,m)上的最大值為1376，則m∈(?2,112]
D. f(12025)+f(22025)+f(32025)+?f(20242025)=4048
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若C21x=C212x?3，則x= ______．
13.若函數(shù)?(x)=lnx?12ax2?2x在[12,2]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．
14.已知函數(shù)f(x)=m(x?1)ex?x2+x在x∈(12,3)上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知函數(shù)f(x)=x?(a+2)lnx?2ax，且f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線l與2x+y+1=0平行．
(Ⅰ)求切線l的方程；
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值．
16.(本小題15分)
在①各項(xiàng)系數(shù)之和為?512；②常數(shù)項(xiàng)為?17；③各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為1536這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答問(wèn)題．
在(1?2x)(1+x)n的展開式中，_____.(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)
(1)求展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)；
(2)求43n+5被7除的余數(shù)．
17.(本小題15分)
甲、乙兩個(gè)箱子裝有大小及外觀相同的小球，甲箱中有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球．
(1)若從甲箱中任取2個(gè)小球，求這2個(gè)小球同色的概率；
(2)若先從甲箱中任取2個(gè)小球放入乙箱中，然后再?gòu)囊蚁渲腥稳?個(gè)小球，求從乙箱中取出的球是白球的概率．
18.(本小題17分)
已知函數(shù)f(x)=12x2?(a+2)x+2alnx．
(1)當(dāng)a=?3時(shí)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1e,e]上的最小值；
(2)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(3)當(dāng)x>1時(shí)，不等式f(x)>12x2?(a+2)x?2a(a?1)x+2a(a?2)恒成立，求正整數(shù)a的最大值．
19.(本小題17分)
①在高等數(shù)學(xué)中，關(guān)于極限的計(jì)算，常會(huì)用到：(i)四則運(yùn)算法則：如果x→alimf(x)=A，x→alimg(x)=B，則x→alim[f(x)±g(x)]=x→alimf(x)±x→alimg(x)=A±B，x→alim[f(x)?g(x)]=x→alimf(x)?x→alimg(x)=AB，若B≠0，則x→alimf(x)g(x)=x→alimf(x)x→alimg(x)=AB；(ii)洛必達(dá)法則1：若函數(shù)f(x)，g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為f′(x)，g′(x)，且x→alimf(x)=x→alimg(x)=0，x→alimg′(x)≠0則x→alimf(x)g(x)=x→alimf′(x)g′(x)；②設(shè)a>0，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)f(x)滿足：對(duì)?x∈(0,a)，均有f(x)≥f(xk)成立，則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間(0,a)上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：
(1)計(jì)算：①x→0limsinxx；
②x→0lim(1+2x)1x；
(2)試判斷f(x)=tanxsin2xx3是否為區(qū)間(0,π2)上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；并證明：?x∈(0,π2)，f(x)>1．
參考答案
1.A
2.B
3.D
4.A
5.B
6.B
7.C
8.D
9.BCD
10.ACD
11.BCD
12.3或8
13.(?1,+∞)
14.(53e3,1e)
15.解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，
由f(x)=x?(a+2)lnx?2ax，則f′(x)=1?(a+2)x+2ax2，
因?yàn)閒(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線l與2x+y+1=0平行，
所以f′(1)=?2，即1?(a+2)+2a=?2，解得a=?1，
所以k=?2，所以f(1)=3，
所以f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線l的方程為y=?2(x?1)+3，
即2x+y?5=0；
(Ⅱ)f(x)=x?lnx+2x，得f′(x)=1?1x?2x2=x2?x?2x2=(x+1)(x?2)x2，x∈(0,+∞)，
由f′(x)>0得x>2；由f′(x)0，
∴m(x)在(0,π2)上單調(diào)遞增，又m(0)=0，
∴m(x)>0在(0,π2)上恒成立，∴φ′(x)>0
∴φ(x)在(0,π2)上單調(diào)遞增，∵φ(0)=0，
∴φ(x)>0在(0,π2)上恒成立，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(0,π2)上單調(diào)遞增，
又x→0limf(x)=x→0lim[(sinxx)3?1csx]=x→0lim(sinxx)3?x→0lim1csx=1，
∴?x∈(0,π2)，f(x)>1．

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