考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．
3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．
4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
所以．
故選：B．
2. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A. B. 10C. 19D. 38
【答案】C
【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，
所以．
故選：C．
3. 下列求導(dǎo)的運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤．
故選：C
4. 已知單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，則（ ）
A. B. C. 512D. 1024
【答案】A
【解析】在等比數(shù)列中，，所以，又，
解得，
設(shè)的公比為q，
則，解得，
因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以．
故選：A
5. 已知點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
過(guò)點(diǎn)F作，交直線m于點(diǎn)E，
由拋物線的定義可知，，
所以當(dāng)P在線段上時(shí)，取得最小值，．
故選：B.
6. 在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)P滿足，則面積的最大值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋裕?br>整理得，
所以點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，
所以點(diǎn)P到直線的最大距離，
所以面積的最大值為．
故選：C.
7. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且，則不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，則，所以在上單調(diào)遞減，
因，所以不等式可變?yōu)?，即?br>所以，即，所以不等式的解集為．
故選：D．
8. 鄭國(guó)渠是秦王贏政命鄭國(guó)修建的著名水利工程，先人用智慧和勤勞修筑了一道道堅(jiān)固的堤壩．如圖是一道堤壩的示意圖，堤壩斜面與底面的交線記為l，點(diǎn)A，B分別在堤壩斜面與地面上,過(guò)點(diǎn)A，B分別作直線l的垂線,垂足分別為C，D,若，二面角的大小為，則（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】D
【解析】因，
所以
，
所以．
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，曲線C表示橢圓
B. 當(dāng)時(shí)，曲線C表示雙曲線
C. 曲線C可能表示兩條直線
D. 曲線C不可能表示拋物線
【答案】BD
【解析】若曲線C表示橢圓，則，解得，故A錯(cuò)誤；
若曲線C表示雙曲線，則，解得，故B正確；
曲線C不可能表示兩條直線，故C錯(cuò)誤；
無(wú)論m取何值，曲線C都不可能表示拋物線，故D正確．
故選：BD．
10. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的圖象在的切線的斜率為0
B. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
C. 是函數(shù)的極小值點(diǎn)
D. 是函數(shù)的極大值
【答案】AD
【解析】由圖可知，所以函數(shù)的圖象在的切線的斜率為0，故A正確；
由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；
由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
由C選項(xiàng)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值，故D正確．
故選：AD.
11. 將個(gè)數(shù)排成行列的一個(gè)數(shù)陣，如：
…
…
…
… … … … …
…
該數(shù)陣第一列的個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）．已知，記這個(gè)數(shù)的和為，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】因?yàn)?，所以，解得（舍去），故A正確；
，，故B錯(cuò)誤；
，，故C正確；
，
故D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 函數(shù)的圖象在處的切線方程是____________．
【答案】
【解析】由已知，得，所以，
所以所求切線方程為，即.
故答案為：.
13. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則____________．
【答案】2500
【解析】因?yàn)椋?br>所以，所以數(shù)列是常數(shù)列，
因?yàn)?，所以?br>所以.
故答案為：2500.
14. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支和左支分別交于點(diǎn)A，B，若的面積為，且的面積是面積的2倍，則雙曲線C的離心率為_(kāi)___________．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以
，
即，
因?yàn)?br>，
所以，所以，即，
設(shè)，由的面積是面積的2倍，得，則，
在中，，
所以，解得，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，得，
即，
所以雙曲線C的離心率為．
故答案為：.

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知與只有一條公切線l，且公切點(diǎn)為M，點(diǎn)P是l上異于點(diǎn)M的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的另一條切線，切點(diǎn)為N．
（1）求a的值及直線l的方程；
（2）若是等腰直角三角形，求直線的方程．
解：（1）可化為，圓心，半徑，
可化為，圓心，半徑．
因?yàn)榕c只有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，，即，解得．
兩圓相減，得公切線l的方程為，即．
（2）由題意，得，若是等腰直角三角形，
所以，故，
由（1）可知直線的斜率，所以直線的斜率．
設(shè)直線的方程為，
所以點(diǎn)到直線的距離，解得或．
所以直線的方程為或．
16. 已知數(shù)列滿足．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
解：（1）因?yàn)?，所以?br>所以．
因?yàn)?，所以?br>所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即．
（2）因?yàn)椋?br>所以．
其中．
令，
，
兩式相減，得．
所以，
所以．
17. 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，求證：對(duì)且，都有．
解：（1）因?yàn)椋?br>定義域?yàn)椋?
所以．
當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）不妨設(shè)，則，要證對(duì)，
都有，
只需證，即需證．
構(gòu)造函數(shù)，則要證，
需證函數(shù)在上為增函數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)在上為增函數(shù)成立，
所以當(dāng)時(shí)，對(duì)且，都有．
18. 已知橢圓C中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為x軸與y軸,且C經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求C標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若F是C的右焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)．求四邊形面積的取值范圍．
解：（1）設(shè)C的方程為，
將點(diǎn)代入，得解得
所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由（1）可知，，
當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存在時(shí)，，
當(dāng)直線的斜率不存在，直線的斜率為0時(shí)，，
所以四邊形的面積．
當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得，
由題意得．
所以，
同理，
四邊形的面積．
令，則，
所以當(dāng)，即時(shí)，，所以．
綜上所述，四邊形面積的取值范圍．
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可以用（其中）表示，給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向，我們可以確定一條直線，例如：已知點(diǎn)在直線l上，是直線l的一個(gè)方向向量，則直線l上任意一點(diǎn)滿足，化簡(jiǎn)得直線l的方程為.而在空間直角坐標(biāo)系中.任何一個(gè)平面的方程都可以表示成（其中，且），類似的，在空間中，給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)平面的法向量也可以確定一個(gè)平面．
（1）若點(diǎn)，求平面的方程；
（2）求證：是平面的一個(gè)法向量；
（3）已知某平行六面體，平面的方程為，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn),平面的方程為,求平面與平面夾角的余弦值．
解：（1），
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則令，得，所以．
設(shè)點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，由，得，
所以平面的方程為．
（2）記平面的方程為，
在平面上任取一條直線，直線上任取兩點(diǎn)，
則有
因?yàn)椋?br>所以
．
所以，即垂直于平面上任意一條直線，
所以是平面的一個(gè)法向量．
（3），
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則令，得，
所以．
因?yàn)槠矫娴姆匠虨椋?br>所以由（2）知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線的一個(gè)方向向量為，則
令，得，所以．
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面的一個(gè)法向量與直線的方向向量垂直，
所以，解得，所以．
所以平面與平面夾角的余弦值為．

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