一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.
1. 已知，則（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】因為，所以，即．
故選：A．
2. 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的歐拉公式：，其中為虛數(shù)單位，是自然對數(shù)的底數(shù)．公式非常巧妙地將三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)關(guān)聯(lián)了起來．根據(jù)歐拉公式，則的最大值為（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
，
因為，所以當(dāng)時，的最大值為2.
故選：D.
3. 如圖，在中，，，，則（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】C
【解析】因為，所以，
即，
所以，即，
因為，
所以
.
故選：C.
4. 已知三角形ABC滿足，則三角形ABC的形狀一定是（ ）
A. 正三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 鈍角三角形
【答案】B
【解析】由幾何意義知，對應(yīng)向量在的角平分線上，
由，即的角平分線與邊垂直，
所以三角形ABC的形狀一定是等腰三角形.
故選：B.
5. 記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（ ）
A. 1B. C. D. 3
【答案】A
【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足，
得，解得，
又因為函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故選：A.
6. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以.
故選：C.
7. 已知向量、滿足：，，向量與向量的夾角為，則的最大值為（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】由，
故，即，
如圖，設(shè)，則是等邊三角形，
向量滿足與的夾角為， ，
因為點在外且為定值，
所以的軌跡是兩段圓弧，是弦AB所對的圓周角，
因此：當(dāng)是所在圓的直徑時，取得最大值，
在中，由正弦定理可得：，故取得最大值4.
故選：D.
8. 如圖，在中，，，與交于點，過點作直線，分別交，于點，，若，，則的最小值為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】因三點共線，則存在，使，
因，則點為的中點，故，
又點在上，故，解得，故①，
因三點共線，則存在，使得②，
由①，②可得，消去，即得，即，
于是，
當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為.
故選：A.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知都是復(fù)數(shù)，下列選項中正確的是（ ）
A 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】BD
【解析】對于選項A，取，，則，，
滿足，但，則A不正確；
對于選項B，設(shè)，，
因為，所以不同時為0，
，則B正確；
對于選項C，取，，滿足，則C不正確；
對于選項D，因為，所以，所以或，
則，則D正確．
故選：BD．
10. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A. 與的圖象關(guān)于直線對稱
B. 與的圖象關(guān)于點對稱
C. 當(dāng)時，
D. 當(dāng)時，與的圖象恰有4個交點
【答案】ACD
【解析】由題得，，
A：與的圖象關(guān)于直線對稱的函數(shù)為
，故A正確；
B：當(dāng)時，，
，所以與的圖象不關(guān)于點對稱，故B錯誤；
C：，
當(dāng)時，，
令，則，在上恒小于0，
所以在上恒大于0，即，即，故C正確；
D：令，即，
得（無解）或，
解得，
又，所以，
解得（），所以，
即函數(shù)圖象共有4個交點，故D正確.
故選：ACD.
11. 在，角的對邊分別為，且的面積滿足，為的外心．若，下列結(jié)論中正確的有（ ）
A B.
C. D.
【答案】AB
【解析】對于A，由，得，
由余弦定理得，即，
得，又，故，
∴，即，所以A正確；
對于B，，所以B正確；
對于D，如圖，分別取的中點，連接，，
所以，
，
，所以D錯誤；
對于C，，
由，可知，
得，解得：，，故，所以C錯誤．
故選：AB.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則__________.
【答案】
【解析】因為是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，
所以是關(guān)于的實系數(shù)方程的另一個復(fù)數(shù)根，
因此.
13. 已知中，，，，為的外心，若，則的值為____________.
【答案】
【解析】由題意可知，為的外心，
設(shè)半徑為r，在圓O中，過O作，垂足分別為，
因為 ，兩邊乘以，即，
的夾角為，而，
則 ，得①，
同理兩邊乘 ，即，，
則 得②，
①②聯(lián)立解得，，所以.
14. 如圖，在中，點在線段上，且，，則的面積的最大值為______.
【答案】
【解析】因為，，又，，
所以，
又，
所以，
又，的面積.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸.
15. 已知復(fù)數(shù)．
（1）若，求；
（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，其中是原點，求的大?。?br>解：（1），
.
（2）依題意向量，
于是有，
，
為與的夾角，
，
，.
16. 在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）求csA+csB+csC的取值范圍．
解：（1）[方法一]：余弦定理
由，得，即.
結(jié)合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵為銳角三角形，∴，
∴，
所以，
又B為的一個內(nèi)角，故.
[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角
由，結(jié)合正弦定理可得：，
為銳角三角形，故.
（2）[方法一]：余弦定理基本不等式
因為，并利用余弦定理整理得，即.
結(jié)合，得.
由臨界狀態(tài)（不妨取）可知.
而為銳角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化簡得
故的取值范圍是.
[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)
結(jié)合（1）的結(jié)論有：
.
由可得：，，
則，.
即的取值范圍是.
17. 在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
（1）求角大?。?br>（2）若的角平分線交于D，且，求面積的最小值．
解：（1）由余弦定理，得，即，
整理得， 所以，
又，所以．
（2）因為，所以．
因為，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以．故面積的最小值為．
18. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角B的大??；
（2）若，且為銳角三角形，求的周長的取值范圍．
解：（1）因為，
由正弦定理可得，
，
，則，，又，.
（2）在中，由正弦定理，
，
，
又為銳角三角形，，
，，，，
，
故周長的取值范圍為．
19. 如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動點，記，
（1）請用來表示平行四邊形的面積；
（2）若.
①求平行四邊形面積的最大值，以及面積最大時角的值；
②記（其中），求的取值范圍.
解：（1）過點作的垂線，垂足為，在中，，
在中，，則，
所以，
所以
（2）①若，由題意可得，
由（1）知：，
故平行四邊形的面積
，
由于，故，
故當(dāng)時，即時，取得最大值為.
②根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，即，
又，則，
因，即，
則，，
解得：，，，
由點是弧上一動點，則，則，
所以，即.則的取值范圍為.

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