注意事項(xiàng)：
1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2、回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)框.回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3、考試結(jié)束后，將答題卡交回.
第I卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?br>，
，
由題意，得，解得，即.
故選：C.
2. “且”是“方程表示橢圓”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】充分性：當(dāng)，方程表示圓，充分性不成立；
必要性：若方程表示橢圓，則，必有且，必要性成立，
因此，“且”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.
故選：B.
3. 若點(diǎn)是直線和的公共點(diǎn)，則相異兩點(diǎn)和所確定的直線方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)槭侵本€和的公共點(diǎn)，
所以，且，
所以兩點(diǎn)和都在同一條直線上，
故直線的方程是.
故選：A.
4. 六氟化硫，化學(xué)式為，常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面重合的幾何體）.如圖所示，在正八面體中，是的重心，記，，，則等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】易知，
設(shè)中點(diǎn)為，
則，
所以，
故選：D.
5. 已知是直線的方向向量，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意直線的方向向量，，則，
，，所以點(diǎn)到直線的距離為
，
故選：B.
6. 已知圓的方程為，為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由圓的方程知：圓心C0,1，半徑，
，的幾何意義是圓上的點(diǎn)與點(diǎn)2,1連線的斜率，
設(shè)過(guò)點(diǎn)2,1的圓的切線方程為：，即，
圓心C0,1到切線的距離，解得：，
，.故選：C.
7. 焦點(diǎn)為的拋物線上有一點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），它在準(zhǔn)線上的投影為，設(shè)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一：F1,0，故，，
過(guò)點(diǎn)作于A點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于B點(diǎn)，設(shè)與軸交于點(diǎn)，
如圖,由拋物線定義可知，
由∽得，，又，故，
令，則，故，
所以，故，
即為的中點(diǎn)，由∽得，
又，得，則，
將代入中，，由圖可知，取正值，
則點(diǎn)，
由∽得，，
又，故，則，
將代入中，，由圖可知，取負(fù)值，
即，由對(duì)稱性可知，
所以，
中，令，解得，故，
故⊥軸，
于是所求三角形的面積；
方法二：F1,0，故，，
過(guò)點(diǎn)作于A點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于B點(diǎn)，設(shè)與軸交于點(diǎn)，
如圖,由拋物線定義可知，
由∽得，，
又，故，
令，則，故，
所以，故，
即為的中點(diǎn)，由∽得，
又，得，則，
將代入中，，由圖可知，取正值，
則點(diǎn)，
由∽得，，
又，故，則，
將代入中，，由圖可知，取負(fù)值，
即，由對(duì)稱性可知，
所以，
中，令，解得，故，
則，
又，故.
故選：B.
8. 若圓為雙曲線的“伴隨圓”，過(guò)的左焦點(diǎn)與右支上一點(diǎn)，作直線交“伴隨圓”于，若，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，
過(guò)作于，則，
因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)?，所以，即為線段的中點(diǎn)，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
所以，，
設(shè)，
則，，，
所以，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，
所以，，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
所以.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 給出下列命題，其中真命題為（ ）
A. 過(guò)點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為16的直線有且僅有3條
B. 已知點(diǎn)，，則滿足到點(diǎn)距離為2，到點(diǎn)距離為3的直線有且僅有3條
C. 過(guò)點(diǎn)與拋物線僅有1個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條
D. 過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)被截得線段長(zhǎng)為5的直線有且僅有3條
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A：設(shè)過(guò)點(diǎn)與坐標(biāo)軸相交的直線方程為：，則
，即，又 ，即
當(dāng)時(shí)可得：，解得：或
當(dāng)時(shí)可得：，即，此時(shí)，方程也有兩組解，故共有4組解，即過(guò)點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為16的直線有且僅有4條，A錯(cuò)誤
對(duì)于B：因?yàn)?，以為圓心，分別以2，3為半徑作圓，則圓與圓相外切，
它們的3條公切線即為滿足條件的直線，所以B正確；
對(duì)于C：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在拋物線的外部，
顯然過(guò)與拋物線相切的直線有兩條，
過(guò)與軸平行時(shí)，與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn)，故共有3條直線，所以C正確，
對(duì)于D：
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與雙曲線右支相交于，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為則，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為
聯(lián)立，
消去，得，
，
由，解得或，
所以
，
所以當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，的長(zhǎng)最小，即最小值為，
過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作垂直實(shí)軸的直線，被雙曲線右支截得的弦（通徑）長(zhǎng)為，
又雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，
所以結(jié)合對(duì)稱性可知，被雙曲線左右兩支截得的線段長(zhǎng)為5的直線有2條，共有3條，所以D正確；
故選：BCD
10. 已知正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)滿足，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 當(dāng)，，時(shí)，的最小值為
B. 當(dāng)，，時(shí)，三棱錐的體積為3
C. 當(dāng)，，時(shí)，經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)截正方體所得截面面積的取值范圍是
D. 當(dāng)，且時(shí)，則的軌跡總長(zhǎng)度為
【答案】AD
【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，，即，故點(diǎn)在上，
將平面與平面沿著展開(kāi)到同一平面內(nèi)，如圖：
連接交于，此時(shí)，，三點(diǎn)共線，取到最小值即，
即，A正確；
對(duì)于B，由于，時(shí)，則為的中點(diǎn)，
以為空間直角坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建系，如圖
則，
所以，
所以，
是平面的一個(gè)法向量，，
則點(diǎn)到平面的距離為，
所以，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
此時(shí)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)截正方體所得截面是矩形，
其面積；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
經(jīng)過(guò)三點(diǎn)截正方體所得截面是三角形，
其面積，
當(dāng)時(shí)，設(shè)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)截正方體所得截面是梯形，
梯形的面積隨的增大而減小，故截面面積的取值范圍是，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可得四點(diǎn)共面，
所以點(diǎn)的軌跡在內(nèi)（包括邊界），
由選項(xiàng)B知，，是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)點(diǎn)在平面的內(nèi)的投影為，
因?yàn)?，所以為的中心?br>所以點(diǎn)到平面的距離為，
若，則，
即點(diǎn)落在以為圓心，為半徑的圓上（如上右圖），
點(diǎn)到三邊的距離為，
此時(shí)，點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，
其軌跡長(zhǎng)度為，即D正確；
故選：AD.
11. 過(guò)拋物線上一點(diǎn)作斜率分別為，的兩條直線，與分別交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），則（ ）
A. 過(guò)點(diǎn)與相切的直線方程為
B. 若點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，則為定值
C. 若，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)
D. 分別以，，為切點(diǎn)作拋物線的三條切線，，，若，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，則
【答案】ABD
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以，
所以拋物線的方程為.
對(duì)于A，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，
聯(lián)立，得，
所以，所以，
所以切線方程為，故A正確；
對(duì)于B，由題意設(shè)，，則
，
又因?yàn)椋?br>于為定值，故B正確；
對(duì)于C，設(shè)，，由題意可知，直線斜率存在且不為0，
故可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，所以，，，
所以，，
所以，
所以，所以直線的方程為，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)，，以為切點(diǎn)的切線方程為，
則，
令，得，
所以切線方程為，
同理可得以為切點(diǎn)的切線方程為：，
以為切點(diǎn)的切線方程為，
聯(lián)立與的方程可得，
即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由題意，
則切線的斜率，
又直線的斜率，即，
所以，故D正確.
故選：A B D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______.
【答案】
【解析】由題意知化簡(jiǎn)為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為：
13. 蓄有水的圓柱體茶杯，適當(dāng)傾斜能得到橢圓形水面，當(dāng)橢圓形水面與圓柱底面所成的二面角為30°時(shí)，則水面橢圓的離心率為_(kāi)____________.
【答案】
【解析】設(shè)圓柱形杯子的底面半徑為，畫(huà)示意圖如圖所示：
則是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，等于橢圓的短半軸長(zhǎng)，則，
又，則
故答案為：.
14. 如圖，在正方體中，，分別為棱和上的點(diǎn)，則與所成角的余弦值范圍為_(kāi)____________.
【答案】
【解析】以為空間直角坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為，，軸建系如圖，
設(shè)，，
設(shè)，則，
①當(dāng)或時(shí)，；
②當(dāng)且時(shí)，令，（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），令，函數(shù)在為增函數(shù)，故.故，所以.
綜上：.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求的最大值.
解：（1）中點(diǎn)坐標(biāo)為，，
故中垂線為，即，
與聯(lián)立，解得圓心點(diǎn)坐標(biāo)為，
圓的半徑，故圓
（2）法一：設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，，故點(diǎn)在為直徑的圓上，
設(shè)中點(diǎn)，，，則
，所以，
以為直徑的圓的方程：，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故.
法二：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，中點(diǎn)坐標(biāo)，
；
②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線：代入整理得：
，
設(shè)，則，，
，
，
因?yàn)榍蟮淖畲笾?，可令，代入上式可得?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
易求，故.
16. 已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，.
（1）求雙曲線方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求的最小值.
解：（1）由題意結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性可知，得，即軸，把
代入方程，可得，
又，
即，又，解得，，
雙曲線的方程為：.
（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，
化簡(jiǎn)得，
設(shè)，則，，結(jié)合直線的方程得，
即中點(diǎn)坐標(biāo)為.
于是，（傾斜角，或）
當(dāng)或時(shí)，，直線方程為：，令得，此時(shí)，
于是，令，
則，
由知，當(dāng)時(shí)，，
故的最小值為.
17. 如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面底面，是邊長(zhǎng)為6的正三角形，，分別是線段和上的點(diǎn)，.
（1）試確定點(diǎn)的位置，使得平面，并證明；
（2）若直線與平面所成角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值.
解：（1）取為三等分點(diǎn)，且，過(guò)作，
則，所以為平行四邊形，所以，
又，，
所以平面.
（2）由題意平面底面，平面底面，，
平面，所以，所以直線與平面所成角的平面角為，在中，由，得.
設(shè)中點(diǎn)為，設(shè)中點(diǎn)為，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則， ，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x,y,z，
由，取，可得，
易求平面法向量，設(shè)平面與平面夾角為，
則，
故平面與平面夾角的余弦值為 .
18. 如圖，已知橢圓與橢圓有相同的離心率，在上，過(guò)點(diǎn)的兩條不重合的直線，與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與橢圓相交于，和，四點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：；
（3）設(shè)直線，的傾斜角互補(bǔ)，求證：.
解：（1）橢圓的離心率，令橢圓的半焦距為c，
則，橢圓，又點(diǎn)在上，
于是，
解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）若斜率不存在或?yàn)?，由對(duì)稱性知：；
若斜率存在且不為0，設(shè)中點(diǎn)為，，
則，，兩式相減得，
，直線的斜率分別為，于是，
設(shè)中點(diǎn)為，直線的斜率為，同理，
則，
而點(diǎn)與都在直線，則有點(diǎn)與重合，
即，
所以.
（3）由（2）知，，
同理，
依題意，直線斜率存在，設(shè)直線，
由
消去得，
設(shè)，
則，，
，
由直線的傾斜角互補(bǔ)，則的斜率為，同理，
因此，所以.
19. 設(shè)和是空間中的兩個(gè)不同點(diǎn)，則，，三點(diǎn)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得，并且每個(gè)實(shí)數(shù)唯一對(duì)應(yīng)直線上的點(diǎn).仿照上面定義，設(shè)，，是共線的三個(gè)不同點(diǎn)，定義點(diǎn)關(guān)于，的分比為.
（1）設(shè)，為空間中任意取定的一點(diǎn)，求證：；
（2）若，，，是共線的四個(gè)不同點(diǎn)，滿足，求的值；
（3）如圖，設(shè)，和分別是的邊，和上的點(diǎn)，若三條直線，和交于一點(diǎn)，求證：.
解：（1）由題意得，故，
，故；
（2）設(shè)，則，因?yàn)槭枪簿€的三個(gè)不同點(diǎn)，故，
所以，，
，即，
，故，因?yàn)槭枪簿€的三個(gè)不同點(diǎn)，故
所以，，，
故.
（3）設(shè)，
因?yàn)楹腿c(diǎn)共線，，參照（1）證明可得：
①，
又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在，使得，代入①式可得：
②，
同理，利用，可以找到實(shí)數(shù)和，使得
③，
④，
聯(lián)立②③消去，聯(lián)立②④消去，可得：
，，
又因，和中任意兩個(gè)向量互不共線，
故有，
由得，由得，
又，故，即，
所以.得證.

相關(guān)試卷

安徽省江南十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份安徽省江南十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），文件包含安徽省江南十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷Word版含解析docx、安徽省江南十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷Word版無(wú)答案docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共31頁(yè)， 歡迎下載使用。

2025安徽省江南十校高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題掃描版含解析：

這是一份2025安徽省江南十校高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題掃描版含解析，文件包含數(shù)學(xué)試題pdf、數(shù)學(xué)答案pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共17頁(yè)， 歡迎下載使用。

2024～2025學(xué)年安徽省江南十校高二(上)12月聯(lián)考(月考)數(shù)學(xué)試卷(含答案)：

這是一份2024～2025學(xué)年安徽省江南十校高二(上)12月聯(lián)考(月考)數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共11頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2025安徽省江南十校高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題掃描版含解析

2025安徽省江南十校高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題掃描版含解析
安徽省江南十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（PDF版附解析）

安徽省江南十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（PDF版附解析）
安徽省江南十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

安徽省江南十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題
2024屆高考安徽省江南十校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷(含答案)

2024屆高考安徽省江南十校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷(含答案)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部