模塊二 基礎(chǔ)知識梳理
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二項式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，則；若，則．
模塊三 核心考點梳理
考點一：先求和后放縮
【典例1-1】（2024·高三·遼寧大連·期中）已知的前n項和為，，且滿足______，現(xiàn)有以下條件：
①；②；③
請在三個條件中任選一個，補充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問題：
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求的前n項和，并證明：．
【解析】（1）若選擇條件①：因為，
當(dāng)時，，
兩式相減得，
所以當(dāng)時，當(dāng)n＝1時符合，
∴；
若選擇條件②：因為，
當(dāng)時，
兩式相減得，，
∴是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴；
若選擇條件③：∵，
∴時，，
兩式相減得，
當(dāng)n＝1時，，可得，，
∴時成立，
∴是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴；
（2）由（1）可知，
則，
所以，
因為，
所以各項均為正數(shù)，
所以，
又因為，
所以．
【典例1-2】已知數(shù)列滿足：是公差為6的等差數(shù)列，是公差為9的等差數(shù)列，且.
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)設(shè)是方程的根，數(shù)列的前項和為，證明：.
【解析】（1）因為是公差為6的等差數(shù)列，則，
設(shè)，可得，，
又因為是公差為9的等差數(shù)列，
則，
可得，即，
且，解得，
即，，可得，
綜上所述：，所以是等差數(shù)列.
（2）構(gòu)建，則是函數(shù)的零點
因為，則在上單調(diào)遞增，
且，可知有且僅有一個零點，
又因為，
可知數(shù)列是以首項，公比為的等比數(shù)列，
則，
又因為，可得，
所以.
【變式1-1】已知數(shù)列滿足.記.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)若，數(shù)列的前項和為，求證：.
【解析】（1）由，得，而，則，
又，因此，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）得，，則，
令數(shù)列的前項和為，則，
，
兩式相減得，則，
所以.
（3）由（2）知，
，
而，所以.
【變式1-2】已知在數(shù)列中，，且當(dāng)時，.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.
【解析】（1）當(dāng)時，，
又，可得，
當(dāng)時，，則，即，
又，
故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則，故；
（2）由（1）知，
則，
則數(shù)列的前項和
，
又，則，
故.
考點二：裂項放縮
【典例2-1】已知數(shù)列的首項為1，其前項和為，等比數(shù)列是首項為1的遞增數(shù)列，若．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)證明：；
(3)求使得成立的最大整數(shù)．
【解析】（1）因為，
所以當(dāng)時，，
作差得，
兩邊同時除以得，
又，所以，得，
所以，故對，
所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以，則．
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，所以由，或
又因以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以．
（2）因為，
所以
．
（3）由（1）知，即，令，則，
，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即有，，
又，
故當(dāng)時，，所以，，
又，
所以，當(dāng)時，，故使得成立的最大整數(shù)為6．
【典例2-2】數(shù)列中，，，（）.
(1)試求、的值，使得數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列滿足：，為數(shù)列的前n項和，證明：時，.
【解析】（1）若為等比數(shù)列，
則存在，使對成立.
由已知，代入上式，
整理得①
∵①式對成立，∴，解得，
∴當(dāng)，時，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）得：，，所以，
所以，因為，
所以，
，（1）
現(xiàn)證：（），
當(dāng)時，
，∴，（2）
根據(jù)（1）（2）可知對于，都成立.
【變式2-1】已知正項數(shù)列滿足，，且對于任意，滿足．
(1)求出數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，證明：數(shù)列的前n項和；
(3)設(shè)，證明：．
【解析】（1）因為，，，
當(dāng)時，，計算得，·
由，可得，
兩相減可知，
整理可得，·
所以為定值，定值為，
所以
所以為等差數(shù)列，故．
（2）證明:由（1）得，所以，·
，
故
因為·，所以，所以，即
（3）證明：
，·
因為，·
所以
．·
另．
【變式2-2】已知數(shù)列的前項和為，，且．
(1)求；
(2)若從數(shù)列中刪除中的項，余下的數(shù)組成數(shù)列．
①求數(shù)列的前項和；
②若成等比數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，證明：．
【解析】（1）∵，∴當(dāng)時，，
兩式相減得，，整理得，即，
∴當(dāng)時，，滿足此式，
∴.
（2）①由（1）得，，∴，，
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.
當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，為的整數(shù)倍，是數(shù)列中的項，
當(dāng)為偶數(shù)時，為奇數(shù)，不是數(shù)列中的項，
∴數(shù)列中的項為數(shù)列的偶數(shù)項，且，
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
∴，
∴，，
∴.
②由①得，，∴，
∵成等比數(shù)列，∴，即，
∴，∴，
∴.
考點三：等比放縮
【典例3-1】已知數(shù)列滿足,（）.
(1)記（），證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)設(shè)（），且數(shù)列的前項和為，求證：（）.
【解析】（1）
，
又，
所以，數(shù)列為以為首項，為公比的等比數(shù)列.
由等比數(shù)列的通項公式知.
（2）由（1）可知，又，.
設(shè)，則，
設(shè)，，
，，
故.
（3），
，
所以欲證，只需證，
即證.
設(shè)，
，故在上單調(diào)遞減，，
時，.
，得證.
【典例3-2】已知數(shù)列和滿足，，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和；
(3)證明：．
【解析】（1）由題意知，，
所以，
即，又，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，所以，
所以
．
（3）由（1）知，所以．
當(dāng)為偶數(shù)時，．
所以．
當(dāng)為奇數(shù)時，，
而，所以．
綜上可知原命題成立．
【變式3-1】數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足：，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)數(shù)列和的公共項組成的數(shù)列記為，求的通項公式；
(3)記數(shù)列的前項和為，證明：
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由可得，易知，所以，解得；
又可得，可得；
由可得，即；
因此可得，；
所以數(shù)列和的通項公式為.
（2）數(shù)列和的公共項需滿足，
可得，即是4的整數(shù)倍，
可知，由二項式定理可知若是4的倍數(shù)，則為正數(shù)，即；
所以可得，
即的通項公式為
（3）易知，顯然對于都成立，
所以對于都成立，
即
，
即可得.
【變式3-2】已知數(shù)列的前項和為，若，且滿足（）.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：.
【解析】（1）依題意，·可知（），
當(dāng)時，由，可知，
由，可得兩式相減可知，，即（），
因此時，為公比為2的等比數(shù)列，故（），
所以.
（2）由（1）可知，，，當(dāng)時，，也符合該形式，
因此（），
.
考點四： 型不等式的證明
【典例4-1】已知函數(shù)．
(1)若，證明：；
(2)記數(shù)列的前項和為．
（i）若，證明：．
（ii）已知函數(shù)，若，，，證明：.
【解析】（1）設(shè)，當(dāng)時，，
所以在上為增函數(shù)，故當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，
設(shè)，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，
故當(dāng)時，
因為，當(dāng)時，，
所以在上為增函數(shù)，
因為當(dāng)時，，且由，
可得，所以，即，
所以
（2）（i）因為，
所以，
則，
所以，
即，
所以
（ii）函數(shù)，
因為當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，
因此，
故，即
因為，
所以當(dāng)時，，
綜上，，所以，
所以，
即.
【典例4-2】數(shù)列的前項和為， 滿足 且首項 .
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
(2)令討論f'1（f'x為的導(dǎo)數(shù)）與 的大小關(guān)系.
【解析】（1）由已知可得時，，
兩式相減得，即，
∴，
當(dāng)時，，∴，
∵，∴，∴，
故有，∴，
∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴，故.
（2）∵，∴，
∴
，
∴，
①-②得， ，
∴，
∴，
當(dāng)時，，∴.
當(dāng)時，，∴.
當(dāng)時， ，∵，
∴ ，∴ ，
綜上，當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
【變式4-1】已知函數(shù)在點處的切線與軸重合．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)已知正項數(shù)列滿足，，，記數(shù)列的前項和為，求證：．
【解析】（1）因為，且，
由題意可得，即，可得，
可知的定義域為，且，
令，解得；令，解得；
可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以有極大值，無極小值．
（2）由（1）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
等價變形為，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
代入題干中可得，
則，即，
當(dāng)時，，即，
且符合上式，所以，，則，
由，令得，即，
所以.
【變式4-2】已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意，都有恒成立，求的最大整數(shù)值；
(3)對于任意的，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時，，
所以函數(shù)定義域為，，
令，則，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又即，
所以即在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.
（2）因為對任意，都有恒成立，
所以對任意，恒成立，
即對任意，恒成立，
所以，
所以，
因為在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以存在，使得即，
所以當(dāng)時，即，當(dāng)時，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，令，
則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，
所以的最大整數(shù)值為3，即的最大整數(shù)值為2.
（3）證明：由（1）知在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)，所以，
故，
所以，
累加得，
所以.
考點五： 型不等式的證明
【典例5-1】在各項均為正數(shù)的數(shù)列中，，，．
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)若，記數(shù)列的前n項和為．
（i）求；（ii）證明：．
【解析】（1）由題意知，
因此數(shù)列是以為首項，以4為公比的等比數(shù)列，
于是，．
．
又適合上式，所以．
（2）（i）因為，
所以
．
（ii）因為數(shù)列的前n項和為
，
所以只需證明：，
也就是，
令，只需證明，
設(shè)函數(shù)，，．
所以，即成立，得證．
【典例5-2】已知函數(shù)的最小值為0，其中．
(1)求的值；
(2)若對任意的，有成立，求實數(shù)的最小值；
(3)證明：．
【解析】（1）由函數(shù)，則其定義域為，且.
由，得:，又由，得:，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
；
（2）設(shè)，
則在恒成立等價于，
注意到，又，
①當(dāng)時，由得.
在單減，單增，這與式矛盾；
②當(dāng)時，在恒成立，符合，
的最小值為；
（3）由（2）知：令得：，
令得：
當(dāng)時，(1)；
當(dāng)時，，
，
，
將(1)(2)(3),,(n)式相加得：
不等式左邊：
；
不等式右邊：
；
所以.
【變式5-1】已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，.數(shù)列滿足：（）.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：是等比數(shù)列；
(3)證明：.
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
則，所以，
又.
（2）所以，
所以，且，
所以數(shù)列是首項為8，公比為的等比數(shù)列；
（3）由題意知，，
所以，
所以，
設(shè)，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
【變式5-2】已知數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）對任意的，
當(dāng)時，，兩式相減．
整理得，
當(dāng)時，，
也滿足，從而．
（2）證明：證法一：因為，
所以，
．
從而；
證法二：因為，
所以，
，證畢.
考點六：利用遞推關(guān)系進(jìn)行放縮
【典例6-1】（2024·高三·重慶·期末）已知正項數(shù)列滿足：
（1）求的范圍，使得恒成立；
（2）若，證明：
（3）若，證明：
【解析】（1）由，得由，即
所以或（舍）
所以時，
（2）證：若，得 現(xiàn)假設(shè)（）
構(gòu)造函數(shù)，易知在上單調(diào)增
所以
即
由以上歸納可知 5分
（3）由得
所以
構(gòu)造函數(shù)，在上單調(diào)遞增
所以

【典例6-2】已知數(shù)列{an}滿足：，（）．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）求證：．
【解析】（I） ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
（Ⅲ），所以，累加得右側(cè)；另一方面由可得，累加得左側(cè).
由（Ⅱ）得：，
所以，
累加得：
另一方面由可得：原式變形為
所以：
累加得
【變式6-1】定義數(shù)列為“階梯數(shù)列”：．
(1)求“階梯數(shù)列”中，與的遞推關(guān)系；
(2)證明：對，數(shù)列為遞減數(shù)列；
(3)證明：．
【解析】（1）由階梯數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)可知.
（2）由，，所以，
，
∴，
同理，
累乘得，
即，
由，，
∴
故對為遞減數(shù)列.
（3），
，
又對，
由（2）知，
故，
又，，
所以，
故對，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時，，
綜上，．
【變式6-2】已知數(shù)列滿足，，．
(1)猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(2)證明：．
【解析】（1）由及得
由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時，已證命題成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即
易知，那么
=，即，也就是說，當(dāng)n=k+1時命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立．
（2）當(dāng)n=1時，，結(jié)論成立，
當(dāng)時，易知，
，
．
即.
模塊四 優(yōu)選提升題
1．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知是等差數(shù)列，．
(1)求的通項公式和．
(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對任意的，當(dāng)時，則，
（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；
（Ⅱ）求的通項公式及前項和．
【解析】（1）由題意可得，解得，
則數(shù)列的通項公式為，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)時，，
取，則，即，
當(dāng)時，，
取，此時，
據(jù)此可得，
綜上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
則數(shù)列的公比滿足，
當(dāng)時，，所以，
所以，即，
當(dāng)時，，所以，
所以數(shù)列的通項公式為，
其前項和為：.
2．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當(dāng)時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
3．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知{an}是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．{bn}是公比大于0的等比數(shù)列，．
（I）求{an}和{bn}的通項公式；
（II）記，
（i）證明是等比數(shù)列；
（ii）證明
【解析】（I）因為{an}是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．
所以，所以，
所以；
設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為，
所以，解得（負(fù)值舍去），
所以；
（II）（i）由題意，，
所以，
所以，且，
所以數(shù)列是等比數(shù)列；
（ii）由題意知，，
所以，
所以，
設(shè)，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
4．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，由①，
得②，①②得
，
又是首項為，公比為的等比數(shù)列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時不等式恒成立；
時，，得；
時，，得；
所以.
5．（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．
【解析】（I）依題意，而，即，
由于，所以解得，所以.
所以，故 ，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依題意設(shè)，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .

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2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新高考通用)專題12數(shù)列不等式放縮技巧(練習(xí))(學(xué)生版+解析)：

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2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題1_10數(shù)列放縮通項證明不等式與數(shù)列不等式恒成立問題練習(xí)學(xué)生版：

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第27講 導(dǎo)數(shù)中的數(shù)列不等式放縮問題（原卷及解析版）：

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