廣東省深圳中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第二次段考數(shù)學(xué)試卷（有答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．選擇題（共8小題）
二．多選題（共3小題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求
1．（5分）設(shè)集合，，，則
A．，B．，1，C．，3，D．，1，3，
【分析】求解集合，再結(jié)合交集的定義求解即可．
【解答】解：因?yàn)榧希?，?br>所以，3，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的求解，考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知向量，，．若，，三點(diǎn)共線，則
A．B．C．11D．
【分析】求出向量，由題意可得，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于的等式，解之即可．
【解答】解：因?yàn)橄蛄?，?br>所以，
因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則，
，
所以，解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面里位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解．
【解答】解：由題意，復(fù)數(shù)滿足，表示到點(diǎn)的距離為1，即以為圓心，1為半徑的圓上點(diǎn)，
則復(fù)數(shù)在復(fù)平面里位于第一象限．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）設(shè)，是方程的兩根，且，則
A．B．C．或D．
【分析】利用韋達(dá)定理求出，，再利用兩角和的正切公式求出，即可得解．
【解答】解：因?yàn)?，是方程的兩根?br>所以，
所以，，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，，
則，
所以．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了韋達(dá)定理，兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）已知無(wú)窮正項(xiàng)等差數(shù)列公差為，則“是等差數(shù)列”是“存在，使得”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)題意，可設(shè)，利用可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列為等差數(shù)列可求得，求出關(guān)于的關(guān)系式，再利用充分條件和必要條件的定義判斷可得出合適的選項(xiàng)．
【解答】解：根據(jù)題意，若是等差數(shù)列，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則滿足，
即，可得，故，
且，
故“是等差數(shù)列”的充要條件是“”，
因此，“是等差數(shù)列”是“存在，使得”的充分而不必要條件．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）不等式，且對(duì)恒成立，則的范圍是
A．B．C．D．
【分析】由題意，當(dāng)時(shí)，需函數(shù)的圖像要恒在圖像的上方，據(jù)此可求．
【解答】解：因?yàn)椴坏仁?，且?duì)恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像要恒在圖像的上方，
所以，
如圖所示：
當(dāng)?shù)膱D像過(guò)點(diǎn)時(shí)，可得，
然后它只能向右旋轉(zhuǎn)，此時(shí)在增大，但是不能大于1，
所以的范圍為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
7．（5分）一個(gè)盒子中裝有個(gè)白球和個(gè)黑球且，從中隨機(jī)取出個(gè)球，發(fā)現(xiàn)這個(gè)球顏色相同，則這個(gè)球都是黑球的概率為
A．B．C．D．
【分析】利用條件概率公式求解．
【解答】解：設(shè)事件表示“從中隨機(jī)取出個(gè)球，這個(gè)球顏色相同”，事件表示“這個(gè)球都是黑球”，
則（A），，
所以．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
8．（5分）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，且點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離均為，則平面與平面的夾角的余弦值為
A．B．C．D．
【分析】因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，在平面上利用三角形相似，可以求出到平面的距離為，又因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為，，故直線與平面的夾角正弦值為，又直線與平面垂直，可以求出平面與平面的夾角的余弦值為．
【解答】解：分別過(guò)，作平面的垂線，垂足為，，
點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等，故平面，
而為平面法向量，故平面平面，
分別過(guò)，作平面的垂線，垂足為，，如圖，則，，三點(diǎn)共線，
由，且與中點(diǎn)重合，可知，
因此，，故，
進(jìn)而由，易知點(diǎn)到平面的距離為，
又因?yàn)榕c中點(diǎn)重合，且平面
到平面的距離為，因此點(diǎn)到平面的距離為，
而點(diǎn)到平面的距離為，且，
故直線與平面的夾角正弦值為，
易知直線與平面垂直，
故平面與平面的夾角的余弦值為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的計(jì)算，屬于中檔題．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分
（多選）9．（6分）已知圓，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，分別與圓相切于點(diǎn)，，則
A．圓與直線相離
B．存在最小值
C．存在最大值
D．存在點(diǎn)使得△為直角三角形
【分析】由直線和圓的位置關(guān)系可判斷；求得切線長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，可判斷；由四邊形的面積可得，結(jié)合的最小值，可判斷；由的最小值和直角三角形的定義，可判斷．
【解答】解：圓的圓心，半徑為2，
直線，可得到直線的距離為，
即直線與圓相離，故正確；
由，可得，
而的最小值為，則的最小值為，故正確；
由，可得四邊形的面積為，
即有，可得有最小值，而無(wú)最大值，故錯(cuò)誤；
要使△為直角三角形，只能是為直角，即，
由可得，則不存在點(diǎn)使得△為直角三角形，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
（多選）10．（6分）已知為常數(shù)，函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則
A．B．，
C．為極大值點(diǎn)D．
【分析】方程的幾何意義是曲線與直線的交點(diǎn)情況，當(dāng)時(shí)，直線的斜率非正．此時(shí)，曲線在區(qū)間，內(nèi)從0遞增至1，與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)，且導(dǎo)數(shù)在此點(diǎn)由負(fù)變正，對(duì)應(yīng)極小值點(diǎn)．因此，和正確．極值點(diǎn)類型驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故．，導(dǎo)數(shù)由負(fù)變正，說(shuō)明是極小值點(diǎn)．若選項(xiàng)聲稱是極大值點(diǎn)，則錯(cuò)誤．選項(xiàng)的驗(yàn)證題目未明確的具體內(nèi)容，但根據(jù)分析，代入后相關(guān)等式或不等式成立，因此正確．
【解答】解：由題意，
，
由題意函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，
可得有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
故曲線與直線有且只有一個(gè)穿越型交點(diǎn)，
由圖可知，，正確，
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，
故為極小值點(diǎn)，錯(cuò)誤；
，代入，
得，正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是基礎(chǔ)題．
（多選）11．（6分）萊昂哈德醫(yī)拉是歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一，在數(shù)學(xué)許多分支上都可以見(jiàn)到以歐拉命名的常數(shù)、公式和定理．在拓?fù)鋵W(xué)中，歐拉公式描述了凸多面體頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間的關(guān)系：記凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，則．根據(jù)歐拉公式，判斷下列說(shuō)法正確的是
注：若多面體上任意兩點(diǎn)的連線段都在該多面體內(nèi)（含表面），則稱該多面體為凸多面體
A．若某棱錐的棱數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)多5，則該棱錐為六棱錐
B．存在7條棱的多面體
C．存在每個(gè)面都是五邊形或六邊形的凸多面體，且任意相鄰兩個(gè)面的邊數(shù)都不同
D．若某凸多面體每個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正方形或正五邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)與其相連接的棱所形成的空間圖形均相同，則面數(shù)的所有可能取值為6，7，12
【分析】對(duì)于：根據(jù)，代入歐拉公式得，即可判斷；
對(duì)于：若，則，而，，故，或，，無(wú)論哪種情況都無(wú)法形成多面體，即可判斷；
對(duì)于：任意相鄰兩個(gè)面的邊數(shù)都不同，因此每個(gè)頂點(diǎn)至少連接4個(gè)面，設(shè)共有個(gè)五邊形，個(gè)六邊形，構(gòu)造不等式求解即可；
對(duì)于：分每個(gè)面都是正方形，正五邊形，既存在正方形又存在正五邊形，結(jié)合歐拉公式即可求解．
【解答】解：選項(xiàng)：，代入歐拉公式得，故為六棱錐，正確；
選項(xiàng)：若，則，而，，故，或，，無(wú)論哪種情況都無(wú)法形成多面體，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)：任意相鄰兩個(gè)面的邊數(shù)都不同，因此每個(gè)頂點(diǎn)至少連接4個(gè)面，
設(shè)共有個(gè)五邊形，個(gè)六邊形，則（數(shù)遍每個(gè)五邊形的5個(gè)頂點(diǎn)和每個(gè)六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)，則該多面體每個(gè)頂點(diǎn)都被至少數(shù)了4遍），
考慮所有多邊形的內(nèi)角和，注意每個(gè)頂點(diǎn)所連接的內(nèi)角之和小于，
故，
整理得無(wú)解，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)：①若每個(gè)面都是正方形，則每個(gè)頂點(diǎn)連接3個(gè)面（正方形內(nèi)角為，
每條棱連接2個(gè)面，故，代入得，此時(shí)為正方體；
②若每個(gè)面都是正五邊形，則每個(gè)頂點(diǎn)連接3個(gè)面數(shù)（正五邊形內(nèi)角為，
每條棱連接2個(gè)面，故，，代入得，此時(shí)為正十二面體；
③若既存在正方形又存在正五邊形，則每個(gè)頂點(diǎn)連接3個(gè)面，每條棱連接2個(gè)面，設(shè)共有個(gè)正方形，個(gè)正五邊形，
則，，代入歐拉公式得，
因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)與其相連接的棱所形成的空間圖形均相同，
故每個(gè)頂點(diǎn)要么連接2個(gè)正方形1個(gè)五邊形，要么連接1個(gè)正方形2個(gè)五邊形，
若每個(gè)頂點(diǎn)連接2個(gè)正方形1個(gè)五邊形，則，，解得，，，此時(shí)為側(cè)面為正方形的正五棱柱；
若每個(gè)頂點(diǎn)連接1個(gè)正方形2個(gè)五邊形，此時(shí)考慮某個(gè)五邊形，其5條邊每條邊相連的面一定是五邊形正方形間隔環(huán)形排列，而5是奇數(shù)，不可能；
因此符合題意的簡(jiǎn)單凸多面體的面數(shù)只可能為6，7，12，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及歐拉公式的應(yīng)用，屬于難題．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12．（5分）某類考試報(bào)名人數(shù)為10000人，已知考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，若錄取分?jǐn)?shù)線為350分，則錄取人數(shù)約為 1587 ．（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）
（參考數(shù)據(jù)：若服從正態(tài)分布，則
【分析】先計(jì)算大于等于錄取分?jǐn)?shù)線的概率，再計(jì)算得出錄取人數(shù)．
【解答】解：因?yàn)榭荚嚨某煽?jī)服從正態(tài)分布，
故，
所以錄取人數(shù)為（人．
故答案為：1587．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）在的展開(kāi)式中，僅第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是．
【分析】根據(jù)僅第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，得到，再列不等式組求出系數(shù)最大的項(xiàng)．
【解答】解：因?yàn)樵诘恼归_(kāi)式中，僅第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即最大，所以，
設(shè)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，則，其中且，
整理得，解得，所以，
即展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，且它們?cè)诘诙笙薜墓颤c(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線交軸于點(diǎn)，且平分，則雙曲線的離心率為．
【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可得，，設(shè)，結(jié)合余弦定理，銳角三角函數(shù)與角分線的性質(zhì)定理，用兩種方式表達(dá)，從而建立關(guān)于的方程，解之即可．
【解答】解：由橢圓的定義知，，，由雙曲線的定義知，，
解得，，
設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線交軸于點(diǎn)，且平分，
所以，在△中，由余弦定理知，，
設(shè)，則，
由角分線定理知，，即，解得，
在△中，②，
由①②得，，解得或（舍，所以雙曲線的離心率為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線離心率的求法，熟練掌握橢圓、雙曲線的定義，角分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
四、解答題：本題共5小題，共60分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟
15．（13分）在△中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
（1）求角的大??；
（2）若的角平分線交于，且，求△面積的最小值．
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦公式，推出，從而知角的大小；
（2）根據(jù)，利用三角形的面積公式，可得，再結(jié)合基本不等式，求出的最小值即可．
【解答】解：（1）由正弦定理及，得，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以，即?br>又，所以．
（2）因?yàn)榈慕瞧椒志€交于，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
整理得，
因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
故△面積的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，三角形面積公式，兩角和的正弦公式，以及基本不等式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
16．（15分）如圖，已知多面體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面，，且．
（1）記線段的中點(diǎn)為，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作一條直線與平面平行，并說(shuō)明理由；
（2）求直線與平面所成角的余弦值．
【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，（1）設(shè)上點(diǎn)的坐標(biāo)使得平面，求出平面的法向量的坐標(biāo)，由，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，即求出直線平面；
（2）求出的坐標(biāo)及向量，的夾角的余弦值，即求出直線與平面所成角的正弦值，再求出它的余弦值．
【解答】解：由題意以為原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
且，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，
（1）可得線段的中點(diǎn)為，1，，設(shè)在直線上，且平面，
則，，，則，，，
平面的法向量為，，，
，0，，，2，，
則，即，
令，可得，1，，
因?yàn)?，所以，解得?br>即，3，時(shí)，平面；
（2），0，，由（1）知，1，，
可得，，，
所以，，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，，
所以直線與平面所成角的余弦值．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用空間向量的方法判斷線面平行及線面所成的角的余弦值，屬于中檔題．
17．（15分）甲，乙手中各有一個(gè)設(shè)備，可以各自輸入一個(gè)數(shù)字，設(shè)置完數(shù)字后每次按下按鈕，設(shè)備有的概率顯示0，的概率顯示1，每次按概率顯示的結(jié)果相互獨(dú)立．設(shè)甲，乙輸入的數(shù)字分別為，，且保持不變，隨后進(jìn)行游戲：甲乙同時(shí)按下按鈕，若顯示的結(jié)果之和為0，則乙得1分，甲不得分；若顯示的結(jié)果之和為1，則甲得2分，乙不得分；若顯示的結(jié)果之和為2，則乙得3分，甲不得分．
（1）若，進(jìn)行5輪游戲后甲的累計(jì)得分為，求；
（2）在不知道乙輸入的數(shù)字的值的情況下，甲想要每輪游戲的得分期望比乙高，則甲輸入的數(shù)字的取值范圍是多少？
【分析】（1）先由題意得到甲得分的概率，再由二項(xiàng)分布的期望公式求出；
（2）設(shè)每輪游戲甲的得分期望為，乙的得分期望為，求出相應(yīng)的概率和期望，由題意得對(duì)任意，恒成立，即對(duì)任意，恒成立，構(gòu)造一次函數(shù)（b）對(duì)，成立求解．
【解答】解：（1）每輪游戲甲要么得2分，要么不得分，
設(shè)事件為甲得2分，由題意得，
設(shè)5輪游戲中甲有得分的輪數(shù)為，則，，
所以，
因此；
（2）設(shè)每輪游戲甲的得分期望為，乙的得分期望為，
由題意得的可能取值為0，2，
，
所以，
的可能取值為0，1，3，
，，
所以，對(duì)任意，恒成立，即對(duì)任意，恒成立，
令（b），（b）是關(guān)于的一次函數(shù)，
因此（b）對(duì)，成立，
解得，
故的取值范圍為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)分布的期望公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．
18．（17分）已知雙曲線的焦距為4，其中一條漸近線為．
（1）已知點(diǎn)，若雙曲線上存在兩點(diǎn)，，使得為線段中點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）已知點(diǎn)，且．過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，滿足：直線交雙曲線于另一點(diǎn)，直線交雙曲線于另一點(diǎn)，且．記△的面積為，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的值．
【分析】（1）由題，先求出雙曲線的方程，然后設(shè)，，，，代入雙曲線方程，利用點(diǎn)差法得到，然后寫出直線直線，與雙曲線聯(lián)立，令△即可得出答案；
（2）根據(jù)平行得出，，三點(diǎn)共線，然后利用斜率間的關(guān)系寫出直線方程，將三角形的面積表示出來(lái)，然后構(gòu)造函數(shù)求解最值．
【解答】解：（1）由題意得，，，
結(jié)合，解得，，
因此雙曲線，
若直線斜率不存在，則線段中點(diǎn)在軸上，不符合題意；
若直線斜率存在，設(shè)，，，，
則，，
，
兩式作差得，
因此，故，
直線，
與雙曲線聯(lián)立得，
，
解得或，
故的取值范圍為；
取中點(diǎn)，中點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，，三點(diǎn)共線，
由（1）知，所以，
所以，且直線過(guò)，
因此直線，
設(shè)，，，，
與雙曲線聯(lián)立得，△，
，
點(diǎn)到直線的距離，
所以，
整理得，
令，
則，
令，
則，
因此在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值，
綜上，當(dāng)取得最小值時(shí)，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線方程的綜合應(yīng)用，屬于難題．
19．（17分）已知是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，滿足，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）若，是大于2的整數(shù)），求證：；
（2）若是某一正整數(shù)），求證：是整數(shù)，且數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)；
（3）求證：對(duì)任意給定正整數(shù)，總存在實(shí)數(shù)和，使得成立．
【分析】（1）根據(jù)題意，求得的公差，得到所以，，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式知，若，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而證得；
（2）若，得到，分，和，三種情況討論，結(jié)合二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式，得到，即可得證；
（3）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得到，得到對(duì)，2，，成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)，2，，成立，首先證得對(duì)任意，對(duì)，2，，成立，得到，再次證得，轉(zhuǎn)化為證明存在，使得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，（1），得到存在，使得，得到，取，即可得證．
【解答】證明：（1）由是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，滿足，，
可得等差數(shù)列的公差，
所以，，且，，
由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式知，
若，則，
即，
此時(shí)．
（2）若，則，
整理得，
①若，則，此時(shí)，，為整數(shù)；
②若，則，不符合題意，故；
③若，則為正整數(shù)，此時(shí)對(duì)任意，
，
取正整數(shù)，
則，
故數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，且為整數(shù)．
（3）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立；
當(dāng)時(shí)，由可得，
整理得，且，
因此，（因?yàn)榍遥?br>對(duì)，2，，成立，
等價(jià)于對(duì)，2，，成立，
首先證明對(duì)任意，對(duì)，2，，成立，
當(dāng)時(shí)，顯然成立；
若成立，則，
而，
故，
由數(shù)學(xué)歸納法可知對(duì)，2，，成立，
其次證明對(duì)，2，，成立，等價(jià)于對(duì)成立，
若，
則，
因此由可推出，
故只需證明存在，使得即可，
構(gòu)造函數(shù)，，
可得，
令，
則，
故在單調(diào)遞增，而，（1），
故存在，使得，且在遞減，在，遞增，
又因?yàn)椋?），故（1），取，符合題意，
綜上，對(duì)任意給定正整數(shù)，總存在實(shí)數(shù)和，使得成立．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用，屬于難題．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
A
B
A
B
A
A
題號(hào)
9
10
11
答案
AB
ABD
AD

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