湖南省長沙市長郡中學2025屆高三下學期4月月考（八）數(shù)學試卷含答案解析-試卷下載-教習網(wǎng)

注意事項：
1. 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2. 回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3. 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 復數(shù)z滿足，則的虛部為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【詳解】，則，故的虛部為.
故選：D.
2. 已知集合，，則的真子集的個數(shù)為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【詳解】或，∴，
∴，故的真子集個數(shù)為3個.
故選：C.
3. 若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)（）
A. 1B. C. －1D.
【答案】D
【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，可得，即，
解之得，則，
，
故偶函數(shù)，符合題意.
故選：D.
4. 空間內(nèi)有五點A，P，Q，S，T，則“”是“Q為重心”的（）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 既不充分也不必要條件D. 必要不充分條件
【答案】D
【詳解】當Q為重心時，可得，
所以，所以，
所以，∴成立；
設(shè)，如圖所示則Q可不為重心.
所以“”是“Q為重心”的必要不充分條件.
故選：D.
5. 已知，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【詳解】由兩邊平方，得，
∴，，
而，，∴，∴，
∴.
故選：C.
6. 若，，，，構(gòu)成等差數(shù)列，公差，，且其中三項構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)，，則下列說法正確的是（）
A. k一定大于0B. ，，可能構(gòu)成等比數(shù)列
C. 若，，則為5的倍數(shù)D.
【答案】C
【詳解】A. 取，則，，為等比數(shù)列，，故A錯誤.
B. ，與公差，矛盾，故B錯誤.
C. 為5的倍數(shù)，故C正確.
D. ，故D錯誤.
故選：C.
7. 雙曲線C：的左、右焦點分別為，，離心率為，點P在C上，，則的外接圓與內(nèi)切圓的半徑之比為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【詳解】設(shè)中的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，，，
不妨設(shè)，則，
中，由正弦定理，得，
中，由余弦定理，得，
∴，
，
∵，
∴，
∵，∴.
故選：D.
8. 已知正方體，如圖，延長至P使，O為的中點，設(shè)交平面于K，則下列說法正確的是（）
A. 與異面B.
C. 的余弦值為D. 平面與平面的夾角的正切值為
【答案】D
【詳解】連接，易知，，所以四邊形為直角梯形，與相交，故A錯誤；
令正方體的棱長為3，由知，，
，所以，，故B錯誤；
以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，
，，，，
，∴，故C錯誤；
由，，，，，
易知平面的法向量，
設(shè)平面的法向量，
則，
則，可得，
取，得，，則，
∴，，，
∴，，
∴，D正確.
故選：D.
二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 下列結(jié)論正確的是（）
A. 若隨機變量，則
B. 測量重力加速度大小實驗中所測g的值服從正態(tài)分布，則越大時，測得的g在間的概率越大
C. 某次考試中有三道題，小黃同學做對每道題的概率均為，則他做對的題數(shù)的期望為2
D. 已知某10個數(shù)據(jù)的平均值為7，方差為1.1，則加入一個數(shù)據(jù)7后方差變?yōu)?
【答案】CD
【詳解】對于A，，，故A錯誤；
對于B，當為定值時，正態(tài)密度曲線的峰值與成反比，越大，峰值越低，測得的g越分散，即在間的概率越低，故B錯誤；
對于C，做對的題數(shù)X服從二項分布，故，故C正確；
對于D，，故D正確.
故選：CD.
10. 記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，交于點M，交于點D，則（）
A. B.
C. D. 若的面積為18，，則
【答案】ACD
【詳解】，當且僅當時取等，選項A正確；
設(shè)，由可得，
由B，D，C三點共線可得，，即，D是邊BC的中點，選項B錯誤；
因為D是邊BC的中點，則，即，選項C正確；
因為，則，
由，可知，，
則，且，則，選項D正確.
故選：ACD.
11. 函數(shù)的定義域為，對，x，，恒成立，且，下列說法正確的是（）
A. 的圖象關(guān)于對稱
B. 若在上單調(diào)遞減，則對x，，
C. 若是公差不為零且恒不為零的等差數(shù)列，則有
D. 若為等比數(shù)列，公比為3，則
【答案】BD
【詳解】對于A，，，相加得，
故，故的圖象關(guān)于對稱，故A錯誤；
對于B，（*），
又，所以即，故B正確；
對于C，左邊，
右邊，所以左邊－右邊，
又對，x，，，所以，
所以，故C錯誤；
對于D，令，則，，由（*）得，
所以
，故D正確.
注：是解之一，全部解為，，，因為.
故選：BD.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知，其中，，則的最小值為______.
【答案】20
【詳解】由知，由知，故，
所以，所以，當且僅當時取等號.
故的最小值為.
故答案：20.
13. 已知，，則的值為______.
【答案】0
【詳解】不妨令，設(shè)，
因，則，，
由可得：
，
故.
故答案為：0.
14. 一副二色牌共有紙牌22張，其中紅、藍每種顏色各11張，編號分別為0，1，2，…，10，從這副牌中任取若干張牌，然后按照如下規(guī)則計算分值：每張編號為k的牌記為分，若它們的分值之和為2025，就稱這些牌為一個“好”牌組，則“好”牌組的個數(shù)為______.
【答案】2026
【詳解】因，
設(shè)x為一個“好”牌組中，未出現(xiàn)的編號的最大值（且），
由知“好”牌組中不可能每種編號的牌都有，知x必然存在，
當時，由于，則編號為，，…，10的牌各恰有一張，
此時剩余要取出的分值為，
且此時只能從編號為0，1，2，…，的牌中取，
而編號為0，1，2，…，的所有牌的分值總和為，
因此只需從編號為0，1，2，…，的牌中去除21分，由于，則只能從編號為0，1，2，3，4的牌中取出21分，
又
，共種取法，
對，6，7，8，9，10進行計數(shù)，總共有種取法；
當時，則編號為5，6，7，8，9，10的牌各恰有一張，此時剩余要取出的分值為，
又，共種取法，
以上取法均滿足，那么總共有種取法，
綜合與的情況，可得共有個“好”牌組.
故答案為：2026.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知數(shù)列滿足，，令.
（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列.在數(shù)列中是否存在3項，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）不存在，理由見解析
【小問1詳解】
法一：∵，
∴若，則；若，則，
∵，
∴，
∴，
∴為等比數(shù)列.
法二：∵，，∴，
∴，
即，又，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）知，
由題意知，即，
假設(shè)存在3項，，成等比數(shù)列，則，
∴，∵，
∴化簡可得，
∴，這與已知條件m，k，p互不相等矛盾，
所以不存在3項，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.
16. 已知拋物線C：，直線交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點，.
（1）求證：弦過定點；
（2）已知弦的中點為T，點關(guān)于直線對稱的點Q在拋物線C上，求的面積.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【小問1詳解】
設(shè)直線：，，，
聯(lián)立，
∴ ，
又，代入得，
∴，∴弦過定點.
【小問2詳解】
由（1）知定點也為拋物線焦點，又關(guān)于直線對稱，

∴，可得，即，
∴，
當時，的中點為，
則，：，
∴，
∴，此時；
由對稱性可知，當時，.
綜上，.
17. 如圖，直三棱柱中，，，.

（1）當時，證明：平面平面；
（2）當，記平面與平面，平面，平面，平面所成的角分別為，，，，，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【小問1詳解】
設(shè)，
∵為直三棱柱，且，
當時，此時P為的中點，
∴在中，，，則，
∵平面，平面，∴，
又∵，，∴平面，
又平面，∴，
∵，平面，
∴平面.∵平面，
∴平面平面.
【小問2詳解】
由（1）知，，兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
.
設(shè)平面的法向量，
則
令，則，
同理，平面的法向量，
平面的法向量，
平面的法向量，
平面的法向量，
∴，
同理，，，
∴，，
∴，
∴的取值范圍為.

18. 已知函數(shù).
（1）求的定義域；
（2）求證：無論a取何值，都有兩個極值點；
（3）設(shè)的極大值點為，極小值點為，求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）證明見解析
【小問1詳解】
函數(shù)中，，解得或，
所以函數(shù)的定義域為.
【小問2詳解】
求導得，
令，由，，得，，
因此方程有兩個不等實根，
顯然，當或時，，
當或時，，則有兩個變號零點，
所以函數(shù)始終有兩個極值點.
【小問3詳解】
由（2）知，，，
，
，
由，得，，
，，
，
令，則，令，求導得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
所以.
19. （1）已知集合，，若集合，其中，，滿足，寫出所有符合條件的C；
（2）集合，，從M，N中各自等概率地取出一個元素a和b，，求X的數(shù)學期望；
（3）若集合，，滿足，，考慮以下2500個數(shù)（可以相同）：，，對，設(shè)為k在上面2500個數(shù)中出現(xiàn)的次數(shù)，證明：.
（注：表示，，…，中最小的數(shù)，.）
【答案】（1），，，；（2）；（3）證明見解析
【詳解】（1），，，.
（2）1出現(xiàn)50次，2、3出現(xiàn)49次，4、5出現(xiàn)48次，…，98、99出現(xiàn)1次，100出現(xiàn)0次.
故
.
（3）不妨設(shè)，
即滿足的組數(shù)，
剛只需且，這樣的組數(shù)有組.
由基本不等式，
而為所有小于11的，的數(shù)量，即，
故，即證

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