題型一 平面向量的概念
題型二 平面向量的加減數(shù)乘運算（易錯）
題型三 平面向量的數(shù)量積（重點）
題型四 向量的模
題型五 向量的夾角（易錯）
題型六 向量的平行垂直關(guān)系（高頻）
題型七 三角形個數(shù)問題
題型八 判斷三角形形狀
題型九 三角形周長（重點）
題型十 三角形面積問題（重點）
題型十一 三角形的實際應(yīng)用（難點）
題型十二 復(fù)數(shù)的四則運算（高頻）
題型十三 復(fù)數(shù)的模
題型十四 復(fù)數(shù)的類型（高頻）
題型十五 基本立體圖形
題型十六 立體圖形直觀圖
題型十七 空間幾何體表面積與體積（難點）
題型一、平面向量的概念（共6小題）
1．（23-24高一下·河南·期中）在四邊形中，與交于點，且，則 （ ）
A．B．四邊形是梯形
C．四邊形是菱形D．四邊形是矩形
2．（23-24高一下·湖北武漢·期中）下列命題正確的是（ ）
A．若、都是單位向量，則
B．若，則四點A、B、C、D構(gòu)成平行四邊形
C．與是兩平行向量
D．若，則是的相反向量
3．（多選）（23-24高一下·甘肅武威·期中）給出下列命題，正確的命題是（ ）
A．向量的長度與向量的長度相等；
B．若向量與向量平行，則與的方向一定是相同或相反；
C．兩個有共同起點并且相等的向量，其終點必相同；
D．若向量與同向，且，則
4．（多選）（23-24高一下·甘肅·期中）如圖，在單位圓中，向量是（ ）

A．有相同起點的向量B．單位向量
C．模相等的向量D．相等的向量
5．（多選）（23-24高一下·江蘇無錫·期中）下列說法錯誤的是（ ）
A．向量與向量是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上
B．若，則或
C．若向量滿足，且與同向，則
D．向量與共線的充要條件是：存在唯一的實數(shù)，使
6．（多選）（23-24高一下·新疆克孜勒蘇·期中）下列說法中正確的是（ ）
A．若與都是單位向量，則
B．零向量的長度為零，方向是任意的
C．若與是平行向量，則
D．若或，則
題型二、平面向量的加減數(shù)乘運算（共9小題）
1．（2024·甘肅白銀·一模） （ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·浙江·期中）如圖所示，D，E為邊BC上的三等分點，且則下列各式中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一點，滿足，M是AD的中點，若，則（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·山東·期中）在中，點在邊上，，記，，則（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一下·天津·期中）已知向量，不共線，且向量，，若與方向相反，則實數(shù)的值為（ ）
A．-1B．C．1或D．-1或
6．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知為內(nèi)一點，且滿足，若的面積與的面積的比值為，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
7．（多選）（23-24高一下·福建泉州·期中）莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一個非常有趣、優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系（在如圖所示的正五角星中，多邊形為正五邊形，）．則（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24高二上·湖南·期中）設(shè)，是兩個不共線的向量，已知，，，若，，三點共線，則的值為 ．
9．（22-23高一下·湖南株洲·期中）如圖，在平行四邊形中，為的中點，為的中點，若，則 .

題型三、平面向量的數(shù)量積（共9小題）
1．（24-25高二上·四川達(dá)州·期中）已知空間單位向量，的夾角為，向量，則向量在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·湖北·期中）如圖，在中，，為上一點，且，若，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．4
3．（24-25高二上·湖北武漢·期中）在梯形 中，滿足 ，則 （ ）
A．4B．6C．10D．12
4．（24-25高三上·廣東中山·期中）對于任意非零向量，若在上的投影向量互為相反向量，下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二上·海南?？凇て谥校┮阎蛄俊M足，，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·寧夏·期中）已知等邊三角形的邊長為4，點、滿足，，與交于點，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（24-25高二上·浙江·期中）如圖，在大三角形中共有10個網(wǎng)格點，相鄰網(wǎng)格點間的距離均為1，從中選取三個不同的網(wǎng)格點A，B，C，則的最大值與最小值的和為 ．
8．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）向量滿足，且，則 ．
9．（24-25高一上·河北保定·期中）在中，，，，，，若，則實數(shù)的值為 ．
題型四、向量的模（共6小題）
1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，，，則的最小值為 （ ）
A．B．C．2D．4
2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知平面向量為單位向量，若，則（ ）
A．0B．1C．D．3
3．（24-25高二上·陜西渭南·期中）若為空間夾角是60°的兩個單位向量，則= .
4．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）已知向量滿足與的夾角為，則 .
5．（24-25高二上·陜西渭南·期中）已知是兩兩垂直的單位向量，則 ．
6．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知向量，的夾角為，且，，則 .
題型五、向量的夾角（共7小題）
1．（24-25高三上·山西大同·期中）已知向量滿足，且與的夾角為，則（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·河北承德·期中）已知平面向量，滿足，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
3．（24-25高三上·河南·期中）設(shè)，為非零向量，若，，則（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·湖南衡陽·期中）已知向量，滿足，且，則向量，的夾角是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·重慶·期中）已知平面上的兩個非零向量，滿足，則（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，正方形的邊長為，是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于點，則 .
7．（24-25高三上·福建福州·期中）已知，為單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為 .
題型六、向量的平行垂直關(guān)系（共7小題）
1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知向量滿足，，，則的夾角為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·山東·期中）已知非零向量，滿足，，若，則實數(shù)（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·河南南陽·期中）已知，，，若，則（ ）
A．10B．11C．12D．13
4．（22-23高二上·湖北孝感·期中）設(shè)向量，其中O為坐標(biāo)原點，，若A，B，C三點共線，則的最小值為（ ）
A．4B．6C．8D．9
5．（23-24高一上·江西·期中）已知，為平面內(nèi)向量的一組基底，，，若，則 .
6．（23-24高一下·江西贛州·期中）已知是夾角為的兩個單位向量，與的夾角為．
(1)求；
(2)若，求．
7．（22-23高一下·湖南·期中）已知平面直角坐標(biāo)系中，點為原點，，
(1)若，且方向相反，求的坐標(biāo)；
(2)若，與的夾角為，且向量與互相垂直，求的值.

題型七、三角形個數(shù)問題（共7小題）
1．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，，，分別為角，，所對的邊，已知，，，若滿足條件的角有兩個不同的值，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·山東菏澤·期中）在中，已知，，，則滿足條件的三角形個數(shù)為（ ）
A．2個B．1個C．0個D．無法確定
3．（多選）（23-24高一下·青?！て谥校┰谥?，，，，若滿足條件的三角形有兩個，則的取值可能為（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．（多選）（23-24高一下·浙江嘉興·期中）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，，若有且僅有一個解，則的可能取值有（ ）
A．0B．C．D．
5．（多選）（23-24高二下·湖南邵陽·期中）在中，內(nèi)角對邊分別為a，b，c，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（多選）（23-24高二下·陜西商洛·期中）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若，，，則符合條件的只有一解
B．若，，，則符合條件的只有一解
C．若，，，則符合條件的無解
D．若，且符合條件的有二解，則的取值范圍為
7．（23-24高一下·安徽·期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A為銳角，，若符合條件的三角形有2個，則整數(shù)x構(gòu)成的取值集合為 .
題型八、判斷三角形形狀（共6小題）
1．（23-24高一下·湖北孝感·期中）已知三角形的三邊長分別為4、6、8，則此三角形為（ ）
A．等邊三角形B．銳角三角形
C．直角三角形D．鈍角三角形
2．（23-24高一下·安徽蕪湖·期中）已知分別是三個內(nèi)角的對邊，下列關(guān)于的形狀判斷一定正確的為（ ）
A．，則為直角三角形
B．，則為等腰三角形
C．，則為直角三角形
D．，則為等腰三角形
3．（多選）（23-24高一下·福建福州·期中）已知分別為內(nèi)角的對邊，下面四個結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則是鈍角三角形
B．若，則為等腰三角形
C．若，則
D．若，且有兩解，則的取值范圍是
4．（多選）（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法中正確的是（ ）
A．若，則是直角三角形
B．若，則是銳角三角形
C．若，則是等腰三角形
D．若，則是等邊三角形
5．（多選）（23-24高一下·山東臨沂·期中）在中，角的對邊分別為，則下列命題中為真命題的是（ ）
A．若，則為直角三角形
B．若，則
C．若，則為銳角三角形
D．若，則為直角三角形
6．（多選）（23-24高一下·江蘇宿遷·期中）在中，，，分別為角、，的對邊，下列敘述正確的是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．若，則為等腰三角形
C．若，則為銳角三角形
D．若，則為鈍角三角形
題型九、三角形周長（共10小題）
1．（24-25高二上·云南昭通·期中）的內(nèi)角的對邊分別為，若的面積，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·河南許昌·期中）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知向量，，且.
(1)求；
(2)若，且的面積為，求的周長.
3．（24-25高三上·黑龍江大慶·期中）在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知．
(1)求；
(2)若，且的面積為，求的周長．
4．（23-24高一下·廣東廣州·期中）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并求解（1）、（2）的答案.問題：在中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知________.
(1)求角C；
(2)若，的面積，求的周長.
（注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分.）
5．（23-24高一下·江蘇淮安·期中）已知.
(1)求函數(shù)圖象的對稱中心；
(2)設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，若且.求周長的取值范圍．
6．（23-24高一下·廣東廣州·期中）在中，D是線段BC上的一點（不含端點），.
(1)若，求AD的長；
(2)若，求的取值范圍.
7．（23-24高一下·四川成都·期中）已知
(1)求函數(shù)的最小值以及取得最小值時的集合；
(2)設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，若且，求周長的取值范圍．
8．（23-24高二下·浙江·期中）已知銳角的內(nèi)角，所對的邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若，求的周長的取值范圍.
9．（23-24高二上·湖南·期中）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為中點，設(shè).
(1)求；
(2)若的面積等于，求的周長的最小值.
10．（23-24高三上·福建福州·期中）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè).
(1)求A；
(2)若AD為∠BAC的角平分線，且，求的最小值.
題型十、三角形面積問題（共9小題）
1．（24-25高二上·云南文山·期中）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)在中，角的對邊分別為，且，求的面積.
2．（24-25高三上·湖北·期中）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)判斷的形狀；
(2)設(shè)，且D是邊的中點，求當(dāng)最大時的面積.
3．（24-25高三上·青?！て谥校╀J角的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)求的值；
(2)若的面積為，求的值.
4．（24-25高三上·河北承德·期中）如圖，在三角形中，，，平分交于點，．

(1)求的值；
(2)求的長度；
(3)求的面積．
5．（22-23高一下·廣東廣州·期中）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，.
(1)求角的大??；
(2)若，求面積的最大值.
6．（24-25高三上·河北·期中）記 內(nèi)角 的對邊分別為 ，且
(1)求角 的大?。?br>(2)若 為銳角三角形，，求 面積的取值范圍.
7．（24-25高二上·廣西南寧·期中）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，
(1)求角的大??；
(2)若為BC中點，，求的面積的最大值
8．（24-25高三上·福建·期中）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.
(1)求；
(2)若，求面積的最大值.
9．（24-25高二上·廣西玉林·期中）在中，內(nèi)角的對邊分別為且的外接圓半徑滿足.
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值.
題型十一、三角形的實際應(yīng)用（共10小題）
1．（23-24高一下·重慶九龍坡·期中）阿蓬，土家語為“雄奇秀美”之意.阿蓬江為長江二級支流，烏江一級支流，阿蓬江國家濕地公園以河流濕地為主，跨黔江、酉陽兩區(qū)縣，黔江境內(nèi)自古石城經(jīng)官渡峽到神龜峽，還有豐富的支流水系，濕地生態(tài)系統(tǒng)完整，貫穿黔江境內(nèi)多個A級景區(qū)，有著一江兩岸秀美的濕地風(fēng)光.如圖為了測量濕地內(nèi)A、B兩點間的距離，觀察者在同一平面內(nèi)找到在同一條直線上的三點C、D、E，從D點測得，從C點測得，，從E點測得.若測得，，則A，B兩點間的距離為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·青?！て谥校┮阎獪y量隊員在山腳處測得山頂?shù)难鼋菫?，沿著傾斜角為的斜坡向上走400米到達(dá)處，在處測得山頂?shù)难鼋菫椋c在同一水平面上，M，O，N，P四點在同一鉛垂面上，則山的高度OP為（ ）
A．米B．米
C．米D．米
3．（24-25高三上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）鎮(zhèn)江的慈壽塔是金山寺的標(biāo)志性建筑，創(chuàng)建于1400余年前的齊梁時期．某同學(xué)為了測量慈壽塔的高，他在山下處測得塔尖點的仰角為，再沿正對塔方向前進20米到達(dá)山腳點，測得塔尖點的仰角為，塔底點的仰角為，則慈壽塔高約為 米．（，答案保留整數(shù)）
4．（24-25高三上·山東青島·期中）為測量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則塔的高度 米.

5．（23-24高一下·山東煙臺·期中）南方由于雨水較多，三角形斜屋頂建筑在江浙一帶隨處可見．如圖是一三角形木屋的建筑示意圖．三角形斜屋頂在地面的投影為，且，．在M點測得N點的仰角為，在N點測得P點的仰角為，M點到地面的距離為3m，N點到地面的距離為4m，則P點到地面的距離為 m．

6．（23-24高一下·河南鄭州·期中）如圖，某寶塔坐落在一山坡上，若在山坡處測得，從處沿山坡直線往上前進米到達(dá)處，在山坡處測得，，則該寶塔的高約為 米（，結(jié)果取整數(shù)

7．（23-24高一下·浙江·期中）如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從點A測得點M的仰角，點C的仰角，以及.從點C測得，已知山高.
(1)求兩點AC間的長度；
(2)求山MN的高度.
8．（23-24高一下·山西太原·期中）如圖，某人開車在山腳下水平公路上自向行駛，在處測得山頂處的仰角，該車以的速度勻速行駛3分鐘后，到達(dá)處，此時測得仰角，且．
(1)求此山的高OP的值；
(2)求該車從A到行駛過程中觀測點的仰角正切值的最大值．
9．（23-24高一下·山東青島·期中）如圖，游客從嶗山的景點處至處有兩種路徑，一種是從沿直線步行到，另一種是先從乘景區(qū)觀光車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處到處，甲沿勻速步行，乙從乘觀光車到，再從勻速步行到．假設(shè)山路長為1890米，經(jīng)測量，，．
(1)求觀光車路線的長；
(2)若甲的速度為，觀光車勻速直線運行的速度為．在甲出發(fā)2分鐘后，乙乘上觀光車出發(fā)，問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在觀光車上與甲的距離最短？
10．（23-24高一下·吉林延邊·期中）海岸上建有相距海里的雷達(dá)站C，D，某一時刻接到海上B船因動力故障發(fā)出的求救信號后，調(diào)配附近的A船緊急前往救援，雷達(dá)站測得角度數(shù)據(jù)為.

(1)救援出發(fā)時，A船距離雷達(dá)站C距離為多少？
(2)求之間的距離，并判斷若A船以30海里每小時的速度前往B處，能否在3小時內(nèi)趕到救援（說明理由）？
題型十二、復(fù)數(shù)的四則運算（共8小題）
1．（24-25高一上·四川眉山·期中）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·湖南婁底·期中）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，是虛數(shù)單位，則點為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·廣西玉林·期中）復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的模是（ ）
A．B．1C．2D．
4．（23-24高一下·湖北武漢·期中）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一上·廣西柳州·期中）已知為虛數(shù)單位，的虛部為（ ）
A．B．C．D．1
6．（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）已知若為純虛數(shù)，則 .
7．（23-24高一下·青海海南·期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為，則 ．
8．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知，則 ．
9．（23-24高一下·云南德宏·期中）復(fù)數(shù)滿足，則 .
題型十三、復(fù)數(shù)的模（共9小題）
1．（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為，則（ ）
A．B．1C．D．2
2．（23-24高一下·甘肅慶陽·期中）已知虛數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，且，則（ ）
A．3B．2C．4D．7
3．（23-24高一下·貴州·期中）已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．1C．D．2
4．（23-24高一下·山東臨沂·期中）已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（ ）
A．2B．C．D．
5．（23-24高一下·廣西柳州·期中）記復(fù)數(shù)z，若，則（ ）
A．1B．2C．D．4
6．（23-24高一下·河北·期中）若復(fù)數(shù)，滿足，，則的最小值為 ．
7．（23-24高一下·吉林長春·期中）若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則
8．（23-24高一下·浙江·期中）已知為復(fù)數(shù)，且，則的最大值為 ．
9．（23-24高一下·廣東茂名·期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則 ．
題型十四、復(fù)數(shù)的類型（共10小題）
1．（23-24高一下·河北唐山·期中）如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，是虛數(shù)單位，則（ ）
A．B．C．或D．且
2．（23-24高一下·海南?？凇て谥校┮阎獜?fù)數(shù)，，，若為純虛數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·河北張家口·期中）若為實數(shù)，則實數(shù)（ ）
A．2B．C．D．
4．（23-24高一下·廣東佛山·期中）設(shè)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則 ．
5．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期中）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為 .
6．（23-24高一下·安徽·期中）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則m的值為 .
7．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為8，在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限．
(1)求復(fù)數(shù)；
(2)若復(fù)數(shù)，且是實數(shù)，求實數(shù)的值．
8．（23-24高一下·陜西西安·期中）（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：
（2）已知復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，求的值．
9．（23-24高一下·安徽馬鞍山·期中），復(fù)數(shù)
(1)若z為純虛數(shù)，求
(2)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點在第四象限，求m的取值范圍
10．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知復(fù)數(shù)，是純虛數(shù)
(1)求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)
(2)若復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍.
題型十五、基本立體圖形（共8小題）
1．（24-25高二上·遼寧·期中）十三棱錐的頂點的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·吉林·期中）十棱錐共有（ ）
A．10個頂點B．20個頂點C．10條棱D．20條棱
3．（23-24高一下·山西太原·期中）下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．三棱錐是四面體B．長方體是平行六面體C．正方體是直四棱柱D．四棱柱是平行六面體
4．（24-25高三上·湖南懷化·期中）已知圓臺的上、下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為1，則圓臺的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二上·北京·期中）正三棱錐中，為棱PA的中點，點M，N分別在棱PB，PC上，三角形周長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二上·北京·期中）已知正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則該正四棱錐的側(cè)面積和體積分別為（ ）
A．16，B．16，C．8，D．8，
7．（多選）（23-24高一下·云南昭通·期中）下列命題中，正確的有（ ）
A．有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱
B．有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐
C．平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形
D．有兩個面互相平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺
8．（24-25高二上·北京·期中）如圖，在正方體內(nèi)，正方形EFGH中心與正方體中心重合，從前面觀察如圖所示，若棱長，則正棱臺的側(cè)棱長為 .
題型十六、立體圖形直觀圖（共6小題）
1．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，已知等腰直角三角形是一個平面圖形的直觀圖，，斜邊，則這個平面圖形的面積是（ ）

A．B．1C．D．
2．（24-25高二上·湖南岳陽·期中）有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示）.，則這塊菜地的面積為（ ）.
A．B．C．D．3
3．（24-25高二上·湖北·期中）如圖，斜二測畫法的直觀圖是，的面積為，那么的面積為( ).

A．B．C．D．
4．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，四邊形表示水平放置的四邊形根據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖，，，，，則（ ）
A．B．C．6D．
5．（23-24高一下·福建廈門·期中）如圖所示，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形面積是（ ）
A．B．1C．D．
6．（23-24高一下·浙江臺州·期中）如圖，水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的周長為（ ）
A．B．C．8D．10
題型十七、空間幾何體表面積與體積（共10小題）
1．（24-25高二上·北京·期中）若長方體的三條棱長分別是1，2，3，則它的外接球的表面積（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·湖南婁底·期中）已知球是三棱錐的外接球，，則當(dāng)點到平面的距離取最大值時，球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·北京·期中）蜜蜂被譽為“天才的建筑師”.蜂巢結(jié)構(gòu)是一種在一定條件下建筑用材面積最小的結(jié)構(gòu).如圖是一個蜂房的立體模型，底面ABCDEF是正六邊形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，F(xiàn)L均垂直于底面ABCDEF，上頂由三個全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG構(gòu)成.設(shè)BC=1， ，則上頂?shù)拿娣e為（ ）
A．3sinθB．C．D．
4．（24-25高二上·北京·期中）將邊長為1的正方形沿對角線折起，折起后點D記為D'.若，則四面體的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）正六棱臺上、下底面邊長分別是和，側(cè)棱長是，則它的體積是 ．
6．（24-25高三上·遼寧丹東·期中）已知正四棱錐的體積為，則該正四棱錐外接球的表面積為 .
7．（24-25高三上·四川自貢·期中）高為8的正四棱錐的頂點都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的表面積為 ．
8．（23-24高一下·福建泉州·期中）如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，其高為2cm，底面三角形的邊長分別為3cm，4cm，5cm.

(1)以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個圓柱，求剩余部分幾何體的體積；
(2)求該三棱柱的外接球的表面積.
9．（24-25高一上·浙江寧波·期中）如圖，設(shè)E、F、G分別是正方體的共點的三條棱、、的中點，過這三個點的平面截正方體得到的一個“角”是四面體. 設(shè)正方體的棱長為1.

(1)在四面體中，求頂點到底面的距離；
(2)如果將正方體按照題設(shè)的方法截去八個“角”，那么剩余的多面體有幾個頂點、幾條棱、幾個面？并求這個剩余多面體的表面積與體積.
10．（23-24高一下·湖北武漢·期中）用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所示.已知，且.
(1)在平面直角坐標(biāo)系中作出原平面圖形并求面積；
(2)將原平面圖形繞旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的表面積和體積.

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