壓軸一 平面向量基本定理
壓軸二 向量的數(shù)量積（含最值范圍）（重點(diǎn)）
壓軸三 向量的模（含最值范圍）（重點(diǎn)）
壓軸四 平面向量中的新定義題（難點(diǎn)）
壓軸五 三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)代數(shù)和）問(wèn)題（重點(diǎn)難點(diǎn)）
壓軸六 三角形面積問(wèn)題（重點(diǎn)難點(diǎn)）
壓軸七 復(fù)數(shù)模的最值（范圍）問(wèn)題
壓軸八 空間幾何體表面積和體積
壓軸九 外接球與內(nèi)切球（高頻）
壓軸一、 平面向量基本定理（共7小題）
1．（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知向量，不共線，且向量，，若與反向，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．
C．或D．或
2．（多選）（23-24高一下·貴州·期中）在中，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，線段交于，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．與的面積之比為
3．（23-24高一下·黑龍江綏化·期中）如圖，已知在中，是的角平分線，與交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，則 .

4．（23-24高一下·江蘇·期中）如圖所示，在中，是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，.設(shè)，，（，）.
(1)求證：為定值；
(2)設(shè)的面積為，的面積為，求的取值范圍.
5．（23-24高一下·浙江麗水·期中）如圖在平行四邊形中，，，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），且，．
(1)若
①請(qǐng)用，表示
②設(shè)與相交于點(diǎn)，求
(2)若，求的取值范圍．
6．（23-24高一下·山東·期中）如圖，在中，點(diǎn)滿足是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與邊分別交于點(diǎn).
(1)若，求和的值；
(2)若，求的最小值.
7．（23-24高一下·吉林延邊·期中）如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線分別交兩邊于兩點(diǎn)，且，，則的最小值為（ ）
A．B．C．4D．2
壓軸二、向量的數(shù)量積（含最值范圍）（共7小題）
1．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）菱形邊長(zhǎng)為，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·貴州·期中）已知是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)分別是上的點(diǎn)，滿足，連接交于點(diǎn)，求（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·天津·期中）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，每逢新春佳節(jié)，我國(guó)許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此達(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望. 圖①是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖②中正六邊形的邊長(zhǎng)為2，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若，則 ；若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，為圓的直徑，則的取值范圍是 .
4．（23-24高一下·貴州·期中）在梯形中，，梯形外接圓圓心為，圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍 ．
5．（24-25高三上·天津?yàn)I海新·期中）如圖梯形，且，，在線段上，，則的最小值為 ．

6．（24-25高三上·上?！て谥校┰谄叫兴倪呅沃校?，，點(diǎn)在邊上，滿足，若，點(diǎn)分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的最小值為 .
7．（24-25高三上·北京·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為常數(shù)且．如果的最大值為，那么 ，此時(shí)的最小值為 ．
壓軸三、向量的模（含最值范圍）（共7小題）
1．（23-24高一下·河北石家莊·期中）已知向量與夾角為銳角，且，任意，的最小值為，若向量滿足，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·浙江臺(tái)州·期中）已知向量夾角為，若對(duì)任意，恒有，則函數(shù)的最小值為 ．
3．（23-24高一下·北京·期中）已知單位向量的夾角為，且（其中).當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，的最小值是 .
4．（23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）設(shè)，向量，，且，則 ；當(dāng)時(shí)，的取值范圍為 ．
5．（23-24高一下·浙江·期中）已知．
(1)求的值；
(2)求向量與夾角的余弦值；
(3)求的最小值．
6．（23-24高一下·河南南陽(yáng)·期中）（1）已知，，求滿足，的點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)，為單位向量，且，向量與共線，求的最小值.
7．（23-24高一下·福建·期中）解決下列問(wèn)題
(1)在平面直角坐標(biāo)系中，已知，；
(2)如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是軸與軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為.在斜坐標(biāo)系中，
①已知，求；
②已知，，，求的最大值.
壓軸四、平面向量中的新定義題（共6小題）
1．（多選）（23-24高一下·福建龍巖·期中）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義：：；.若平面向量滿足，且和都在集合中，則的值可能是（ ）
A．1B．C．D．
2．（多選）（23-24高一下·山西大同·期中）已知兩個(gè)非零向量，定義新運(yùn)算，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，
B．對(duì)于任意非零向量，都有
C．對(duì)于不垂直的非零向量，都有
D．若，則
3．（24-25高三上·河北滄州·期中）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．
(1)記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)且時(shí)，求的值；
(2)設(shè)，試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與同向的單位向量；
(3)已知為函數(shù)的相伴特征向量，若在中，，若點(diǎn)為該的外心，求的最大值．
4．（24-25高一上·河北保定·期中）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)（其中，為常數(shù)，且），點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)設(shè)點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，，求的值；
(2)如圖所示，設(shè)點(diǎn)，，，…，是線段的等分點(diǎn)，其中，，
①當(dāng)時(shí)，求的值（用含，的式子表示）；
②當(dāng)，時(shí)，求的最小值．
（說(shuō)明：可能用到的計(jì)算公式：，）．
5．（23-24高一下·四川瀘州·期中）定義函數(shù)的“源向量”為，非零向量的“伴隨函數(shù)”為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)若向量的“伴隨函數(shù)”為，且，求的值；
(2)在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若函數(shù)的“源向量”為，且已知，求的取值范圍．
6．（23-24高一下·山東日照·期中）如圖，已知是的外心，，，，，．
(1)判斷的形狀，且求時(shí)的值；
(2)當(dāng)時(shí)，
①求的值（用含的式子表示）；
②若，求集合中的最小元素．
壓軸五、三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)代數(shù)和）問(wèn)題（共5小題）
1．（23-24高一下·浙江寧波·期中）在中，角的對(duì)邊分別為，若，，則的取值范圍是 ．
2．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值范圍是 ．
3．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，有一景區(qū)的平面圖是一個(gè)半圓形，其中O為圓心，直徑AB的長(zhǎng)為，C，D兩點(diǎn)在半圓弧上，且，設(shè)．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形ABCD的面積；
(2)若要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條由線段AB，BC，CD和DA組成的觀光道路，則當(dāng)為何值時(shí)，觀光道路的總長(zhǎng)l最長(zhǎng)，并求出l的最大值．
4．（23-24高一下·遼寧·期中）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，.
(1)求角B的大??；
(2)若，求的取值范圍.
5．（23-24高一下·安徽合肥·期中）在中，三內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，且.
(1)求角的大??；
(2)若是銳角三角形，求的取值范圍.
壓軸六、三角形面積問(wèn)題（共7小題）
1．（22-23高一下·山東青島·期中）我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中提出了一種求三角形面積的方法——三斜求積術(shù)：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積”．也就是說(shuō)，在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，那么的面積，若，且，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．6D．
2．（22-23高一下·河南·期中）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，且，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·廣東·期中）設(shè)正三角形的三邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，則該三角形面積的最大值為 ．
4．（23-24高一下·廣東廣州·期中）在等腰中，角所對(duì)的邊分別為，其中為鈍角，.
(1)求;
(2)如圖，點(diǎn)與點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且，設(shè)，求的面積的最大值和此時(shí)的值.
5．（23-24高一下·湖北武漢·期中）已知函數(shù)的最大值是4，函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是，一個(gè)對(duì)稱中心是．
(1)求的解析式；
(2)已知中，是銳角，且，邊長(zhǎng)為3，求的面積的最大值．
6．（24-25高三上·山東菏澤·期中）定義向量的“親密函數(shù)”為.設(shè)向量的“親密函數(shù)”為.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若方程有三個(gè)連續(xù)的實(shí)數(shù)根，，，且，，求實(shí)數(shù)的值；
(3)已知為銳角三角形，，，為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，，且，求面積的取值范圍.
7．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若
(1)求的大??；
(2)若是線段上一點(diǎn)，且，求的最大值.
壓軸七、復(fù)數(shù)模的最值（范圍）問(wèn)題（共7小題）
1．（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）已知復(fù)數(shù)滿足，則（是虛數(shù)單位）的最小值為（ ）
A．B．4C．D．6
2．（23-24高一下·河北石家莊·期中）當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足時(shí)，則的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（23-24高一下·河北·期中）若復(fù)數(shù)，滿足，，則的最小值為 ．
4．（23-24高一下·福建龍巖·期中）已知復(fù)數(shù)（x，），則復(fù)平面內(nèi)滿足的點(diǎn)Z的集合圍成的圖形面積為，則實(shí)數(shù) .
5．（23-24高一下·陜西西安·期中）若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則的最大值為 ．
6．（23-24高一下·重慶·期中）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），記對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值 .
7．（23-24高一下·福建·期中）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為 ．
壓軸八、空間幾何體表面積和體積（共10小題）
1．（23-24高一下·陜西安康·期中）已知點(diǎn)為圓錐的底面圓心，，為圓錐的母線，，若的面積為，的面積為，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
2．（多選）（23-24高一下·山東·期中）半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖，將棱長(zhǎng)為2的正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)半正多面體，它們的棱長(zhǎng)都相等，則下列說(shuō)法正確的有（ ）

A．此半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E滿足關(guān)系式
B．過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面截該正多面體，所得截面面積為
C．若該半正多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為
D．若該半正多面體可以在一個(gè)正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正四面體體積最小值為
3．（多選）（23-24高一下·山西太原·期中）如圖，在直三棱柱中，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直三棱柱的體積是6B．三棱錐的體積為定值
C．的最小值為D．直三棱柱的外接球表面積是
4．（23-24高一下·云南曲靖·期中）祖暅（公元5-6世紀(jì)），祖沖之之子，是我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家.他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等；該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體．如圖將底面直徑皆為，高皆為的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高處可橫截得到及兩截面，可以證明總成立.據(jù)此，為，為的橢球體的體積是 .

5．（23-24高一下·吉林·期中）如圖所示，在三棱柱中，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿足，，平面將三棱柱分成的左、右兩部分的體積分別為和，則＝ .
6．（23-24高一下·福建廈門·期中）如圖，直三棱柱中，，，，點(diǎn)P在棱上，且，則當(dāng) 時(shí)，的面積取最小值；此時(shí)三棱錐的外接球的表面積為 ．
7．（23-24高一下·山東濟(jì)南·期中）如圖，將兩個(gè)相同的正四棱錐底面重合組成一個(gè)八面體，可放入棱長(zhǎng)為4的正方體中，重合的底面與正方體的某一個(gè)面平行，各頂點(diǎn)均在正方體的表面上，把滿足上述條件的八面體稱為正方體的“正子體”．若該正子體的體積為，則 .
8．（24-25高一上·四川·期中）勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng)（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長(zhǎng)為2，則勒洛四面體能夠容納的最大球的表面積為 .

9．（23-24高一下·天津河北·期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M（如圖），則四棱錐的體積為 ；四棱錐的表面積是 .

10．（24-25高一上·河南南陽(yáng)·期中）平均值不等式（，，…，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究中占有重要的位置，在不等式證明、數(shù)列收斂性證明、函數(shù)性質(zhì)分析、數(shù)學(xué)建模和優(yōu)化問(wèn)題等方面，平均值不等式常常能夠發(fā)揮關(guān)鍵作用.當(dāng)時(shí)，可得基本不等式（a，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.當(dāng)時(shí)，可得，（a，b，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），而利用該不等式我們可解決某些函數(shù)的最值問(wèn)題，例如：（）求函數(shù)）的最小值我們可以這樣處理：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為12.
(1)請(qǐng)利用當(dāng)時(shí)的結(jié)論解決下面問(wèn)題：已知，，，求證：；
(2)請(qǐng)利用當(dāng)時(shí)的結(jié)論解決下面問(wèn)題：
①已知，求的最小值；
②已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為6，設(shè)（），將其繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的體積為V，求V的最大值.
壓軸九、外接球與內(nèi)切球（共6小題）
1．（24-25高三上·四川成都·期中）在體積為的三棱錐中，，，平面平面，， ，若點(diǎn)，，，都在球的表面上，則球的體積為（ ）
A．B． C．D．
2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）四面體ABCD中，，則該四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面相切）與外接球半徑長(zhǎng)度的比值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知一圓錐底面圓的直徑為，圓錐的高為，在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體，并且正四面體在該幾何體內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A．3B．C．D．
4．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）在三棱錐中，，平面平面，則三棱錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一上·四川·期中）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球?yàn)榍?，，分別是棱和棱的中點(diǎn)，在棱上移動(dòng)，則下列命題正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)，使垂直于平面
B．對(duì)于任意點(diǎn)，平行于平面
C．到直線的距離為
D．過(guò)直線的平面截球所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為
6．（24-25高三上·河南·期中）從球外一點(diǎn)作球表面的三條不同的切線，切點(diǎn)分別為，，，，若，則球的表面積為 .
7．（24-25高三上·遼寧沈陽(yáng)·期中）在四面體中，，，，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，四面體的外接球的表面積為 ．
8．（24-25高二上·四川南充·期中）在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面底面，且是正三角形，是的中點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為 ．

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【期中模擬】2023-2024學(xué)年人教A版2019 高二數(shù)學(xué)下冊(cè)專題模擬卷 專題02+真題精選（壓軸題++考題猜想，11種題型）.zip

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