清單01 正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
清單02 周期性
清單03 三角函數(shù)奇偶性
(1)函數(shù)是奇函數(shù)?()，是偶函數(shù)?()；
(2)函數(shù)是奇函數(shù)?()，是偶函數(shù)?()；
(3)函數(shù)是奇函數(shù)?()．
清單04 三角函數(shù)對稱性
(1)函數(shù)的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由()解得；
(2)函數(shù)的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由()解得；
(3)函數(shù)的圖象的對稱中心由)解得．
【考點(diǎn)題型一】五點(diǎn)法畫正余弦函數(shù)的圖象（）
【例1】（24-25高一下·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的最大值及取得最大值時自變量x的取值集合；
(2)用“五點(diǎn)法”畫出在一個周期內(nèi)的圖象.
【變式1-1】.（24-25高一上·陜西西安·期末）設(shè)，圖象的一條對稱軸是直線.
(1)求，并求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.
【變式1-2】.（24-25高一上·河北保定·期末）設(shè)，函數(shù)的最小正周期為，且.
(1)求和的值；
(2)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)在上的圖象；
(3)若，求的取值范圍.
【考點(diǎn)題型二】含絕對值的正余弦函數(shù)圖象（）
【例2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)，方程有個根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【變式2-1】.（23-24高一·上海·課堂例題）作出下列函數(shù)的大致圖像：
(1)，；
(2)，．
【變式2-2】.（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù).
(1)畫出函數(shù)在上的圖象.
(2)這個函數(shù)是周期函數(shù)嗎？若是，求出最小正周期；若不是，請說明理由.
(3)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【考點(diǎn)題型三】正余弦函數(shù)的單調(diào)性問題（）
【例3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)．
(1)求圖象的對稱軸方程；
(2)求在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間．
【變式3-1】.（24-25高一上·廣東梅州·期末）設(shè)函數(shù)，．
(1)解方程：；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
【變式3-2】.（23-24高一下·陜西漢中·期中）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
【變式3-3】.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
【考點(diǎn)題型四】正余弦函數(shù)的奇偶性問題（）
【例4-1】（24-25高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（23-24高一上·四川涼山·期末）已知函數(shù)，且，則（ ）
A．B．C．0D．1
【變式4-1】.（2025·河北保定·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為奇函數(shù)且，則（ ）
A．0B．1C．D．
【變式4-2】.（24-25高一上·廣東肇慶·期末）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式4-3】.（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的奇偶性是 ．
【考點(diǎn)題型五】正余弦函數(shù)的周期性問題（）
【例5】．（多選）（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為B．的最小正周期為π
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．為奇函數(shù)
【變式5-1】.（24-25高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則為（ ）
A．周期函數(shù)，最小正周期為B．周期函數(shù)，最小正周期為
C．周期函數(shù)，最小正周期為D．非周期函數(shù)
【變式5-2】.（24-25高三下·浙江·階段練習(xí)）函數(shù)是（ ）
A．最小正周期為的奇函數(shù)B．最小正周期為的偶函數(shù)
C．最小正周期為的奇函數(shù)D．最小正周期為的偶函數(shù)
【變式5-3】.（24-25高一上·貴州畢節(jié)·期末）函數(shù)的最小正周期（ ）
A．B．C．D．
【變式5-4】.（23-24高二下·云南·期末）若函數(shù)的最小正周期為，則常數(shù) ．
【考點(diǎn)題型六】正余弦函數(shù)的對稱性問題（）
【例6】（24-25高三下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則a的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式6-1】.（24-25高三下·河南信陽·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象在區(qū)間上的對稱軸方程為（ ）
A．B．C．D．
【變式6-2】.（24-25高一下·甘肅武威·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的初相為
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
【變式6-3】.（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·期末）函數(shù)圖象的一個對稱中心為（ ）
A．B．C．D．
【變式6-4】.（24-25高一上·寧夏固原·期末） 函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，那么的最小值為 .
【考點(diǎn)題型七】正余弦函數(shù)的值域問題（）
【例7-1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)，，當(dāng) 時，最小且最小值為 ．
【例7-2】（24-25高一上·江蘇常州·期末）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
【變式7-1】.（24-25高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式7-2】.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)? .
【變式7-3】.（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示.
(1)直接寫出、、的取值；
(2)求的對稱中心和單調(diào)增區(qū)間；
(3)當(dāng)時，求的最值，并指出取最值時的取值.
【考點(diǎn)題型八】正切函數(shù)的定義（）
【例8】（24-25高一下·四川廣安·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是（ ）
A．RB．
C．D．
【變式8-1】.（24-25高一下·江西·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
【變式8-2】.（23-24高一下·山西晉中·開學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．，B．，
C．，D．，
【變式8-3】.（24-25高一上·山東煙臺·期末）函數(shù)的定義域?yàn)? .
【考點(diǎn)題型九】正切函數(shù)的圖象（）
【例9】（2024高一上·全國·專題練習(xí)）借助函數(shù)的圖象寫出下列不等式或方程的解集：
(1)，；
(2)；
(3)；
(4)；
【變式9-1】.（24-25高一上·陜西·期末）當(dāng)時，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【變式9-2】.（多選）（24-25高三上·吉林·期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示（分隔直線右側(cè)函數(shù)的零點(diǎn)為），則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為B．
C．D．函數(shù)在上單調(diào)遞增
【考點(diǎn)題型十】正切函數(shù)的單調(diào)性（）
【例10】（23-24高一下·陜西·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)求不等式的解集．
【變式10-1】.（23-24高一下·江西·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．B．
C．D．
【變式10-2】.（23-24高一上·湖北荊州·期末）已知函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求不等式 的解集.
【考點(diǎn)題型十一】正切函數(shù)的奇偶性（）
【例11】（24-25高一上·江西贛州·階段練習(xí)）函數(shù)是（ ）
A．最小正周期為的奇函數(shù)B．最小正周期為的奇函數(shù)
C．最小正周期為的偶函數(shù)D．最小正周期為的偶函數(shù)
【變式11-1】.（多選）（23-24高一下·遼寧·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，最小正周期為且為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式11-2】.（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知（a，b為實(shí)數(shù)），且，則 ．
【考點(diǎn)題型十二】正切函數(shù)周期性（）
【例12】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為 .
【變式12-1】.（2024·江西）函數(shù)的最小正周期為（ ）
A．B．C． D．
【變式12-2】.（多選）（23-24高一下·江西撫州·階段練習(xí)）下列函數(shù)，最小正周期為的有（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)題型十三】正切函數(shù)對稱性（）
【例13】（多選）（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）函數(shù)的對稱中心可以是（ ）
A．B．C．D．
【變式13-1】.（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為B．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個對稱中心
C．函數(shù)的定義域?yàn)镈．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增
【變式13-2】.（多選）（23-24高一上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)，則下列命題中正確的有（ ）
A．的最小正周期為
B．的定義域?yàn)?br>C．圖象的對稱中心為
D．的單調(diào)遞增區(qū)間為
【考點(diǎn)題型十四】正切函數(shù)的值域（）
【例14】（23-24高一下·上海·課后作業(yè)）求下列函數(shù)的值域：
（1）；
（2）．
【變式14-1】.（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，則函數(shù)的值域是（ ）
A．B．C．D．
【變式14-2】.（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有定義，則的值不可能是（ ）
A．B．C．2D．4
【變式14-3】.（23-24高一下·上?！ふn后作業(yè)）函數(shù)在上的值域?yàn)? .
【變式14-4】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）求函數(shù)， 的值域.
提升訓(xùn)練
一、單選題
1．（24-25高一下·江西·階段練習(xí)）已知是周期為4的函數(shù)，且時，，則（ ）
A．B．0C．1D．3
2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高一上·安徽蕪湖·期末）已知函數(shù)，若，則（ ）
A．0B．C．1D．
4．（24-25高一下·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高一下·湖北黃岡·階段練習(xí)）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高一下·山東德州·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高一下·吉林長春·開學(xué)考試）已知函數(shù)，下列四個結(jié)論中，正確的有（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．函數(shù)在上單調(diào)遞增
8．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)最小正周期為
B．定義域?yàn)?br>C．函數(shù)圖象所有對稱中心為，
D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
二、多選題
9．（2025·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知函數(shù)，則（ ）
A．是周期為的函數(shù)
B．與函數(shù)是同一函數(shù)
C．是的一條對稱軸
D．在區(qū)間上的取值范圍是
10．（2025·四川成都·二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．在上單調(diào)遞減
D．在上有2個零點(diǎn)
三、填空題
11．（24-25高一下·上?！るA段練習(xí)）函數(shù)，則的最小值為 ．
12．（24-25高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為 .
四、解答題
13．（24-25高一下·全國·單元測試）設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間；
(2)求不等式的解集；
14．（24-25高一上·安徽阜陽·期末）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)減區(qū)間；
(2)若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值．
15．（24-25高一下·海南·開學(xué)考試）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間：
(2)求在上的值域；
(3)若函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)為2，求的取值范圍.
函數(shù)
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
對稱中心
對稱軸方程
無
遞增區(qū)間
遞減區(qū)間
無
函數(shù)
周期
函數(shù)
周期
函數(shù)
()
()
()
周期
其它特殊函數(shù)，可通過畫圖直觀判斷周期
三角函數(shù)
取何值為奇函數(shù)
取何值為偶函數(shù)
()
()
()
()
()

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