1.已知直線l的傾斜角為π4，則直線l的斜率為( )
A. 33B. ?1C. 1D. 3
2.已知向量n=?2,3,1是平面α的一個法向量，點P1,1,2在平面α內(nèi)，則下列點不在平面α內(nèi)的是( )
A. 3,2,3B. 0,0,3C. 2,1,1D. 2,1,4
3.如圖，三棱柱ABC?DEF中，G為棱AD的中點，若BA=a，BC=b，BD=c，則CG=( )
A. 12a?b+12cB. 12a+b+12c
C. 32a?12b+12cD. 32a+12b+12c
4.已知空間向量a=6,2,1，b=2,x,?3，若a?2b⊥a，則x=( )
A. 4B. 6C. 234D. 214
5.下列說法中，錯誤的是( )
A. 直線y=5x?3在y軸上的截距為?3
B. 直線 3x?y+1=0的一個方向向量為? 3,?3
C. 兩平行直線x+2y+3=0與2x+4y?7=0之間的距離是2 5
D. A1,3,B2,5,C?2,?3三點共線
6.已知直線l1:x+y+C=0與直線l2:Ax+By+C=0交于(1,1)，則原點到直線l2距離的最大值為( )
A. 2B. 2C. 22D. 1
7.如圖，在正四棱錐P?ABCD中，PA= 2AB,E為PC的中點，則異面直線BE與AC所成角的余弦值為( )
A. 66B. 24C. 63D. 3 24
8.在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為BD1，B1C1的中點，點P在正方體表面上運動，且
滿足MP⊥CN，點P軌跡的長度是( )．
A. 2+ 5aB. 3+ 3aC. 3+ 5aD. 4a
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列說法錯誤的是( )
A. “a=?1”是“直線a2x?y+1=0與直線x?ay?2=0互相垂直”的充要條件
B. 直線xsinα+y+2=0的傾斜角θ的取值范圍是0,π4∪3π4,π
C. 過x1,y1,x2,y2兩點的所有直線，其方程均可寫為y?y1y2?y1=x?x1x2?x1
D. 已知A2,4,B1,1，若直線l:kx+y+k?2=0與線段AB有公共點，則k∈?12,23
10.下列命題中錯誤的是( )
A. 若直線l的方向向量a=0,1,?1，平面α的法向量n=1,?1,?1，則l⊥α
B. 若a,b,c是空間的一個基底，2a+b,2b?2c,2a+c是空間的另一個基底
C. 已知空間向量a=2,?1,2,b=1,?2,?1,則向量b在向量a上的投影向量是49,?29,49
D. 已知a=1,?2,4,b=2,1,2,則與向量a,b共面的向量可以是5,0,8
11.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2,CC1=4，點E在棱AA1上，且AE=3EA1.點M為線段B1D1上動點(包括端點)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 當點M為B1D1中點時，C1M⊥平面BB1D1D
B. 過E點作與直線BD1垂直的截面α，則直線AD與截面α所成的角的正切值為 55
C. 三棱錐E?BDM的體積是定值
D. 點M到直線BC1距離的最小值為 63
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知點P1,1，則點P關(guān)于直線x?y?2=0的對稱點的坐標是 ．
13.已知空間向量PA，PB，PC的模長分別為2，2，3，且兩兩夾角均為π3，點G為△ABC的重心，則|PG|= ．
14.已知四面體OABC中，OC= 2，且OC與平面OAB所成的角為π4，則當x,y∈R時，OC?xOA?yOB+2OC?xOA?yOB的最小值是 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知點P(2,?1)和直線l:x+2y?5=0．
(1)若直線l1經(jīng)過點P，且l1⊥l，求直線l1的方程；
(2)若直線l2經(jīng)過點P，且在兩坐標軸上的截距相等，求直線l2的方程．
16.(本小題12分)
已知直線l經(jīng)過點P3,2，
(1)若點M5,0到直線l的距離為2，求直線l的方程；
(2)直線l與x，y軸的正半軸交于A，B兩點，求PA?PB的最小值．
17.(本小題12分)
如圖，已知直三棱柱ABC?A1B1C1，AC⊥BC，AC=BC=2，AA1=4，點D為AC的中點．
(1)證明：AB1//平面BC1D；
(2)求直線AB1到平面BC1D的距離．
18.(本小題12分)
如圖，在四棱錐．P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=1，CD= 3，PD=2，∠PDA=60°，∠PAD=30°，且平面PAD⊥平面ABCD，在平面ABCD內(nèi)過B作BO⊥AD，交AD于O，連接PO．
(1)求證：PO⊥平面ABCD；
(2)求二面角A?PB?C的正弦值：
(3)點M為PA的四等分點(靠近P)，求直線BM與平面PAD所成的角的余弦值．
19.(本小題12分)
如圖，在四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AB=2AA1=2A1B1=2，∠ABC=60°，AA1⊥平面ABCD．
(1)證明：BD⊥CC1；
(2)若點M在棱AD上，且C1M//平面ABB1A1，求線段AM的長；
(3)棱BC上是否存在一點E，使得二面角E?AD1?D的余弦值為14？若存在，求線段CE的長；若不存在，請說明理由．
參考答案
1.C
2.C
3.A
4.C
5.C
6.B
7.B
8.A
9.ACD
10.AB
11.ABC
12.3,?1
13. 333
14. 10
15. 解：(1)由直線l的方程可知它的斜率為?12，因為l1⊥l，所以直線l1的斜率為2．
又直線l1經(jīng)過點P(2,?1)，所以直線l1的方程為：y+1=2(x?2)，即2x?y?5=0；
(2)若直線l2經(jīng)過原點，設(shè)直線方程為y=kx，
代入P(2,?1)可得x+2y=0，
若直線l2不經(jīng)過原點，設(shè)直線方程為xa+ya=1，
代入P(2,?1)可得a=1，故直線l2方程為x+y?1=0．
綜上，直線l2的方程為x+2y=0和x+y?1=0．

16. 解：(1)當直線l斜率不存在時，l:x=3，此時點M5,0到直線l的距離2，符合要求；
當直線l斜率存在時，設(shè)l:y=kx?3+2，即kx?y?3k+2=0，
則有d=5k?3k+2 k2+1=2，解得k=0，故l:y=2；
綜上所述，直線l的方程為x=3或y=2；
(2)如圖，設(shè)∠PAO=θ∈0,π2，則PA=2sinθ，PB=3csθ，
即PA?PB=2sinθ?3csθ=6sinθcsθ=12sin2θ，
由θ∈0,π2，則2θ∈0,π，故當2θ=π2時，
有PA?PBmin=12sinπ2=12．

17.解：(1)證明：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
設(shè)B1C與BC1交于點E，連接DE，
由于四邊形BCC1B1是矩形，則E為B1C的中點，
又D是AC的中點，
∴DE//AB1，
又AB1?平面BC1D，DE?平面BC1D，
∴AB1/?/平面BC1D.
(2)由(1)知AB1//平面BC1D，
故直線AB1到平面BC1D的距離等價于點A到平面BC1D的距離，
∵AC=BC=2，AC⊥BC，點D為AC的中點，
所以CD=1，BD= BC2+CD2= 5，
S△ABD=12S△ABC=12×12×AC×BC=1，
在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，CD、BC?平面ABC，
∴CC1⊥CD，CC1⊥BC，
故C1D= CC12+CD2= 16+1= 17，
C1B= CC12+BC2= 16+4=2 5，
所以在△BDC1中由余弦定理可得
cs∠BDC1=BD2+C1D2?C1B22BD·C1D
=5+17?202× 5× 17=1 85>0，
因為∠BDC1∈(0,π)，
故sin∠BDC1= 8485，
故S△BDC1=12BD·C1D·sin∠BDC1= 21，
設(shè)A到平面BC1D的距離為d，
由VC1?ABD=VA?BDC1，得
13×S△ABD×CC1=13×S△BDC1×d，
解得d=2 2121．
∴直線AB1與平面BC1D的距離為2 2121．
18. 解：(1)因為BO⊥AD，BC//AD，∠ADC=∠BCD=90°，
所以四邊形BODC為矩形，
在△PDO中，PD=2，DO=BC=1，∠PDA=60°，
則PO= PD2+OD2?2PD?ODcs60°= 3，
∴PO2+DO2=PD2，∴PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，PO?平面PAD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD；
(2)以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵PO= 3，∠PAD=30°，可得AO=3，
則O(0,0,0)，A(3,0,0)，P0,0, 3，B0, 3,0，C?1, 3,0，
設(shè)平面APB的法向量為m=(x,y,z)，PA=3,0,? 3，PB=0, 3,? 3，
由PA?m=3x? 3z=0PB?m= 3y? 3z=0，令x=1，則y=z= 3，即m=1, 3, 3，
設(shè)平面CPB的法向量為n=(a,b,c)，PC=?1, 3,? 3，
由n?PB= 3b? 3c=0n?PC=?a+ 3b? 3c=0，令b=1，則a=0，c=1，即n=(0,1,1)，
則csm,n=m?nmn=2 3 7× 2= 427，
∴二面角A?PB?C的正弦值為 1? 4272= 77；
【小問3詳解】
由點M為靠近點P的PA的四等分點，故AM=34AP，
則BM=BA+AM=3,? 3,0+34?3,0, 3=34,? 3,3 34，
又平面PAD的法向量為OB=0, 3,0，
故直線BM與平面PAD所成的角的正弦值為：
csOB,BM=?3 3× 342+? 32+3 342=2 77，
即直線BM與平面PAD所成的角的余弦值為 1?2 772= 217．

19. 解：(1)連接AC,A1C1，因為ABCD?A1B1C1D1為棱臺，所以A,A1,C1,C四點共面，
又因為四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC，
因為AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD，
又因為AA1∩AC=A，且AA1,AC?平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，
因為CC1?平面ACC1A1，所以BD⊥CC1；

(2)取BC中點Q，連接AQ，
因為底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，所以?ABC是正三角形，
所以AQ⊥BC，即AQ⊥AD，
由于AA1⊥平面ABCD，以A為原點，
分別以AQ,AD,AA1為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為AB=2AA1=2A1B1=2，∠ABC=60°，
則A0,0,0,A10,0,1,B 3,?1,0,D10,1,1,Q 3,0,0,C1 32,12,1，
設(shè)AM=m，則M0,m,0，C1M=? 32,m?12,?1，
AA1=0,0,1，AB= 3,?1,0，
設(shè)平面ABB1A1的法向量為m=(x,y,z)，則有m?AA1=z=0m?AB= 3x?y=0,
令x=1，則y= 3，z=0，即m=1, 3,0，
由C1M//平面ABB1A1，則C1M⊥m，
即有C1M?m=? 32×1+m?12× 3+?1×0=0，
解得m=1，即AM=1；
【小問3詳解】
假設(shè)點E存在，設(shè)點E的坐標為 3,λ,0，其中?1≤λ≤1，
可得AE= 3,λ,0,AD1=0,1,1，
設(shè)平面AD1E的法向量n=(a,b,c)，則n?AE= 3a+λb=0n?AD1=b+c=0,
令a=λ，即b=? 3,c= 3，所以n=λ,? 3, 3，
又由平面ADD1的法向量為AQ= 3,0,0，
所以csAQ,n= 3λ 3 λ2+6=14，解得λ=± 105，
由于二面角E?AD1?D為銳角，則點E在線段QC上，
所以λ= 105，即CE=1? 105，
故棱BC上存在一點E，當CE=1? 105時，二面角E?AD1?D的余弦值為14．

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