1. （ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】，
故選：A
2. 已知集合.若，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
因為，
所以，解得，
所以的取值范圍為.
故選：D.
3. 直線的一個方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，所以該直線的一個方向向量為，
因為，所以向量與向量是共線向量，
其他選項的向量與向量不是共線向量，
故選：B
4. 圓與圓的位置關系是（ ）
A. 內切B. 相交C. 外切D. 相離
【答案】C
【解析】圓的圓心，半徑，
圓，即，圓心，半徑，
則，所以兩圓外切.
故選：C.
5. 在中，點是的中點，點在上，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意點是的中點，所以，
又，所以，
解得，
又因為點在上，
所以，解得或（舍去）.
故選：B.
6. 的展開式中的一項是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】的展開式通項為，對比選項依次代入得對應項，
的展開式中的項可以是.
故選：C.
7. 已知，若對任意實數(shù)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】因為是內的單調遞增函數(shù)，并且是奇函數(shù)，
所以,
所以“”是“”充分必要條件，
故選：C.
8. 設數(shù)列的前項和為，且，則滿足時，的最小值為（ ）
A. 49B. 50C. 99D. 100
【答案】D
【解析】因為，所以，
當時，，所以，
即，此時
，也滿足該式，
故，
若，解得，故所求為100.
故選：D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 甲，乙兩個體育社團小組成員的某次立定跳遠成績（單位：厘米）如下：
甲組：，，，，，，，，，，，
乙組：，，，，，，，，，
則下列說法正確的是（ ）
A. 甲組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是252
B. 乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是246
C. 從甲、乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在250厘米以上的概率為
D. 甲組中存在這樣的成員，將他調派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠平均成績都有提高
【答案】BCD
【解析】對于選項A，因為，所以甲組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是第8個數(shù)，即253，故A錯誤；
對于選項B，因為，所以乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第5個數(shù)與第6個數(shù)的平均數(shù)，即，故B正確；
對于選項C，甲組中跳遠成績在250厘米以上的有7人，乙組中跳遠成績在250厘米以上的有2人，
所以從甲、乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在250厘米以上的概率為
，故C正確；
對于選項D，甲組的平均成績?yōu)槔迕祝?br>乙組的平均成績?yōu)槔迕祝?br>所以將甲組中跳遠成績?yōu)?48厘米的成員調派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠平均成績都有提高，故D正確.
故選：BCD.
10. 圓柱軸截面是正方形，分別是上、下底面的圓心，是下底面圓周上兩個不同的點，是母線，若圓柱的側面積為，則（ ）
A. 圓柱的體積是
B. 圓柱內切球的表面積是
C.
D. 點到直線距離的最大值為
【答案】AC
【解析】設圓柱的底面半徑為，所以母線為，
因為圓柱的側面積為，所以.
因為圓柱的體積是，所以選項A正確；
因為圓柱的底面半徑為2，所以母線為4，所以圓柱內切球的半徑為，
所以圓柱內切球的表面積是，因此選項B不正確；
建立如圖所示的空間直角坐標系，
，設，，
，
，
所以選項C正確；
設，
直線的單位方向向量為，
所以點到直線距離為
，
由題意，所以當時，，選項D不正確，
故選：AC.
11. 將曲線經過旋轉可得到雙曲線，若直線與只有一個公共點，與交于兩點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】對于BC，由題意將曲線夾在中間的兩條漸近線方程為，
所以這兩條漸近線所形成的那個銳角的一半為，
曲線的兩條漸近線的中間那條直線為，
聯(lián)立以及，解得或，
由旋轉的性質可得，，，解得，故BC正確，
對于A，若直線與只有一個公共點，由對勾函數(shù)性質可得，故A錯誤；
對于D，要求，由雙曲線的對稱性可知，只需聯(lián)立與，
解得或，即，故D錯誤.
故選：BC.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 設隨機變量，若，則__________.
【答案】
【解析】由題意，，所以，解得.
故答案為：.
13. 2025年春晚，劉謙表演了一個現(xiàn)場互動魔術，道具只有三個：勺子、筷子和杯子.劉謙讓觀眾從左到右隨便擺放這三個道具，分為三個位置：左位、中位和右位.假若按照魔術規(guī)則只進行前兩步：第一步，筷子跟它左邊的東西互換位置，如果筷子已經在最左邊，那么就不需要移動；第二步，杯子跟它右邊的東西互換位置，如果杯子已經在最右邊，就不需要移動.完成這兩步后，在杯子出現(xiàn)在右位的條件下，筷子出現(xiàn)在中位的概率是__________.
【答案】
【解析】我們不妨把勺子、筷子和杯子的第一個字的拼音的第一個小寫英文字母來代替這三個東西，
例如代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位，
一開始狀態(tài)有六種情況，我們用表示一次調換，
那么根據(jù)題意有，第一種初始狀態(tài)下的變換過程為：，
第二種初始狀態(tài)下的變換過程為：，
第三種初始狀態(tài)下的變換過程為：，
第四種初始狀態(tài)下的變換過程為：，
第五種初始狀態(tài)下的變換過程為：，（本質上沒有調換），
第六種初始狀態(tài)下的變換過程為：，
從以上可以看出來，末狀態(tài)杯子在右邊對應的初始狀態(tài)有：第一、二、三、五、六種初始狀態(tài)共5種情況，
在杯子出現(xiàn)在右位的條件下，筷子出現(xiàn)在中位的末狀態(tài)只能是（對應的初始狀態(tài)是第二種初始狀態(tài)），
故所求概率為.
故答案為：.
14. 點在直線上，點在拋物線上，記兩點間的最小距離為，若，則__________.
【答案】
【解析】已知點在直線上，
則將點代入直線方程可得 ①.
點在拋物線上，則將點代入拋物線方程可得 ②.
因為、兩點縱坐標相同，所以.
由①可得，由②可得，則.
令，則，將其轉化為頂點式：
，
因為，所以當時，取得最小值，.
因為，所以，則.
，
可以發(fā)現(xiàn)上式中相鄰兩項的分子分母可以約分，約分后可得：
.
故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知分別為三個內角的對邊，且.
（1）求；
（2）若，求.
解：（1）由正弦定理邊化角可得，
即
所以，因為，
所以，又，解得；
（2）若，則，這里是三角形外接圓的半徑，
解得，
由余弦定理可得.
16. 已知函數(shù).
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上恰有兩個零點，求的取值范圍.
解：（1）由，得，
則，
所以曲線在點處的切線方程為，即；
（2）令，則，
令，
則，
令，則，令，則，
所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
，當時，，
當時，，
如圖，作出函數(shù)的大致圖象，
因為函數(shù)在上恰有兩個零點，
所以函數(shù)的圖象恰有兩個交點，
所以的取值范圍為.
17. 《教育強國建設規(guī)劃綱要（年）》中指出深入實施素質教育，健全德智體美勞全面培養(yǎng)體系，加快補齊體育、美育、勞動教育短板，某中學為了解學生每天參加綜合體育活動的情況，隨機調查了100名男生和100名女生，統(tǒng)計他們周一到周五在校期間的運動步數(shù)，數(shù)據(jù)如下表所示：
表中數(shù)據(jù)成等差數(shù)列；成公比為正整數(shù)的等比數(shù)列.
（1）若周一到周五在校期間的運動步數(shù)達到5萬步視為體育鍛煉達標，估計該中學男生體育鍛煉的達標率；
（2）為進一步了解女生每天參加綜合體育活動情況，在步數(shù)位于兩組內的女生中，采用等比例分層抽樣的方法抽取10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人進行訪談，記步數(shù)在內的人數(shù)為，求的分布列和期望.
解：（1）已知成等差數(shù)列，設公差為，則.
又因，即.
由等差數(shù)列性質，可得.
聯(lián)立方程組，解得，，.
男生運動步數(shù)達到5萬步（即、、這三組）的人數(shù)為人.
所以男生體育鍛煉的達標率為.
（2）因為成公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，設公比為（），
且，即.
所以，即.
因為，
當，舍去；當滿足題意；
當，舍去. 當，舍去.
當，舍去. 當，舍去.
當，舍去. 當，舍去. 當，舍去.
步數(shù)位于內的女生人數(shù)為人，步數(shù)位于內的女生人數(shù)為人.
采用等比例分層抽樣抽取10人，則從步數(shù)位于內抽取人，從步數(shù)位于內抽取人.
隨機變量表示步數(shù)在內的人數(shù)，的可能取值為，，.
；；；
所以的分布列為：
期望.
18. 在中，，如圖將沿翻折至.

（1）證明：平面平面；
（2）若二面角大小為.
（i）求與平面所成角的正弦值；
（ii）在線段上是否存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.
（1）證明：因為，所以，
因為平面，所以平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）解：（i）在四棱錐中，由（1）知即二面角的平面角，
故，因為，所以，
從而，
過點作，交于點，又因為，可得平面，與平面所成角即為.
在中，由余弦定理可得：，
由等面積法，，
所以與平面所成角的正弦值為；
（ii）如圖，建立空間直角坐標系，

則，
，
設，可得，
，
設平面的法向量為，平面的法向量為，
，即，
令，可得，
，即，
令，可得，
設平面與平面的夾角為，，
解得或，
所以存在點，當或時滿足題意.
19. 已知橢圓的離心率為是的左、右焦點，且，直線過點與交于兩點.
（1）求的方程；
（2）若，求的方程；
（3）若直線過點與交于兩點，且的斜率乘積為分別是線段的中點，求面積的最大值.
解：（1）因為，所以，
又因為該橢圓的離心率為，所以，
所以橢圓的方程為；
（2）當直線的斜率為零時，此時方程為，此時，
顯然此時，不符合題意，
故設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得
，
因為，
所以設，則有，
由
，
所以直線的方程為，或；
（3）由（2）可知：，所以
因此的坐標為，
設故設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得
，
因為，
所以設，則有，
，
所以的坐標為，
因為的斜率乘積為，
所以，因此的坐標為，
顯然邊與橫軸平行，
因此，
即
即時，取等號，即當時取等號，
所以面積的最大值.
運動步數(shù)（萬步）
合計
人數(shù)（男）
12
9
4
100
人數(shù)（女）
14
7
2
100

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