一、單選題
1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的頂點(diǎn)式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移以及頂點(diǎn)式，根據(jù)平移的規(guī)律“上加下減．左加右減”可得出平移后的拋物線為，再把化為頂點(diǎn)式即可．
【詳解】解：拋物線向下平移2個(gè)單位后，
則拋物線變?yōu)椋?br>∴化成頂點(diǎn)式則為 ，
故選：A．
2．（2024·廣東廣州·中考真題）函數(shù)與的圖象如圖所示，當(dāng)（ ）時(shí)，，均隨著的增大而減?。?br>A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵．由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減?。晃挥谠谝?、三象限內(nèi)，且均隨著的增大而減小，據(jù)此即可得到答案．
【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減?。?br>位于一、三象限內(nèi)，且在每一象限內(nèi)均隨著的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，均隨著的增大而減小，
故選：D．
3．（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，則的大小關(guān)系正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由拋物線可知：開口向上，對稱軸為直線，
該二次函數(shù)上所有的點(diǎn)滿足離對稱軸的距離越近，其對應(yīng)的函數(shù)值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴點(diǎn)離對稱軸最近，點(diǎn)離對稱軸最遠(yuǎn)，
∴；
故選：D．
4．（2024·四川達(dá)州·中考真題）拋物線與軸交于兩點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1，另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)拋物線與軸交于兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為，依題意，，根據(jù)題意拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，，即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)對稱軸即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解．判斷C選項(xiàng)，無條件判斷D選項(xiàng)，據(jù)此，即可求解．
【詳解】解：依題意，設(shè)拋物線與軸交于兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為
依題意，
∵，拋物線開口向下，
∴當(dāng)時(shí)，，即
∴，故A選項(xiàng)正確，符合題意；
若對稱軸為，即，
而，不能得出對稱軸為直線，
故B選項(xiàng)不正確，不符合題意；
∵拋物線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，即，又
∴，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
無法判斷的符號，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A．
5．（2024·四川瀘州·中考真題）已知二次函數(shù)（x是自變量）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)．利用二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)，開口向上，而且與軸的交點(diǎn)不在負(fù)半軸上，然后解不等式組即可．
【詳解】解：二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，
設(shè)拋物線與軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，由題意可得
解得．
故選：A．
6．（2024·陜西·中考真題）已知一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應(yīng)值如下表，
則下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．圖象的開口向上B．當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大
C．圖象經(jīng)過第二、三、四象限D(zhuǎn)．圖象的對稱軸是直線
【答案】D
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)．先利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：由題意得，解得，
∴二次函數(shù)的解析式為，
∵，
∴圖象的開口向下，故選項(xiàng)A不符合題意；
圖象的對稱軸是直線，故選項(xiàng)D符合題意；
當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大，當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而減小，故選項(xiàng)B不符合題意；
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為且經(jīng)過原點(diǎn)，圖象的開口向下，
∴圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選項(xiàng)C不符合題意；
故選：D．
7．（2024·湖北·中考真題）拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與軸的交點(diǎn)位于軸上方．以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，畫出草圖，逐一分析即可得出結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖像，如圖所示：
∵開口向上，與軸的交點(diǎn)位于軸上方，
∴，，
∵拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴，
∵拋物線的頂點(diǎn)為，
∴，
觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)C符合題意，
故選：C．
8．（2024·廣東·中考真題）若點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的對稱軸是y軸（直線），圖象的開口向上，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，再比較即可．
【詳解】解∶ 二次函數(shù)的對稱軸為y軸，開口向上，
∴當(dāng)時(shí)， y隨x的增大而增大，
∵點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，且，
∴，
故選∶A．
9．（2024·四川自貢·中考真題）一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意列不等式組，解不等式組即可得到結(jié)論，正確地識別圖形是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
，
解得：，
∴的取值范圍是，
故選：C．
10．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數(shù)，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在，之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有多少個(gè)（ ）
①；
②；
③；
④若方程兩根為，則．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題干可得，，，即可判斷①錯(cuò)誤；根據(jù)對稱軸和一個(gè)交點(diǎn)求得另一個(gè)交點(diǎn)為，即可判斷②錯(cuò)誤；將c和b用a表示，即可得到，即可判斷③正確；結(jié)合拋物線和直線與軸得交點(diǎn)，即可判斷④正確．
【詳解】解：由圖可知，
∵拋物線的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，
∴，，
則，
∵拋物線與軸的交點(diǎn)在，之間，
∴，
則，故①錯(cuò)誤；
設(shè)拋物線與軸另一個(gè)交點(diǎn)，
∵對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，
∴，解得，
則，故②錯(cuò)誤；
∵，，，
∴，解得，故③正確；
根據(jù)拋物線與軸交于點(diǎn)和，直線過點(diǎn)和，如圖，
方程兩根為滿足，故④正確；
故選：B．
11．（2024·江蘇連云港·中考真題）已知拋物線（a、b、c是常數(shù)，）的頂點(diǎn)為．小燁同學(xué)得出以下結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；③若的一個(gè)根為3，則；④拋物線是由拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的．其中一定正確的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【答案】B
【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)公式可得，結(jié)合，，由此可判斷①；由二次函數(shù)的增減性可判斷②；用a表示b、c的值，再解方程即可判斷③，由平移法則即可判斷④．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：，
，
，
即，
，
，
的值可正也可負(fù)，
不能確定的正負(fù)；故①錯(cuò)誤；
，
拋物線開口向下，且關(guān)于直線對稱，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；故②正確；
，
拋物線為，
，
，故③正確；
拋物線，
將向左平移1個(gè)單位得：，
拋物線是由拋物線向左平移1個(gè)單位得到的，故④錯(cuò)誤；
正確的有②③，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與一元二次方程，一元二次方程的解的定義，用a表示b、c的值是本題的關(guān)鍵．
12．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)（，，為常數(shù)，）的圖象與軸交于點(diǎn)，對稱軸是直線，有以下結(jié)論：①；②若點(diǎn)和點(diǎn)都在拋物線上，則；③（為任意實(shí)數(shù)）；④．其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系以及與軸交點(diǎn)問題逐項(xiàng)分析判斷即可.
【詳解】解：由圖可知，二次函數(shù)開口方向向下，與軸正半軸交于一點(diǎn)，
，.
，
.
.故①錯(cuò)誤；
對稱軸是直線，點(diǎn)和點(diǎn)都在拋物線上，
而，
.故②錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，
∴對于任意實(shí)數(shù)有：
，
∴，故③正確；
，
.
當(dāng)時(shí)，，
.
，即，
故④正確.
綜上所述，正確的有③④.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于通過圖像判斷對稱軸，開口方向以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).
13．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4
【答案】C
【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，利用開口方向和對稱軸的位置即可判斷①，利用對稱軸和特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可判斷②，利用二次函數(shù)的最值即可判斷③，求出，進(jìn)一步得到，又根據(jù)得到，即可判斷④.
【詳解】解：①函數(shù)圖象開口方向向上，
；
對稱軸在軸右側(cè)，
、異號，
，
∵拋物線與軸交點(diǎn)在軸負(fù)半軸，
，
，故①錯(cuò)誤；
②二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對稱軸為直線，
，
，
時(shí)，，
，
，
，故②正確；
③對稱軸為直線，，
最小值，
，
∴，
故③正確；
④，
∴根據(jù)拋物線與相應(yīng)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正確；
綜上所述，正確的有②③④，
故選：C
14．（2024·福建·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)，則下列判斷正確的是（ ）
A．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得B．無論實(shí)數(shù)取什么值，都有
C．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得D．無論實(shí)數(shù)取什么值，都有
【答案】C
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再分情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，， 的大小情況，即可解題．
【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，
二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
故A、B錯(cuò)誤，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
由二次函數(shù)對稱性可知，，
當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)對稱性可知，，不一定大于，
故C正確符合題意；D錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
15．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（ ）

A．二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線
B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2
C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小
D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，對稱性，增減性判斷選項(xiàng)A、B、C，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再求出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判定選項(xiàng)D．
【詳解】解∶ ∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
∵二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，對稱軸是直線，
∴二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
∵拋物線開口向下， 對稱軸是直線，
∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
設(shè)二次函數(shù)解析式為，
把代入，得，
解得，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，故選項(xiàng)D正確，
故選D．
16．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
由，可知圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，即關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，由當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，可得，計(jì)算求解，然后作答即可．
【詳解】解：∵，
∴圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
∴關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
∴，
解得，，
故選：C．
17．（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結(jié)論中：
① ②（m為任意實(shí)數(shù)） ③
④若、是拋物線上不同的兩個(gè)點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸可得，即可判斷①，時(shí)，函數(shù)值最大，即可判斷②，根據(jù)時(shí)，，即可判斷③，根據(jù)對稱性可得即可判段④，即可求解．
【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口向下
∴
∵對稱軸為直線，
∴
∴
∵拋物線與軸交于正半軸，則
∴，故①錯(cuò)誤，
∵拋物線開口向下，對稱軸為直線,
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為
∴（m為任意實(shí)數(shù)）
即，故②正確；
∵時(shí)，
即
∵
∴
即
∴，故③正確；
∵、是拋物線上不同的兩個(gè)點(diǎn)，
∴關(guān)于對稱，
∴即故④不正確
正確的有②③
故選：B
18．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點(diǎn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，，則下列結(jié)論：
①；
②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
③；
④；
⑤．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵；由當(dāng)時(shí)，，可判斷①，由函數(shù)的最小值，可判斷②，由拋物線的對稱軸為直線，且，可判斷③，由時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可判斷④，由根與系數(shù)的關(guān)系可判斷⑤；
【詳解】解：①拋物線開口向上，，，
∴當(dāng)時(shí)，，故①不符合題意；
②∵拋物線過點(diǎn)，
∴函數(shù)的最小值，
∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故②符合題意；
③∵，，
∴拋物線的對稱軸為直線，且，
∴，而，
∴，
∴，故③不符合題意；
④∵拋物線過點(diǎn)，
∴，
∵時(shí)，，
即，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴，故④符合題意；
⑤∵，，
∴，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，
∴
∴，
∴，故⑤符合題意；
故選：C．
19．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，，與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在～之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】A
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，
根據(jù)題意得到拋物線的解析式為，即可得到，，代入即可判斷①；根據(jù)判斷②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判斷③；然后把，代入解方程求出m的值判斷④．
【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為：，
∴，，
∴，故①正確；
∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在～之間，
∴，即，
∴，故②正確；
∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，故③錯(cuò)誤；
∵令相等，則
∴，解得（舍），，
∴，故④正確；
故選A．
20．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上．若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為（），下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．依據(jù)題意，連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明．可得，．點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，可得，．，，，設(shè)，則，，，，，．再由，進(jìn)而可以求解判斷即可．
【詳解】解：如圖，連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
四邊形是正方形，
、互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，
，．
，，，
設(shè)，則，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
點(diǎn)、在軸的同側(cè)，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，
．
．
故選：B．
21．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線的圖象交x軸于點(diǎn)、，交y軸于點(diǎn)C．以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有一動點(diǎn)P，若，則的最小值為．其中正確結(jié)論有（ ）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可判斷①；根據(jù)對稱軸計(jì)算公式求出，進(jìn)而推出，則，再根據(jù)拋物線開口向下，即可判斷②；對稱軸為直線，則，求出，，再分當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，兩種情況求出對應(yīng)的c的值即可判斷③；當(dāng)時(shí)，，則，取點(diǎn)，連接，則，可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，則，故當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，的值最小，即此時(shí)的值最小，最小值為線段的長，利用勾股定理求出即可判斷④．
【詳解】解：∵拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，，故①正確；
∵拋物線的圖象交x軸于點(diǎn)、，
∴拋物線對稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，故②正確；
∵對稱軸為直線，
∴；
∵、，
∴，
∴；
在中，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，則由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去）；
同理當(dāng)時(shí)，可得；
綜上所述，當(dāng)以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，或，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，則，
如圖所示，取點(diǎn)，連接，則，

∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，的值最小，即此時(shí)的值最小，最小值為線段的長，
在中，由勾股定理得，故④正確，
∴正確的有3個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的定義，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
22．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；
③當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；
④關(guān)于的一元二次方程的另一個(gè)根是；
⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷結(jié)論①②③正誤；由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系判斷結(jié)論④；利用結(jié)論④及題中條件可求得的取值范圍，再由結(jié)論②可得取值范圍，判斷⑤是否正確．
【詳解】解：由圖可得：，對稱軸，
，
，①錯(cuò)誤；
由圖得，圖象經(jīng)過點(diǎn)，將代入可得，
，②正確；
該函數(shù)圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，且，
對稱軸，
該圖象中，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，
③正確；
，，
關(guān)于的一元二次方程的根為，
，
，，
④正確；
，即，
解得，
即，
，
，
⑤正確．
綜上，②③④⑤正確，共個(gè)．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、拋物線與軸的交點(diǎn)問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
二、填空題
23．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象向左平移兩個(gè)單位得到拋物線，點(diǎn)，在拋物線上，則 （填“＞”或“＜”）；
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移以及二次函數(shù)的性質(zhì)，由平移的規(guī)律可得出拋物線的解析式為，再利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可得出答案．
【詳解】解：，
∵二次函數(shù)的圖象向左平移兩個(gè)單位得到拋物線，
∴拋物線的解析式為，
∴拋物線開口向上，對稱軸為，
∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案為：．
24．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線（是常數(shù)）與軸沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，掌握拋物線與x軸沒有交點(diǎn)與沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
由拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，運(yùn)用根的判別式列出關(guān)于c的一元一次不等式求解即可．
【詳解】解：∵拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，
∴沒有實(shí)數(shù)根，
∴，．
故答案為：．
25．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個(gè)單位長度后，經(jīng)過點(diǎn)，則 ．
【答案】2
【分析】此題考查了二次函數(shù)的平移，根據(jù)平移規(guī)律得到函數(shù)解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到，再整體代入變形后代數(shù)式即可．
【詳解】解：拋物線向下平移5個(gè)單位長度后得到，
把點(diǎn)代入得到，，
得到，
∴，
故答案為：2
26．（2024·四川成都·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，，，是二次函數(shù)圖象上三點(diǎn)．若，，則 （填“”或“”）；若對于，，，存在，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)以及解不等式組，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．先求得二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：由得拋物線的對稱軸為直線，開口向下，
∵，，
∴，
∴；
∵，，，，
∴，
∵存在，
∴，，且離對稱軸最遠(yuǎn)，離對稱軸最近，
∴，即，且，
∵，，
∴且，
解得，
故答案為：；．
27．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）對于一個(gè)二次函數(shù)（）中存在一點(diǎn)，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為 ．
【答案】4
【分析】本題考查新定義運(yùn)算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點(diǎn)式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點(diǎn)，使得，則，
，
中存在一點(diǎn)，有，解得，則，
拋物線“開口大小”為，
故答案為：．
28．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．下列四個(gè)結(jié)論：
①；
②若，則；
③若，則關(guān)于x的一元二次方程 無實(shí)數(shù)解；
④點(diǎn)，在拋物線上，若，，總有，則．
其中正確的是 （填寫序號）．
【答案】②③④
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得拋物線對稱軸，即可判斷①，根據(jù)，兩點(diǎn)之間的距離大于，即可判斷②，根據(jù)拋物線經(jīng)過得出，代入頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，求得縱坐標(biāo)的最大值即可判斷③，根據(jù)④可得拋物線的對稱軸，解不等式，即可求解．
【詳解】解：∵（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．
∴對稱軸為直線， ，
∵，
∴，故①錯(cuò)誤，
∵
∴，即，兩點(diǎn)之間的距離大于
又∵
∴時(shí)，
∴若，則，故②正確；
③由①可得，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為
設(shè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為
∵拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，
∴
∴
∴
∵，，對稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，而，
∴關(guān)于x的一元二次方程 無解，故③正確；
④∵，拋物線開口向下，點(diǎn)，在拋物線上， ，，總有，
又，
∴點(diǎn)離較遠(yuǎn)，
∴對稱軸
解得：，故④正確．
故答案為：②③④．
29．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)位于0和1之間，則以下結(jié)論：①；②；③若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則；④若關(guān)于的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則．其中正確結(jié)論是 （請?zhí)顚懶蛱枺?br>【答案】①②④
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．①利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向即可判斷；②利用拋物線的對稱軸求出，根據(jù)圖象可得當(dāng)時(shí)，，即可判斷；③利用拋物線的對稱軸，設(shè)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)與對稱軸的距離為，求出距離，根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點(diǎn)的函數(shù)值越大，即可判斷；④根據(jù)圖象即可判斷．
【詳解】解：①∵拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∴，即，
由圖可知，拋物線開口方向向下，即，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，故①正確，符合題意；
②∵直線是拋物線的對稱軸，
∴，
∴，
∴
由圖象可得：當(dāng)時(shí)，，
∴，即，故②正確，符合題意；
③∵直線是拋物線的對稱軸，
設(shè)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)與對稱軸的距離為，
則，，
∴，
根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點(diǎn)的函數(shù)值越大，
∴，故③錯(cuò)誤，不符合題意；
④如圖，
∵關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，
∴，故④正確，符合題意．
故答案為：①②④
30．（2024·山東煙臺·中考真題）已知二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如下表：
下列結(jié)論：；關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；若點(diǎn)，均在二次函數(shù)圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結(jié)論的序號為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)， 利用待定系數(shù)法求出的值即可判斷；利用根的判別式即可判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷；利用對稱性可判斷；畫出函數(shù)圖形可判斷；掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：把，，代入得，
，
解得，
∴，故正確；
∵，，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵，
∴關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故正確；
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
又∵，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，
∵與時(shí)函數(shù)值相等，等于，
∴當(dāng)時(shí)， 的取值范圍為，故錯(cuò)誤；
∵，
∴點(diǎn)，關(guān)于對稱軸對稱，
∴，故正確；
由得，
即，
畫函數(shù)和圖象如下：
由，解得，，
∴，，
由圖形可得，當(dāng)或時(shí)，，即，故錯(cuò)誤；
綜上，正確的結(jié)論為，
故答案為：．
三、解答題
31．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖像上，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)題意設(shè)，結(jié)合幾何圖形面積計(jì)算方法可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入后解一元二次方程即可求解．
【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：由（1）可知二次函數(shù)解析式為：，，，
∴，
設(shè)，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，無解，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，；
∴．
32．（2024·安徽·中考真題）已知拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大1．
(1)求b的值；
(2)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）3；（ⅱ）
【分析】題目主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及化為頂點(diǎn)式，解一元二次方程，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意求出的頂點(diǎn)為，確定拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，即可求解；
（2）根據(jù)題意得出， ，然后整理化簡；（?。⒋肭蠼饧纯?；（ⅱ）將代入整理為頂點(diǎn)式，即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：，
∴的頂點(diǎn)為，
∵拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大1，
∴拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，
∴，
∴；
（2）由（1）得
∵點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上．
∴， ，
整理得：
（?。?，
∴，
整理得：，
∵，，
∴，
∴；
（ⅱ）將代入，
整理得，
∵，
∴當(dāng)，即時(shí)，h取得最大值為．
33．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線.
(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)已知和是拋物線上的兩點(diǎn).若對于，，都有，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（）把代入，轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可求解；
（）分和兩種情況，畫出圖形結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
本題考查了求二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：把代入得，，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）解：分兩種情況：拋物線的對稱軸是直線；
當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)，
∴，
又∵，
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)，
解得，
又∵，
∴；
綜上，當(dāng)或，都有．
34．（2024·浙江·中考真題）已知二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)向上平移2個(gè)單位長度，向左平移m（）個(gè)單位長度后，恰好落在的圖象上，求m的值；
(3)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，
（1）采用待定系數(shù)法即可求解二次函數(shù)關(guān)系式；
（2）先求出平移后點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把坐標(biāo)代入解析式即可；
（3）分為，時(shí)，時(shí)，建立方程解題即可．
【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把代入得，
解得，
∴；
（2）解：點(diǎn)B平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，解得或（舍），
∴m的值為；
（3）解：當(dāng)時(shí)，
∴最大值與最小值的差為，解得：不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，
∴最大值與最小值的差為，符合題意；
當(dāng)時(shí)，
最大值與最小值的差為，解得或，不符合題意；
綜上所述，n的取值范圍為．
35．（2024·廣西·中考真題）課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問題展開探究．
【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．
（1）老師給出，求二次函數(shù)的最小值．
①請你寫出對應(yīng)的函數(shù)解析式；
②求當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最小值，并寫出此時(shí)的y值；
【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對應(yīng)的函數(shù)在x取何值時(shí)，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成下表：
注：*為②的計(jì)算結(jié)果．
【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”
甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y(tǒng)的最小值．”
乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）請結(jié)合函數(shù)解析式，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？
（3）你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由．
【答案】（1）①；②當(dāng)時(shí)，有最小值為（2）見解析（3）正確，
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：
（1）①把代入解析式，寫出函數(shù)解析式即可；②將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，進(jìn)行求解即可；
（2）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解釋即可；
（3）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，表示出的最大值，再利用二次函數(shù)求最值即可．
【詳解】解：（1）①把代入，得：
；
∴；
②∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值為；
（2）∵，
∵拋物線的開口向上，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值；
∴甲的說法合理；
（3）正確；
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值為，
即：，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，為．
36．（2024·云南·中考真題）已知拋物線的對稱軸是直線．設(shè)是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，記．
(1)求的值；
(2)比較與的大?。?br>【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ．
【分析】（1）由對稱軸為直線直接求解；
（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸是直線，
∴，
∴；
（2）解：∵是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴，
∴，
∴，
∴，
而
代入得：，
∴，
∴，
∵，
解得：，
當(dāng)時(shí)，
∴；
當(dāng)時(shí)，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸公式，與x軸交點(diǎn)問題，解一元二次方程，無理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是對進(jìn)行降次處理．
37．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其頂點(diǎn)為，是拋物線第四象限上一點(diǎn)．
(1)求線段的長；
(2)當(dāng)時(shí)，若的面積與的面積相等，求的值；
(3)延長交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點(diǎn)，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個(gè)定點(diǎn)．若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)拋物線與交于定點(diǎn)
【分析】（1）根據(jù)題意可得，整理得，即可知?jiǎng)t有；
（2）由題意得拋物線：，則設(shè)，可求得，結(jié)合題意可得直線解析式為，設(shè)直線與拋物線對稱軸交于點(diǎn)E，則，即可求得，進(jìn)一步解得點(diǎn)，過D作于點(diǎn)H，則，即可求得；
（3）設(shè)可求得直線解析式為，過點(diǎn)D作，可得，結(jié)合題意得設(shè)拋物線解析式為，由于過點(diǎn)，可求得拋物線解析式為，根據(jù)解得，即可判斷拋物線與交于定點(diǎn)．
【詳解】（1）解：∵拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴，整理得，解得
∴
則；
（2）當(dāng)時(shí)，拋物線：，
則
設(shè)，則，
設(shè)直線解析式為，
∵點(diǎn)D在直線上，
∴，解得，
則直線解析式為，
設(shè)直線與拋物線對稱軸交于點(diǎn)E，則，
∴，
∵的面積與的面積相等，
∴，解得，
∴點(diǎn)，
過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，則，
則；
（3）設(shè)直線解析式為，
則，解得，
那么直線解析式為，
過點(diǎn)D作，如圖，
則，
∵，
∴，
∵將沿方向平移得到，
∴
由題意知拋物線平移得到拋物線，設(shè)拋物線解析式為，
∵點(diǎn)，都落在拋物線上
∴，
解得，
則拋物線解析式為
∵
整理得，解得，
∴拋物線與交于定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離、一次函數(shù)的性質(zhì)、求正切值、二次函數(shù)的平移、等腰三角形的性質(zhì)和拋物線過定點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和平移過程中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
38．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當(dāng)時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；
(3)設(shè)的圖像與軸交點(diǎn)為，．若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；
(3)
【分析】（1）把點(diǎn)代入可得，再利用拋物線的對稱軸公式可得答案；
（2）把點(diǎn)代入，可得：，可得拋物線為，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長度，得到新的二次函數(shù)為：，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（3）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，結(jié)合，，再建立不等式組求解即可.
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，
∴，
解得：，
∴拋物線為：，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴；
（2）解：∵點(diǎn)在的圖像上，
∴，
解得：，
∴拋物線為，
將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長度，得到新的二次函數(shù)為：
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為
∴新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；
（3）∵的圖像與軸交點(diǎn)為，．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴即，
解得：.
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的利用各知識點(diǎn)建立方程或不等式組解題是關(guān)鍵.
39．（2024·四川樂山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點(diǎn)A．
(1)若，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若線段（含端點(diǎn)）上的“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，求a的取值范圍；
(3)若拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征．?dāng)?shù)形結(jié)合解題是解題的關(guān)鍵．
（1）把代入后再將拋物線化成頂點(diǎn)式為，即可求頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)整點(diǎn)個(gè)數(shù)的范圍確定點(diǎn)A縱坐標(biāo)的范圍；
（3）結(jié)合圖象確定有4個(gè)“完美點(diǎn)”時(shí)a的最大和最小值，進(jìn)而確定a的范圍．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，拋物線．
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）令，則，
∴，
∵線段上的“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，
∴“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4個(gè)或5個(gè)．
∵，
∴當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為4個(gè)時(shí)，分別為，，，；
當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為5個(gè)時(shí)，分別為，，，，．
∴．
∴a的取值范圍是．
（3）根據(jù)，
得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)，，．
∵拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，
顯然，“完美點(diǎn)”，，符合題意．
下面討論拋物線經(jīng)過，的兩種情況：
①當(dāng)拋物線經(jīng)過時(shí)，解得此時(shí)，，，．
如圖所示，滿足題意的“完美點(diǎn)”有，，，，共4個(gè)．
②當(dāng)拋物線經(jīng)過時(shí)，解得此時(shí)，，，．
如圖所示，滿足題意的“完美點(diǎn)”有，，，，，，共6個(gè)．
∴a的取值范圍是．
x
…
0
3
5
…
y
…
0
…
a
…
0
2
4
…
x
…
*
2
0
…
y的最小值
…
*
…

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