一、解答題
1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是某公園的一種水上娛樂(lè)項(xiàng)目．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對(duì)該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點(diǎn)A處沿水滑道下滑至點(diǎn)B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過(guò)騰空點(diǎn)B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過(guò)的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測(cè)量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解決．
(1)如圖1，點(diǎn)B與地面的距離為2米，水滑道最低點(diǎn)C與地面的距離為米，點(diǎn)C到點(diǎn)B的水平距離為3米，則水滑道所在拋物線的解析式為_(kāi)_____；
(2)如圖1，騰空點(diǎn)B與對(duì)面水池邊緣的水平距離米，人騰空后的落點(diǎn)D與水池邊緣的安全距離不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)．
①請(qǐng)直接寫(xiě)出此人騰空后的最大高度和拋物線的解析式；
②此人騰空飛出后的落點(diǎn)D是否在安全范圍內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計(jì)）；
(3)為消除安全隱患，公園計(jì)劃對(duì)水滑道進(jìn)行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點(diǎn)M處豎直支撐的鋼架，另一條是點(diǎn)M與點(diǎn)B之間連接支撐的鋼架．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與平行，且與水滑道有唯一公共點(diǎn)，一端固定在鋼架上，另一端固定在地面上．請(qǐng)你計(jì)算出這條鋼架的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）．
2．（2024·廣東深圳·中考真題）為了測(cè)量拋物線的開(kāi)口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測(cè)量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)的讀數(shù)為x，讀數(shù)為y，拋物線的頂點(diǎn)為C．
(1)（Ⅰ）列表：
（Ⅱ）描點(diǎn)：請(qǐng)將表格中的描在圖2中；
（Ⅲ）連線：請(qǐng)用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與x的關(guān)系式；
(2)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為C，該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎直直尺測(cè)量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開(kāi)口大小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請(qǐng)選擇其中一種方案，并完善過(guò)程：
方案一：將二次函數(shù)平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，此時(shí)拋物線解析式為．
①此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______；
②將點(diǎn)坐標(biāo)代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）
方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為
①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______；
②將點(diǎn)B坐標(biāo)代入中解得________；（用含m，n的式子表示）
(3)【應(yīng)用】如圖4，已知平面直角坐標(biāo)系中有A，B兩點(diǎn)，，且軸，二次函數(shù)和都經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且和的頂點(diǎn)P，Q距線段的距離之和為10，求a的值．
3．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在直線上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，連接交于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)作拋物線F關(guān)于直線上一點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)圖象，拋物線F與只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸右側(cè)），G為直線上一點(diǎn)，H為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo)．
4．（2024·天津·中考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)為，且，對(duì)稱(chēng)軸與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)當(dāng)時(shí)，求該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)時(shí)，求的值；
(3)若是拋物線上的點(diǎn)，且點(diǎn)在第四象限，，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，，當(dāng)取得最小值為時(shí)，求的值．
5．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為，連接．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖1，若是軸正半軸上一點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求證：；
(3)如圖2，連接，將沿軸折疊，折疊后點(diǎn)落在第四象限的點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)的直線與線段相交于點(diǎn)，與軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，與是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．
6．（2024·吉林·中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為時(shí)，輸出y的值為1；輸入x的值為2時(shí)，輸出y的值為3；輸入x的值為3時(shí)，輸出y的值為6．
(1)直接寫(xiě)出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖（2）．
Ⅰ．當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求x的取值范圍．
Ⅱ．若關(guān)于x的方程（t為實(shí)數(shù)），在時(shí)無(wú)解，求t的取值范圍．
Ⅲ．若在函數(shù)圖像上有點(diǎn)P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標(biāo)為m，Q的橫坐標(biāo)為．小明對(duì)P，Q之間（含P，Q兩點(diǎn)）的圖像進(jìn)行研究，當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫(xiě)出m的取值范圍．
7．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
8．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是，求t的值；
(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．
9．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線，分別交拋物線于點(diǎn)，，設(shè)面積為，面積為，求的值；
(3)如圖，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（不與對(duì)稱(chēng)軸重合）與拋物線交于點(diǎn)，，過(guò)拋物線頂點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)．求的最小值．
10．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其頂點(diǎn)為，是拋物線第四象限上一點(diǎn)．
(1)求線段的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)時(shí)，若的面積與的面積相等，求的值；
(3)延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點(diǎn)，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個(gè)定點(diǎn)．若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
11．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，求的函數(shù)值的取值范圍；
(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
12．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線．
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當(dāng)時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；
(3)設(shè)的圖像與軸交點(diǎn)為，．若，求的取值范圍．
13．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過(guò)和．
(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式；
(2)直線（）與新拋物線交于點(diǎn)P，與原拋物線交于點(diǎn)Q．
①如果小于3，求m的取值范圍；
②記點(diǎn)P在原拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如果四邊形有一組對(duì)邊平行，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
14．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為拋物線上的兩點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
15．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，與軸相交于另一點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)使的面積等于面積的一半？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
16．（2024·江蘇連云港·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（a、b為常數(shù)，）．

(1)若拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)、分別作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M、N，連接．求證：平分；
(3)當(dāng)，時(shí)，過(guò)直線上一點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)．若的最大值為4，求的值．
17．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖①，二次函數(shù)的圖象與開(kāi)口向下的二次函數(shù)圖象均過(guò)點(diǎn)，．
(1)求圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若圖象過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)P位于第一象限，且在圖象上，直線l過(guò)點(diǎn)P且與x軸平行，與圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為Q（Q在P左側(cè)），直線l與圖象的交點(diǎn)為M，N（N在M左側(cè)）．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖②，D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)A作．交圖象于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)時(shí)，求圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
18．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
①為何值時(shí)線段的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；
②是否存在點(diǎn)，使得與相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
19．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）已知拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．
(1)若拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．試判斷下列每組數(shù)據(jù)的大?。ㄌ顚?xiě)、或）：
①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范圍；
(3)當(dāng)時(shí)，最大值與最小值的差為，求b的值．
20．（2024·河北·中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為Q．拋物線（其中t為常數(shù)，且），頂點(diǎn)為P．
(1)直接寫(xiě)出a的值和點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
(2)嘉嘉說(shuō)：無(wú)論t為何值，將的頂點(diǎn)Q向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后一定落在上．
淇淇說(shuō)：無(wú)論t為何值，總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．
請(qǐng)選擇其中一人的說(shuō)法進(jìn)行說(shuō)理．
(3)當(dāng)時(shí)，
①求直線PQ的解析式；
②作直線，當(dāng)l與的交點(diǎn)到x軸的距離恰為6時(shí)，求l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(4)設(shè)與的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，且．點(diǎn)M在上，橫坐標(biāo)為．點(diǎn)N在上，橫坐標(biāo)為．若點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．
21．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D．
(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使得的周長(zhǎng)最小．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若點(diǎn)E在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的上，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．求的取值范圍．
22．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線的上方，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，連接．若，求證的值為定值；
(3)如圖2，點(diǎn)P在第二象限，，若點(diǎn)M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，求線段長(zhǎng)度的最大值．
23．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱(chēng)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點(diǎn)A．
(1)若，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若線段（含端點(diǎn)）上的“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，求a的取值范圍；
(3)若拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，求a的取值范圍．
24．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)，且的面積為3時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在直線上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
25．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，．
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．
(2)過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，連接，在拋物線上是否存在點(diǎn)使．若存在，請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答）
(3)將該拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為原拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
26．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)A，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)F．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)D是x軸上的任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱(chēng)軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為_(kāi)_____．
27．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是直線下方對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，在取得最大值的條件下，點(diǎn)為點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
28．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），連接．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是射線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)．點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，軸，垂足為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接．當(dāng)線段長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，求的最小值；
(3)將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過(guò)（2）中線段長(zhǎng)度取得最大值時(shí)的點(diǎn)，且與直線相交于另一點(diǎn)．點(diǎn)為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
29．（2024·廣東廣州·中考真題）已知拋物線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，記的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，且．
(1)求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；
(2)求的值；
(3)直線繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)秒后得到直線，當(dāng)時(shí)，直線交拋物線于，兩點(diǎn)．
①求的值；
②設(shè)的面積為，若對(duì)于任意的，均有成立，求的最大值及此時(shí)拋物線的解析式．
30．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．
(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄渴欠裼凶畲笾?？若有最大值，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有最大值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)點(diǎn)為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
31．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，對(duì)稱(chēng)軸為直線，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線．
(1)分別求拋物線和的表達(dá)式；
(2)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作軸與直線交于點(diǎn)，連接，．求的最小值；
(3)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，試探究是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
32．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H，交拋物線于點(diǎn)E．求線段的長(zhǎng)．
(3)點(diǎn)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)（O點(diǎn)除外），在右側(cè)作平行四邊形．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②如圖3，連接，，求的最小值．
33．（2024·湖北·中考真題）如圖1，二次函數(shù)交軸于和，交軸于．
(1)求的值．
(2)為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(3)如圖2，將二次函數(shù)沿水平方向平移，新的圖象記為與軸交于點(diǎn)，記，記頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為．
①求與的函數(shù)解析式．
②記與軸圍成的圖象為與重合部分（不計(jì)邊界）記為，若隨增加而增加，且內(nèi)恰有2個(gè)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
34．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線交軸于，兩點(diǎn)（在的右邊），交軸于點(diǎn)．
(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；
(2)如圖（1），連接，，過(guò)第三象限的拋物線上的點(diǎn)作直線，交y軸于點(diǎn)．若平分線段，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖（2），點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)原點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸下方），線段交拋物線于另一點(diǎn)，連接．若，求直線的解析式．
35．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)、是該拋物線上不重合的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，連結(jié)、．
(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求證：當(dāng)取不為零的任意實(shí)數(shù)時(shí)，的值始終為2；
(3)作的垂直平分線交直線于點(diǎn)，以為邊、為對(duì)角線作菱形，連結(jié)．
①當(dāng)與此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸重合時(shí)，求菱形的面積；
②當(dāng)此拋物線在菱形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨的增大而增大時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
①
②
③
④
⑤
⑥
x
0
2
3
4
5
6
y
0
1
2.25
4
6.25
9

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