備考2025年中考數(shù)學真題分類匯編（全國通用）專題14二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（39題）（附參考答案）

這是一份備考2025年中考數(shù)學真題分類匯編（全國通用）專題14二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（39題）（附參考答案），共51頁。試卷主要包含了單選題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題
（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）
1．將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（ ）
A．B．C．D．
（2024·廣東廣州·中考真題）
2．函數(shù)與的圖象如圖所示，當（ ）時，，均隨著的增大而減?。?br>A．B．C．D．
（2024·四川涼山·中考真題）
3．拋物線經(jīng)過三點，則的大小關系正確的是（ ）
A．B．C．D．
（2024·四川達州·中考真題）
4．拋物線與軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于1，另一個交點的橫坐標小于1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
（2024·四川瀘州·中考真題）
5．已知二次函數(shù)（x是自變量）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
（2024·陜西·中考真題）
6．已知一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應值如下表，
則下列關于這個二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．圖象的開口向上B．當時，y的值隨x的值增大而增大
C．圖象經(jīng)過第二、三、四象限D(zhuǎn)．圖象的對稱軸是直線
（2024·湖北·中考真題）
7．拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點位于軸上方．以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
（2024·廣東·中考真題）
8．若點都在二次函數(shù)的圖象上，則（ ）
A．B．C．D．
（2024·四川自貢·中考真題）
9．一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)在同一直角坐標系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
（2024·四川遂寧·中考真題）
10．如圖，已知拋物線（a、b、c為常數(shù)，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結(jié)論正確的有多少個（ ）
①；
②；
③；
④若方程兩根為，則．
A．1B．2C．3D．4
（2024·江蘇連云港·中考真題）
11．已知拋物線（a、b、c是常數(shù)，）的頂點為．小燁同學得出以下結(jié)論：①；②當時，隨的增大而減??；③若的一個根為3，則；④拋物線是由拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的．其中一定正確的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
（2024·四川廣安·中考真題）
12．如圖，二次函數(shù)（，，為常數(shù)，）的圖象與軸交于點，對稱軸是直線，有以下結(jié)論：①；②若點和點都在拋物線上，則；③（為任意實數(shù)）；④．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
（2024·四川眉山·中考真題）
13．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線，下列四個結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4
（2024·福建·中考真題）
14．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，則下列判斷正確的是（ ）
A．可以找到一個實數(shù)，使得B．無論實數(shù)取什么值，都有
C．可以找到一個實數(shù)，使得D．無論實數(shù)取什么值，都有
（2024·貴州·中考真題）
15．如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，頂點坐標為，則下列說法正確的是（ ）

A．二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線
B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2
C．當時，y隨x的增大而減小
D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標是3
（2024·四川樂山·中考真題）
16．已知二次函數(shù)，當時，函數(shù)取得最大值；當時，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
（2024·黑龍江綏化·中考真題）
17．二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結(jié)論中：
① ②（m為任意實數(shù)） ③
④若、是拋物線上不同的兩個點，則．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
（2024·四川廣元·中考真題）
18．如圖，已知拋物線過點與x軸交點的橫坐標分別為，，且，，則下列結(jié)論：
①；
②方程有兩個不相等的實數(shù)根；
③；
④；
⑤．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）
19．在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，，與y軸交點C的縱坐標在～之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個交點，則．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）
20．如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
（2024·四川宜賓·中考真題）
21．如圖，拋物線的圖象交x軸于點、，交y軸于點C．以下結(jié)論：①；②；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，；④當時，在內(nèi)有一動點P，若，則的最小值為．其中正確結(jié)論有（ ）

A．1個B．2個C．3個D．4個
（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）
22．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；
③當x>1時，隨的增大而減??；
④關于的一元二次方程的另一個根是；
⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
（2024·四川內(nèi)江·中考真題）
23．已知二次函數(shù)的圖象向左平移兩個單位得到拋物線，點，在拋物線上，則 （填“＞”或“＜”）；
（2024·吉林長春·中考真題）
24．若拋物線（是常數(shù)）與軸沒有交點，則的取值范圍是 ．
（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）
25．將拋物線向下平移5個單位長度后，經(jīng)過點，則 ．
（2024·四川成都·中考真題）
26．在平面直角坐標系中，，，是二次函數(shù)圖象上三點．若，，則 （填“”或“”）；若對于，，，存在，則的取值范圍是 ．
（2024·上?！ぶ锌颊骖}）
27．對于一個二次函數(shù)（）中存在一點，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為 ．
（2024·湖北武漢·中考真題）
28．拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且．下列四個結(jié)論：
①；
②若，則；
③若，則關于x的一元二次方程 無實數(shù)解；
④點，在拋物線上，若，，總有，則．
其中正確的是 （填寫序號）．
（2024·四川德陽·中考真題）
29．如圖，拋物線的頂點的坐標為，與軸的一個交點位于0和1之間，則以下結(jié)論：①；②；③若拋物線經(jīng)過點，則；④若關于的一元二次方程無實數(shù)根，則．其中正確結(jié)論是 （請?zhí)顚懶蛱枺?br>（2024·山東煙臺·中考真題）
30．已知二次函數(shù)的與的部分對應值如下表：
下列結(jié)論：；關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，的取值范圍為；若點，均在二次函數(shù)圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結(jié)論的序號為 ．
三、解答題
（2024·江蘇揚州·中考真題）
31．如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點．
(1)求的值；
(2)若點在該二次函數(shù)的圖像上，且的面積為，求點的坐標．
（2024·安徽·中考真題）
32．已知拋物線（b為常數(shù)）的頂點橫坐標比拋物線的頂點橫坐標大1．
(1)求b的值；
(2)點在拋物線上，點在拋物線上．
（?。┤?，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
（2024·北京·中考真題）
33．在平面直角坐標系中，已知拋物線.
(1)當時，求拋物線的頂點坐標；
(2)已知和是拋物線上的兩點.若對于，，都有，求的取值范圍.
（2024·浙江·中考真題）
34．已知二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線．
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)若點向上平移2個單位長度，向左平移m（）個單位長度后，恰好落在的圖象上，求m的值；
(3)當時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．
（2024·廣西·中考真題）
35．課堂上，數(shù)學老師組織同學們圍繞關于x的二次函數(shù)的最值問題展開探究．
【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．
（1）老師給出，求二次函數(shù)的最小值．
①請你寫出對應的函數(shù)解析式；
②求當x取何值時，函數(shù)y有最小值，并寫出此時的y值；
【舉一反三】老師給出更多a的值，同學們即求出對應的函數(shù)在x取何值時，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成下表：
注：*為②的計算結(jié)果．
【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請同學們結(jié)合學過的函數(shù)知識，觀察表格，談談你的發(fā)現(xiàn)．”
甲同學：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y(tǒng)的最小值．”
乙同學：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當a由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）請結(jié)合函數(shù)解析式，解釋甲同學的說法是否合理？
（3）你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由．
（2024·云南·中考真題）
36．已知拋物線的對稱軸是直線．設是拋物線與軸交點的橫坐標，記．
(1)求的值；
(2)比較與的大小．
（2024·四川成都·中考真題）
37．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線：與軸交于A，B兩點（點在點的左側(cè)），其頂點為，是拋物線第四象限上一點．
(1)求線段的長；
(2)當時，若的面積與的面積相等，求的值；
(3)延長交軸于點，當時，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個定點．若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．
（2024·山東·中考真題）
38．在平面直角坐標系中，點在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．
(1)求的值；
(2)若點在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當時，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；
(3)設的圖像與軸交點為，．若，求的取值范圍．
（2024·四川樂山·中考真題）
39．在平面直角坐標系中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點為“完美點”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點A．
(1)若，求拋物線的頂點坐標；
(2)若線段（含端點）上的“完美點”個數(shù)大于3個且小于6個，求a的取值范圍；
(3)若拋物線與直線交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個“完美點”，求a的取值范圍．
x
…
0
3
5
…
y
…
0
…
a
…
0
2
4
…
x
…
*
2
0
…
y的最小值
…
*
…
參考答案：
1．A
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移以及頂點式，根據(jù)平移的規(guī)律“上加下減．左加右減”可得出平移后的拋物線為，再把化為頂點式即可．
【詳解】解：拋物線向下平移2個單位后，
則拋物線變?yōu)椋?br>∴化成頂點式則為 ，
故選：A．
2．D
【分析】本題考查了二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關鍵．由函數(shù)圖象可知，當時，隨著的增大而減??；位于在一、三象限內(nèi)，且均隨著的增大而減小，據(jù)此即可得到答案．
【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當時，隨著的增大而減??；
位于一、三象限內(nèi)，且在每一象限內(nèi)均隨著的增大而減小，
當時，，均隨著的增大而減小，
故選：D．
3．D
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可進行求解．
【詳解】解：由拋物線可知：開口向上，對稱軸為直線，
該二次函數(shù)上所有的點滿足離對稱軸的距離越近，其對應的函數(shù)值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴點離對稱軸最近，點離對稱軸最遠，
∴；
故選：D．
4．A
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，設拋物線與軸交于兩點，橫坐標分別為，依題意，，根據(jù)題意拋物線開口向下，當時，，即可判斷A選項，根據(jù)對稱軸即可判斷B選項，根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解．判斷C選項，無條件判斷D選項，據(jù)此，即可求解．
【詳解】解：依題意，設拋物線與軸交于兩點，橫坐標分別為
依題意，
∵，拋物線開口向下，
∴當時，，即
∴，故A選項正確，符合題意；
若對稱軸為，即，
而，不能得出對稱軸為直線，
故B選項不正確，不符合題意；
∵拋物線與坐標軸有2個交點，
∴方程有兩個不等實數(shù)解，即，又
∴，故C選項錯誤，不符合題意；
無法判斷的符號，故D選項錯誤，不符合題意；
故選：A．
5．A
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)．利用二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與軸有2個交點，開口向上，而且與軸的交點不在負半軸上，然后解不等式組即可．
【詳解】解：二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，
設拋物線與軸兩個交點的橫坐標分別為，由題意可得
解得．
故選：A．
6．D
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)．先利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：由題意得，解得，
∴二次函數(shù)的解析式為，
∵，
∴圖象的開口向下，故選項A不符合題意；
圖象的對稱軸是直線，故選項D符合題意；
當時，y的值隨x的值增大而增大，當x>1時，y的值隨x的值增大而減小，故選項B不符合題意；
∵頂點坐標為且經(jīng)過原點，圖象的開口向下，
∴圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選項C不符合題意；
故選：D．
7．C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系．根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，畫出草圖，逐一分析即可得出結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖像，如圖所示：
∵開口向上，與軸的交點位于軸上方，
∴，，
∵拋物線與軸有兩個交點，
∴，
∵拋物線的頂點為，
∴，
觀察四個選項，選項C符合題意，
故選：C．
8．A
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點，根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的對稱軸是y軸（直線），圖象的開口向上，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，再比較即可．
【詳解】解∶ 二次函數(shù)的對稱軸為y軸，開口向上，
∴當時， y隨x的增大而增大，
∵點都在二次函數(shù)的圖象上，且，
∴，
故選∶A．
9．C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，根據(jù)題意列不等式組，解不等式組即可得到結(jié)論，正確地識別圖形是解題的關鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
，
解得：，
∴的取值范圍是，
故選：C．
10．B
【分析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題干可得，，，即可判斷①錯誤；根據(jù)對稱軸和一個交點求得另一個交點為，即可判斷②錯誤；將c和b用a表示，即可得到，即可判斷③正確；結(jié)合拋物線和直線與軸得交點，即可判斷④正確．
【詳解】解：由圖可知，
∵拋物線的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，
∴，，
則，
∵拋物線與軸的交點在，之間，
∴，
則，故①錯誤；
設拋物線與軸另一個交點，
∵對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，
∴，解得，
則，故②錯誤；
∵，，，
∴，解得，故③正確；
根據(jù)拋物線與軸交于點和，直線過點和0,1，如圖，
方程兩根為滿足，故④正確；
故選：B．
11．B
【分析】根據(jù)拋物線的頂點公式可得，結(jié)合，，由此可判斷①；由二次函數(shù)的增減性可判斷②；用a表示b、c的值，再解方程即可判斷③，由平移法則即可判斷④．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：，
，
，
即，
，
，
的值可正也可負，
不能確定的正負；故①錯誤；
，
拋物線開口向下，且關于直線對稱，
當時，隨的增大而減小；故②正確；
，
拋物線為，
，
，故③正確；
拋物線，
將向左平移1個單位得：，
拋物線是由拋物線向左平移1個單位得到的，故④錯誤；
正確的有②③，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)與一元二次方程，一元二次方程的解的定義，用a表示b、c的值是本題的關鍵．
12．B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系以及與軸交點問題逐項分析判斷即可.
【詳解】解：由圖可知，二次函數(shù)開口方向向下，與軸正半軸交于一點，
，.
，
.
.故①錯誤；
對稱軸是直線，點和點都在拋物線上，
而，
.故②錯誤；
當時，，
當時，函數(shù)取最大值，
∴對于任意實數(shù)有：
，
∴，故③正確；
，
.
當時，，
.
，即，
故④正確.
綜上所述，正確的有③④.
故選：B.
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的關系，解題的關鍵在于通過圖像判斷對稱軸，開口方向以及與坐標軸的交點.
13．C
【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵，利用開口方向和對稱軸的位置即可判斷①，利用對稱軸和特殊點的函數(shù)值即可判斷②，利用二次函數(shù)的最值即可判斷③，求出，進一步得到，又根據(jù)得到，即可判斷④.
【詳解】解：①函數(shù)圖象開口方向向上，
；
對稱軸在軸右側(cè)，
、異號，
，
∵拋物線與軸交點在軸負半軸，
，
，故①錯誤；
②二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線，
，
，
時，，
，
，
，故②正確；
③對稱軸為直線，，
最小值，
，
∴，
故③正確；
④，
∴根據(jù)拋物線與相應方程的根與系數(shù)的關系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正確；
綜上所述，正確的有②③④，
故選：C
14．C
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，再分情況討論，當時，當時，， 的大小情況，即可解題．
【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，
二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，
當時，，
當時，，
，
當時，，
，
故A、B錯誤，不符合題意；
當時，，
由二次函數(shù)對稱性可知，，
當時，，由二次函數(shù)對稱性可知，，不一定大于，
故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；
故選：C．
15．D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，對稱性，增減性判斷選項A、B、C，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再求出與y軸的交點坐標即可判定選項D．
【詳解】解∶ ∵二次函數(shù)的頂點坐標為，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線，故選項A錯誤；
∵二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，對稱軸是直線，
∴二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是1，故選項B錯誤；
∵拋物線開口向下， 對稱軸是直線，
∴當時，y隨x的增大而增大，故選項C錯誤；
設二次函數(shù)解析式為，
把代入，得，
解得，
∴，
當時，，
∴二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標是3，故選項D正確，
故選D．
16．C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵．
由，可知圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，當時，，即關于對稱軸對稱的點坐標為，由當時，函數(shù)取得最大值；當時，函數(shù)取得最小值，可得，計算求解，然后作答即可．
【詳解】解：∵，
∴圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，
當時，，
∴關于對稱軸對稱的點坐標為，
∵當時，函數(shù)取得最大值；當時，函數(shù)取得最小值，
∴，
解得，，
故選：C．
17．B
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸可得，即可判斷①，時，函數(shù)值最大，即可判斷②，根據(jù)時，，即可判斷③，根據(jù)對稱性可得即可判段④，即可求解．
【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口向下
∴
∵對稱軸為直線，
∴
∴
∵拋物線與軸交于正半軸，則
∴，故①錯誤，
∵拋物線開口向下，對稱軸為直線,
∴當時，取得最大值，最大值為
∴（m為任意實數(shù)）
即，故②正確；
∵時，
即
∵
∴
即
∴，故③正確；
∵、是拋物線上不同的兩個點，
∴關于對稱，
∴即故④不正確
正確的有②③
故選：B
18．C
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關鍵；由當時，，可判斷①，由函數(shù)的最小值，可判斷②，由拋物線的對稱軸為直線，且，可判斷③，由時，，當時，，可判斷④，由根與系數(shù)的關系可判斷⑤；
【詳解】解：①拋物線開口向上，，，
∴當時，，故①不符合題意；
②∵拋物線過點，
∴函數(shù)的最小值，
∴有兩個不相等的實數(shù)根；
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；故②符合題意；
③∵，，
∴拋物線的對稱軸為直線，且，
∴，而，
∴，
∴，故③不符合題意；
④∵拋物線過點，
∴，
∵x=-1時，，
即，
當時，，
∴，
∴，
∴，故④符合題意；
⑤∵，，
∴，
由根與系數(shù)的關系可得：，，
∴
∴，
∴，故⑤符合題意；
故選：C．
19．A
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和一元二次方程的關系，掌握二次函數(shù)和一元二次方程的關系是解題的關鍵，
根據(jù)題意得到拋物線的解析式為，即可得到，，代入即可判斷①；根據(jù)判斷②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判斷③；然后把，代入解方程求出m的值判斷④．
【詳解】解：設拋物線的解析式為：，
∴，，
∴，故①正確；
∵點C的縱坐標在～之間，
∴，即，
∴，故②正確；
∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，故③錯誤；
∵令相等，則
∴，解得（舍），，
∴，故④正確；
故選A．
20．B
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．依據(jù)題意，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，先證明．可得，．點、的橫坐標分別為、，可得，．，，，設，則，，，，，．再由，進而可以求解判斷即可．
【詳解】解：如圖，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，
四邊形是正方形，
、互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
點、的橫坐標分別為、，
，．
，，，
設，則，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
點、在軸的同側(cè)，且點在點的右側(cè)，
．
．
故選：B．
21．C
【分析】根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點，可得當時，，據(jù)此可判斷①；根據(jù)對稱軸計算公式求出，進而推出，則，再根據(jù)拋物線開口向下，即可判斷②；對稱軸為直線，則，求出，，再分當時， 當時，兩種情況求出對應的c的值即可判斷③；當時，，則，取點，連接，則，可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，則，故當點P在線段上時，的值最小，即此時的值最小，最小值為線段的長，利用勾股定理求出即可判斷④．
【詳解】解：∵拋物線的圖象經(jīng)過點，
∴當時，，故①正確；
∵拋物線的圖象交x軸于點、，
∴拋物線對稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，故②正確；
∵對稱軸為直線，
∴；
∵、，
∴，
∴；
在中，當時，，
∴，
∴，
當時，則由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去）；
同理當時，可得；
綜上所述，當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，或，故③錯誤；
當時，，則，
如圖所示，取點，連接，則，

∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當點P在線段上時，的值最小，即此時的值最小，最小值為線段的長，
在中，由勾股定理得，故④正確，
∴正確的有3個，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的定義，熟練掌握二次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵．
22．C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷結(jié)論①②③正誤；由二次函數(shù)與一元二次方程的關系判斷結(jié)論④；利用結(jié)論④及題中條件可求得的取值范圍，再由結(jié)論②可得取值范圍，判斷⑤是否正確．
【詳解】解：由圖可得：，對稱軸，
，
，①錯誤；
由圖得，圖象經(jīng)過點，將代入y=ax2+bx+c可得，
，②正確；
該函數(shù)圖象與軸的另一個交點為，且，
對稱軸，
該圖象中，當時，隨著的增大而減小，當時，隨著的增大而增大，
當x>1時，隨著的增大而減小，
③正確；
，，
關于的一元二次方程的根為，
，
，，
④正確；
，即，
解得，
即，
，
，
⑤正確．
綜上，②③④⑤正確，共個．
故選：．
【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、拋物線與軸的交點問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、二次函數(shù)與不等式的關系等知識，解題關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
23．
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移以及二次函數(shù)的性質(zhì)，由平移的規(guī)律可得出拋物線的解析式為，再利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可得出答案．
【詳解】解：，
∵二次函數(shù)的圖象向左平移兩個單位得到拋物線，
∴拋物線的解析式為，
∴拋物線開口向上，對稱軸為，
∴當時，y隨x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案為：．
24．
【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，掌握拋物線與x軸沒有交點與沒有實數(shù)根是解題的關鍵．
由拋物線與x軸沒有交點，運用根的判別式列出關于c的一元一次不等式求解即可．
【詳解】解：∵拋物線與x軸沒有交點，
∴沒有實數(shù)根，
∴，．
故答案為：．
25．2
【分析】此題考查了二次函數(shù)的平移，根據(jù)平移規(guī)律得到函數(shù)解析式，把點的坐標代入得到，再整體代入變形后代數(shù)式即可．
【詳解】解：拋物線向下平移5個單位長度后得到，
把點代入得到，，
得到，
∴，
故答案為：2
26．
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)以及解不等式組，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關鍵．先求得二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：由得拋物線的對稱軸為直線，開口向下，
∵，，
∴，
∴；
∵，，，，
∴，
∵存在，
∴，，且Ax1,y1離對稱軸最遠，Bx2,y2離對稱軸最近，
∴，即，且，
∵，，
∴且，
解得，
故答案為：；．
27．4
【分析】本題考查新定義運算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關鍵．
【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點，使得，則，
，
中存在一點，有，解得，則，
拋物線“開口大小”為，
故答案為：．
28．②③④
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得拋物線對稱軸，即可判斷①，根據(jù)?1,1，兩點之間的距離大于，即可判斷②，根據(jù)拋物線經(jīng)過?1,1得出，代入頂點縱坐標，求得縱坐標的最大值即可判斷③，根據(jù)④可得拋物線的對稱軸，解不等式，即可求解．
【詳解】解：∵（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過?1,1，兩點，且．
∴對稱軸為直線， ，
∵，
∴，故①錯誤，
∵
∴，即?1,1，兩點之間的距離大于
又∵
∴時，
∴若，則，故②正確；
③由①可得，
∴，即，
當時，拋物線解析式為
設頂點縱坐標為
∵拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過?1,1，
∴
∴
∴
∵，，對稱軸為直線，
∴當時，取得最大值為，而，
∴關于x的一元二次方程 無解，故③正確；
④∵，拋物線開口向下，點Ax1,y1，Bx2,y2在拋物線上， ，，總有，
又，
∴點Ax1,y1離較遠，
∴對稱軸
解得：，故④正確．
故答案為：②③④．
29．①②④
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．①利用拋物線的頂點坐標和開口方向即可判斷；②利用拋物線的對稱軸求出，根據(jù)圖象可得當時，，即可判斷；③利用拋物線的對稱軸，設兩點橫坐標與對稱軸的距離為，求出距離，根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數(shù)值越大，即可判斷；④根據(jù)圖象即可判斷．
【詳解】解：①∵拋物線的頂點的坐標為，
∴，
∴，即，
由圖可知，拋物線開口方向向下，即，
∴，
當時，，
∴，故①正確，符合題意；
②∵直線是拋物線的對稱軸，
∴，
∴，
∴
由圖象可得：當時，，
∴，即，故②正確，符合題意；
③∵直線是拋物線的對稱軸，
設兩點橫坐標與對稱軸的距離為，
則，，
∴，
根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數(shù)值越大，
∴，故③錯誤，不符合題意；
④如圖，
∵關于x的一元二次方程無實數(shù)根，
∴，故④正確，符合題意．
故答案為：①②④
30．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)， 利用待定系數(shù)法求出的值即可判斷；利用根的判別式即可判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷；利用對稱性可判斷；畫出函數(shù)圖形可判斷；掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．
【詳解】解：把，，代入得，
，
解得，
∴，故正確；
∵，，，
∴，
當時，，
∴，
∵，
∴關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，故正確；
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴拋物線的頂點坐標為，
又∵，
∴當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，當時，函數(shù)取最大值，
∵與時函數(shù)值相等，等于，
∴當時， 的取值范圍為，故錯誤；
∵，
∴點，關于對稱軸對稱，
∴，故正確；
由得，
即，
畫函數(shù)和圖象如下：
由，解得，，
∴，，
由圖形可得，當或時，，即，故錯誤；
綜上，正確的結(jié)論為，
故答案為：．
31．(1)
(2)
【分析】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
（1）運用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)題意設，結(jié)合幾何圖形面積計算方法可得點的縱坐標，代入后解一元二次方程即可求解．
【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：由（1）可知二次函數(shù)解析式為：，，，
∴，
設，
∴，
∴，
∴，
∴當時，，無解，不符合題意，舍去；
當時，，；
∴．
32．(1)b=4
(2)（?。?；（ⅱ）
【分析】題目主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及化為頂點式，解一元二次方程，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵．
（1）根據(jù)題意求出的頂點為，確定拋物線（b為常數(shù)）的頂點橫坐標為2，即可求解；
（2）根據(jù)題意得出， ，然后整理化簡；（?。⒋肭蠼饧纯桑唬áⅲ⒋胝頌轫旤c式，即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：，
∴的頂點為，
∵拋物線（b為常數(shù)）的頂點橫坐標比拋物線的頂點橫坐標大1，
∴拋物線（b為常數(shù)）的頂點橫坐標為2，
∴，
∴b=4；
（2）由（1）得
∵點Ax1,y1在拋物線上，點在拋物線上．
∴， ，
整理得：
（ⅰ）∵，
∴，
整理得：，
∵，，
∴，
∴；
（ⅱ）將代入，
整理得，
∵，
∴當，即時，h取得最大值為．
33．(1)；
(2)或
【分析】（）把代入，轉(zhuǎn)化成頂點式即可求解；
（）分和兩種情況，畫出圖形結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
本題考查了求二次函數(shù)的頂點式，二次函數(shù)的性質(zhì)，運用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：把代入得，，
∴拋物線的頂點坐標為；
（2）解：分兩種情況：拋物線的對稱軸是直線；
當時，如圖，此時，
∴，
又∵，
∴；
當時，如圖，此時，
解得，
又∵，
∴；
綜上，當或，都有．
34．(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，
（1）采用待定系數(shù)法即可求解二次函數(shù)關系式；
（2）先求出平移后點B的坐標，然后把坐標代入解析式即可；
（3）分為，時，時，建立方程解題即可．
【詳解】（1）解：設二次函數(shù)的解析式為，把代入得，
解得，
∴；
（2）解：點B平移后的點的坐標為，
則，解得或（舍），
∴m的值為；
（3）解：當時，
∴最大值與最小值的差為，解得：不符合題意，舍去；
當時，
∴最大值與最小值的差為，符合題意；
當時，
最大值與最小值的差為，解得或，不符合題意；
綜上所述，n的取值范圍為．
35．（1）①；②當時，有最小值為（2）見解析（3）正確，
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關鍵：
（1）①把代入解析式，寫出函數(shù)解析式即可；②將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，進行求解即可；
（2）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行解釋即可；
（3）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，表示出的最大值，再利用二次函數(shù)求最值即可．
【詳解】解：（1）①把代入，得：
；
∴；
②∵，
∴當時，有最小值為；
（2）∵，
∵拋物線的開口向上，
∴當時，有最小值；
∴甲的說法合理；
（3）正確；
∵，
∴當時，有最小值為，
即：，
∴當時，有最大值，為．
36．(1)
(2)當時，；當時， ．
【分析】（1）由對稱軸為直線直接求解；
（2）當時，；當時， ．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸是直線，
∴，
∴；
（2）解：∵是拋物線與軸交點的橫坐標，
∴，
∴，
∴，
∴，
而
代入得：，
∴，
∴，
∵，
解得：，
當時，
∴；
當時，，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸公式，與x軸交點問題，解一元二次方程，無理數(shù)的大小比較，解題的關鍵是對進行降次處理．
37．(1)
(2)
(3)拋物線與交于定點
【分析】（1）根據(jù)題意可得，整理得，即可知則有；
（2）由題意得拋物線：，則設，可求得，結(jié)合題意可得直線解析式為，設直線與拋物線對稱軸交于點E，則，即可求得，進一步解得點，過D作于點H，則，即可求得；
（3）設可求得直線解析式為，過點D作，可得，結(jié)合題意得設拋物線解析式為，由于過點，可求得拋物線解析式為，根據(jù)解得，即可判斷拋物線與交于定點．
【詳解】（1）解：∵拋物線：與軸交于A，B兩點，
∴，整理得，解得
∴
則；
（2）當時，拋物線：，
則
設，則，
設直線解析式為，
∵點D在直線上，
∴，解得，
則直線解析式為，
設直線與拋物線對稱軸交于點E，則，
∴，
∵的面積與的面積相等，
∴，解得，
∴點，
過點D作于點H，則，
則；
（3）設直線解析式為，
則，解得，
那么直線解析式為，
過點D作，如圖，
則，
∵，
∴，
∵將沿方向平移得到，
∴
由題意知拋物線平移得到拋物線，設拋物線解析式為，
∵點，都落在拋物線上
∴，
解得，
則拋物線解析式為
∵
整理得，解得，
∴拋物線與交于定點．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點之間的距離、一次函數(shù)的性質(zhì)、求正切值、二次函數(shù)的平移、等腰三角形的性質(zhì)和拋物線過定點，解題的關鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和平移過程中數(shù)形結(jié)合思想的應用．
38．(1)
(2)新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；
(3)
【分析】（1）把點代入可得，再利用拋物線的對稱軸公式可得答案；
（2）把點代入，可得：，可得拋物線為，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)為：，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（3）由根與系數(shù)的關系可得，，結(jié)合，，再建立不等式組求解即可.
【詳解】（1）解：∵點在二次函數(shù)的圖像上，
∴，
解得：，
∴拋物線為：，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴；
（2）解：∵點在的圖像上，
∴，
解得：，
∴拋物線為，
將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)為：
，
∵，
∴當時，函數(shù)有最小值為，
當時，函數(shù)有最大值為
∴新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；
（3）∵的圖像與軸交點為，．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴即，
解得：.
【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練的利用各知識點建立方程或不等式組解題是關鍵.
39．(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的特征．數(shù)形結(jié)合解題是解題的關鍵．
（1）把代入后再將拋物線化成頂點式為，即可求頂點坐標；
（2）根據(jù)整點個數(shù)的范圍確定點A縱坐標的范圍；
（3）結(jié)合圖象確定有4個“完美點”時a的最大和最小值，進而確定a的范圍．
【詳解】（1）解：當時，拋物線．
∴頂點坐標．
（2）令，則，
∴，
∵線段上的“完美點”的個數(shù)大于3個且小于6個，
∴“完美點”的個數(shù)為4個或5個．
∵，
∴當“完美點”個數(shù)為4個時，分別為，0,1，0,2，0,3；
當“完美點”個數(shù)為5個時，分別為，0,1，0,2，0,3，0,4．
∴．
∴a的取值范圍是．
（3）根據(jù)，
得拋物線的頂點坐標為，過點，，．
∵拋物線與直線交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個“完美點”，
顯然，“完美點”，，符合題意．
下面討論拋物線經(jīng)過2,1，的兩種情況：
①當拋物線經(jīng)過2,1時，解得此時，，，．
如圖所示，滿足題意的“完美點”有，2,1，，，共4個．
②當拋物線經(jīng)過時，解得此時，，，．
如圖所示，滿足題意的“完美點”有，2,1，，，，，共6個．
∴a的取值范圍是．