浙江省紹興市2025屆高三下學(xué)期4月二模數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（2025年4月）
一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集概念進(jìn)行求解.
【詳解】.
故選：A
2. （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.
【詳解】.
故選：B.
3. 已知向量滿足，，且的夾角為，則（）
A. B. 3C. D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再由及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，，且的夾角為，
所以，
所以.
故選：C
4. 直線被圓截得的弦長為（）
A. 2B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，即可求出圓心到直線的距離，再由勾股定理計(jì)算可得.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
又圓心到直線的距離，
所以弦長.
故選：B
5. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則可以是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化簡，再得到平移后的解析式，即可得到，，逐個(gè)檢驗(yàn)即可得出答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)，
所以，則，，
，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
故選：A.
6. 已知函數(shù)，則（）
A. 當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增
B. 當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 當(dāng)時(shí)，奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷方法，針對(duì)不同的取值，對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析，即可判斷和選擇.
【詳解】對(duì)AB：當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，故為偶函?shù)；
又，當(dāng)時(shí)，令，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞增，
故在單調(diào)遞減，故AB都錯(cuò)誤；
對(duì)CD：當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，故為奇函?shù)；
又，當(dāng)時(shí)，均為減函數(shù)，故為上的減函數(shù)，
故為上的增函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：D.
7. 已知雙曲線左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上，且，則的最小值為（）
A. 4B. 6C. 10D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，將與進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系求出的最小值．
【詳解】對(duì)于雙曲線，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（），可得，．則．
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由雙曲線的定義可知，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，即；
同理，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，即．
所以．
根據(jù)三角形三邊關(guān)系，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立．
又，則，即．
所以的最小值為10．
故選：C．
8. 已知的兩個(gè)內(nèi)角都是關(guān)于的方程的解，其中，則（）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到和的表達(dá)式，通過三角恒等式求出，進(jìn)而求出得解.
【詳解】方程變形為，
由題，是方程的兩根，則，，
又
，
又，所以，
，
又，則，，
.
故選：B.
二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 在某校文藝匯演中，六位評(píng)委對(duì)某小品節(jié)目進(jìn)行打分，得到一組分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.5，若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，則（）
A. 這組分值的極差變小
B. 這組分值的均值變大
C. 這組分值的方差變小
D. 這組分值的第75百分位數(shù)不變
【答案】AC
【解析】
【分析】對(duì)A，根據(jù)極差的定義求解判斷；對(duì)B，計(jì)算前后兩組數(shù)據(jù)的均值判斷；對(duì)C，利用方差的公式計(jì)算判斷；對(duì)D，根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算判斷.
【詳解】對(duì)于A，原來6個(gè)數(shù)據(jù)的極差為，
去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后這組數(shù)據(jù)的極差為，極差變小了，故A正確；
對(duì)于B，原來6個(gè)數(shù)據(jù)的均值為，
后來這4個(gè)數(shù)據(jù)的均值為，所以均值不變，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，原來6個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，
后來這4個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，
所以這組分值的方差變小，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以原?個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，
又，所以后來這4個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 已知函數(shù)，則（）
A. 在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)
B. 0是的極小值點(diǎn)
C. 在區(qū)間內(nèi)存在極大值
D. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：令，得到零點(diǎn)，看區(qū)間內(nèi)有無這些零點(diǎn)，沒有則不存在零點(diǎn)．對(duì)于選項(xiàng)B：在附近，分析、、正負(fù)．時(shí)，時(shí)，所以是極小值點(diǎn)．對(duì)于選項(xiàng)C：對(duì)求導(dǎo)．在內(nèi)，分析各項(xiàng)正負(fù)，判斷是否存在極大值．對(duì)于選項(xiàng)D：在上，分析正負(fù)，再分析各項(xiàng)正負(fù)，得，所以單調(diào)遞減．
【詳解】函數(shù)，令，則或或．
由，解得；由，解得，；
由，即，解得．
在區(qū)間內(nèi)，不存在上述使的值，所以在區(qū)間內(nèi)不存在零點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．
當(dāng)在附近時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且．
當(dāng)時(shí)，，，所以；
當(dāng)時(shí)，，在附近正負(fù)交替，但，所以是的極小值點(diǎn)，B選項(xiàng)正確．
對(duì)求導(dǎo)，得：．
當(dāng)時(shí)，，，，．
，且在內(nèi)，隨著的變化，會(huì)先大于后小于，所以在區(qū)間內(nèi)存在極大值，C選項(xiàng)正確．
當(dāng)時(shí)，，，，則．
對(duì)分析，在上，，，，所以；
，，，所以；
，，，所以．
即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確．
故選：BCD．
11. 已知數(shù)列滿足，則（）
A. 數(shù)列為遞增數(shù)列
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)遞增．由算出，得．假設(shè)，可推出，再構(gòu)造，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，得出，所以數(shù)列遞增．
對(duì)于B選項(xiàng)：由A選項(xiàng)分析知，所以不存在使．
對(duì)于C選項(xiàng)：要證，構(gòu)造，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，得出，從而證明不等式成立．
對(duì)于D選項(xiàng)：由C，取倒數(shù)后構(gòu)造數(shù)列，再用累加法求和計(jì)算證明即可.
【詳解】設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)可得．
因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增．
已知，則，依次有，,
，設(shè)，，對(duì)求導(dǎo)得．
當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞減．
則，即，所以為遞增數(shù)列，A選項(xiàng)正確．
由上述分析可知，所以不存在，使得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤．
要證，即證．
設(shè)，，對(duì)求導(dǎo)得．
令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，
所以上單調(diào)遞減．則，
所以在上單調(diào)遞增．
所以，即，
所以，，C選項(xiàng)正確.
由選項(xiàng)C知，移項(xiàng)可得，
兩邊同時(shí)乘以得.
兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，移項(xiàng)可得.
因?yàn)椋?，?
利用累加法：
.
已知，則，所以，兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，
移項(xiàng)可得，選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】先由正弦定理可得，再由余弦定理可得，最后得到.
【詳解】，
由正弦定理可得，，
又由余弦定理可得，，
，.
故答案為：.
13. 已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則的值域?yàn)開_________.
【答案】
【解析】
【分析】通過賦值法求得，以及的解析式，再求其值域即可.
【詳解】對(duì)，令，則，解得；
對(duì)，令，則，
又為偶函數(shù)，，故，解得；
又，故其值域?yàn)?
故答案為：.
14. 設(shè)點(diǎn)在“笑口”型曲線上，則的最小值為__________.
【答案】##-0.125
【解析】
【分析】分和兩種情況去絕對(duì)值化簡，利用二次函數(shù)求最值即可
【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，平方得，即，
此時(shí)
，.
當(dāng)時(shí)，，即，平方得，即，
此時(shí)
，
綜上，的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查含絕對(duì)值的曲線方程，解題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值，得到不含絕對(duì)值的曲線方程. 本題中將獲得的新曲線方程代入，消元后可得到所求的最小值.
四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）記的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間.
（2）由（1）的信息，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定的值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問2詳解】
由（1）知，，
因此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，即，
則所求切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，切線方程為
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
16. 已知數(shù)列滿足
（1）記，求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）記，求滿足的所有正整數(shù)的值.
【答案】（1），證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件判斷數(shù)列的類型，再用等比數(shù)列定義證明即可；
（2）先運(yùn)用等比數(shù)列公式求，再求出的表達(dá)式，進(jìn)而求出的表達(dá)式，最后根據(jù)其單調(diào)性確定滿足條件的正整數(shù)的取值．
【小問1詳解】
因?yàn)?，所?
又因?yàn)?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為5，公比為2的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）知，所以，
所以，
因?yàn)閱握{(diào)遞增，
且，
所以正整數(shù)的所有取值為.
17. 已知橢圓的焦距為2，且過點(diǎn).
（1）求的方程；
（2）設(shè)為的左、右頂點(diǎn)，在過點(diǎn)且垂直于軸的直線上任取一點(diǎn)，過作的切線，切點(diǎn)為（異于），作，垂足為.記和的面積分別為，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，代入，得到方程組，求出，得到答案；
（2）設(shè)，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)相切，由根的判別式得到方程，求出，求出，，表達(dá)出直線的方程為，設(shè)與交于點(diǎn)，求出，所以，為中點(diǎn)，得到答案.
【小問1詳解】
由題意知，且過點(diǎn)，
即，
解得，
所以的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，直線的方程為，
代入的方程得.
因?yàn)橹本€與相切，
所以，
化簡得，所以，

所以，代入直線的方程得，
設(shè)與交于點(diǎn)，又，直線的方程為，
因?yàn)椋?br>代入直線的方程得，
所以，所以為中點(diǎn).
因此點(diǎn)到直線的距離相等，所以.
18. 如圖，在四面體中，，記二面角為分別為的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；
（3）設(shè)在四面體內(nèi)有一個(gè)半徑為的球，若，求證：.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，即可得到，從而得到平面，即可得證；
（2）以為原點(diǎn)，分別為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；
（3）設(shè)在平面內(nèi)的射影為，即可得到點(diǎn)到平面的距離，即可求出四面體的體積，再求出四面體的表面積，即可求出四面體的內(nèi)切球半徑，即可得證.
【小問1詳解】
取中點(diǎn)，連接，又分別為的中點(diǎn)，
則，，
因?yàn)椋?br>所以，又，平面，
所以平面，
又平面，所以.
【小問2詳解】
由（1）知是二面角的平面角，所以.
如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，可取，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【小問3詳解】
因?yàn)榕c的面積為，
設(shè)在平面內(nèi)的射影為，即平面，
又平面，所以，又，平面，所以平面，
又平面，所以，又，所以為二面角的平面角，
所以點(diǎn)到平面的距離，
因此四面體的體積為.
又，平面，所以，所以到直線的距離等于，
所以邊的高，
所以的面積，
注意到，因此的面積也為，
所以四面體的表面積為，
因此四面體的內(nèi)切球半徑，
所以，即.
19. 某科技公司招聘技術(shù)崗位人員一名.經(jīng)初選，現(xiàn)有來自國內(nèi)三所高校的10名應(yīng)屆畢業(yè)生進(jìn)入后面試環(huán)節(jié).其中校和校各4名，校2名，10名面試者隨機(jī)抽取1，2，3，號(hào)的面試序號(hào).
（1）若來自校的4名畢業(yè)生的面試序號(hào)分別為，且，來自校的4名畢業(yè)生的面試序號(hào)分別為，且，來自校的2名畢業(yè)生的面試序號(hào)分別為，，且.
（i）求概率；
（ii）記隨機(jī)變量，求的均值.
（2）經(jīng)面試，第位面試者的面試得分為，且他們的面試得分各不相等，公司最終錄用得分最高者.為提高今后面試效率，現(xiàn)人事部門設(shè)計(jì)了以下面試錄用新規(guī)則：，且，集合中的最小元素為，最終錄用第位面試者.如果以新規(guī)則面試這10名畢業(yè)生，證明：面試得分第一?二（按得分從高到低排）的兩名畢業(yè)生之一被錄用的概率不小于0.59.
【答案】（1）（i）；（ii）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，直接求解即可；先求得的取值，再根據(jù)期望計(jì)算公式，直接計(jì)算即可；
（2）分別計(jì)算錄用面試第一名，和第二名的概率，即可證明.
【小問1詳解】
（i），
（ii）的可能取值為，則，
所以
【小問2詳解】
①第一種情況，錄用了面試得分第一的人.
若面試得分第一的人在第位，要使得其被錄用，則在他前面的個(gè)人中的最高分必然在前3位，
其他個(gè)人可以任意排列，在得分第一后面的個(gè)人任意排列，這種情況的概率為：
.
②第二種情況，錄用了面試得分第二的人.
若面試得分第一的人在前三位，則第二的人在第10位，其他人任意排列，
這種情況的概率為.
若面試得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第位，
同樣在他前面的個(gè)人中的最高分必然在前3位，其他個(gè)人可以任意排列，
在得分第二后面的（含第一）個(gè)人任意排列，這種情況的概率為：
綜上，面試得分第一?二的兩名畢業(yè)生之一被錄用的概率為：

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