2．考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫(xiě)在答題紙上．
3．選擇題的答案須用2B鉛筆將答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如要改動(dòng)，須將原填涂處用橡皮擦凈．
4．非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫(xiě)在答題紙上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，作圖時(shí)可先使用2B鉛筆，確定后須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑，答案寫(xiě)在本試題卷上無(wú)效．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合，，再結(jié)合交集的定義，即可求解.
【詳解】集合，，
所以，
故選：A.
2. 已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由純虛數(shù)的概念，列得方程組，從而可求出的值.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，
所以，
由，得或，
由，得，
所以.
故選：D.
3. 已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由投影向量定義式和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，，，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：B.
4. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別令，，得兩式，運(yùn)算可求得，再令，求得，即可得解.
【詳解】因，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，①，
當(dāng)時(shí)，②，
①+②=，
所以，
所以，
故選：C.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式與，分別得出的取值范圍，再利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>所以，，
因?yàn)?，所以，?br>所以，，
因?yàn)檎姘耍?br>所以 “”是“”的必要不充分條件，
故選：B.
6. 正方體中，點(diǎn)分別為正方形及的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解異面直線所成角余弦值即可.
【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，
則，
故，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.

故選：C.
7. 在中，角所對(duì)的邊分別為．已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依題意，可求得，設(shè)所成等比數(shù)列得公比為，則，，由正弦定理可得，，結(jié)合平方關(guān)系，解得，即可求解角A，從而得解.
【詳解】因?yàn)樵谥?，成等差?shù)列，所以，
又，所以，
設(shè)所成等比數(shù)列得公比為，則
，，
由正弦定理可得，
整理可得，，
又，即，
整理可得，
所以解得，故，于是，所以，
故選：D.
8. 過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交軸于點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，焦點(diǎn)，由直線過(guò)焦點(diǎn)，可得，設(shè)在點(diǎn)處的切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，由于，解得的值，從而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，故，可得直線的方程為，從而求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，故而求得，利用基本不等式求得最小值.
【詳解】
設(shè)，焦點(diǎn)，
設(shè)直線方程為，則，化簡(jiǎn)得，
所以，，
所以，
設(shè)在點(diǎn)處的切線方程為，
，化簡(jiǎn)得，
因?yàn)?，化?jiǎn)得，，
則在點(diǎn)處得切線方程為，即，
令，則，故，
則，
過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，故，
所以直線的方程為，
令，則，故,
,
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，取到最小值9.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的最大值是B. 在上單調(diào)遞增
C. D. 在上有兩個(gè)零點(diǎn)
【答案】AC
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式逐一判斷即可求得結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A，由于，且，所以的最大值是，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋栽谏喜皇菃握{(diào)遞增的，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由于，故 ，故C正確；
對(duì)于D，若，則，即，可得，，解得，，所以在上恰有個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 若函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)需滿足在定義域上單調(diào).逐一討論各項(xiàng)函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)需滿足在定義域上單調(diào).
對(duì)于A，易知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，故可知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，定義域?yàn)镽，所以.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椋x域?yàn)镽，所以，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)椋詫?duì)，，又因?yàn)椋詫?duì)，恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減，故D正確.
故選：ABD.
11. 如圖，多面體由正四面體和正四面體拼接而成，一只螞蟻從頂點(diǎn)出發(fā)，沿著多面體的各條棱爬行，每次等概率地爬行到相鄰頂點(diǎn)中的一個(gè)，記次爬行后，該螞蟻落在點(diǎn)的概率為，落在點(diǎn)的概率為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】螞蟻從點(diǎn) P 出發(fā)，第一次爬行后只能到達(dá)中的一個(gè)，從而可確定，從中的任一點(diǎn)出發(fā)，均有從該點(diǎn)出發(fā)的四條棱，故到達(dá)點(diǎn)或的概率為；設(shè)次爬行后，該螞蟻落在點(diǎn)的概率為，只能從中的任一點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)或，則可確定、 與的關(guān)系；到達(dá)中任一點(diǎn)，可能是從其它兩點(diǎn)中的其一，或者從點(diǎn)或到達(dá)，從而可以表達(dá)，代值化簡(jiǎn)關(guān)系可得解.
【詳解】設(shè)記次爬行后，該螞蟻落在點(diǎn)的概率為，
則，
其中，
計(jì)算易得，故A、C正確，B錯(cuò)誤；
由原方程組可得，
則，所以為常數(shù)列，且①.
同理，且，所以②，
由①②可知，=，所以，故D正確.
故選：.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則______．
【答案】110
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算即可.
【詳解】.
故答案為：110.
13. 已知斜率大于零的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸分別于兩點(diǎn)，且是線段的三等分點(diǎn)，則直線的斜率為_(kāi)_____．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】設(shè)直線為，，推出，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)，則，并求出的坐標(biāo)，線段的中點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，從而得到方程，求出答案.
【詳解】設(shè)直線為，，
若，此時(shí)均與原點(diǎn)重合，，但，故不合要求，
所以，
與聯(lián)立得，
，解得，
設(shè)，則，故，
中，令得，故，令得，故，
的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
是線段的三等分點(diǎn)，故線段的中點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
故，解得，負(fù)值舍去.
故答案為：
14. 若定義在上的函數(shù)滿足，則的最大值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】由得，，故2為函數(shù)的一個(gè)周期，因此，由，設(shè)，則，進(jìn)而求得的最大值.
【詳解】由，，得，所以，
平方得①，
②，
②-①得，
所以，即
又，則
，
所以
所以，即，
故2為函數(shù)的一個(gè)周期，因此.
考慮到，
設(shè)，
則，
故最大值為.
故答案為：.
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．
15. 如圖，在直角梯形中，，，．將沿折起，使，連接，得到三棱錐．
（1）求證：平面；
（2）點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、，若，
（i）求二面角的正切值；
（ii）求三棱錐的外接球體積．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的判斷定理證明平面，進(jìn)而可證得平面；
（2）（i）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，利用向量法求二面角的余弦值，進(jìn)而求得正切值；（ii）由題意可知為三棱錐的外接球的球心，且球半徑為，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?，，平面?br>所以平面，
又平面，所以
又因?yàn)?，，平面?br>所以平面.
【小問(wèn)2詳解】
（i）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，所以，
，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
取，則，
由（1）可知，平面的一個(gè)法向量為，
所以.
由圖可知二面角平面角是銳角，記為，則，所以，
故二面角的正切值為.
（ii）因?yàn)椋?br>所以為三棱錐的外接球的球心，且球半徑為，
故三棱錐的外接球體積為.
16. 某校舉辦定點(diǎn)投籃挑戰(zhàn)賽，規(guī)則如下：每位參賽同學(xué)可在兩點(diǎn)進(jìn)行投籃，共投兩次．第一次投籃點(diǎn)可在兩點(diǎn)處隨機(jī)選擇一處，若投中，則第二次投籃點(diǎn)不變；若未投中，則第二次切換投籃點(diǎn)．在點(diǎn)投中得分，在點(diǎn)投中得分，未投中均得分，各次投中與否相互獨(dú)立．
（1）在參賽的同學(xué)中，隨機(jī)調(diào)查50名的得分情況，得到如下列聯(lián)表：
是否有的把握認(rèn)為投籃得分與第一次投籃點(diǎn)的選擇有關(guān)？
（2）小明在點(diǎn)投中的概率為，在點(diǎn)投中的概率為．
（i）求小明第一次投中的概率；
（ii）記小明投籃總得分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
參考公式：
【答案】（1）有的把握認(rèn)為投籃得分與第一次投籃點(diǎn)的選擇有關(guān)
（2）（i）0.5；（ii）分布列見(jiàn)解析，期望為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合列聯(lián)表，計(jì)算的值，即可判斷結(jié)論；
（2）設(shè)第次選擇在點(diǎn)A投籃記為事件A，在點(diǎn)B投籃記為事件，投中記為事件，（i）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式計(jì)算可求出小明第一次投中的概率；（ii）列出的所有取值，再計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
零假設(shè)為：得分與第一投籃點(diǎn)選擇獨(dú)立，即得分無(wú)差異
，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，因此認(rèn)為得分與第一投籃點(diǎn)選擇有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)第次選擇在點(diǎn)A投籃記為事件A，在點(diǎn)B投籃記為事件，投中記為事件，
則，,,.
（i）P(E)=，
所以小明第一次投籃命中的概率為0.5.
（ii）小明投籃總得分可取0，2，3，4，6，則
，
，
，
，
.
∴X的分布列為
∴.
17. 已知雙曲線（）的左，右焦點(diǎn)分別為，且，圓與的漸近線相切．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若上兩點(diǎn)滿足（），且四邊形的面積為，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先得到，由圓到直線距離公式得到方程，求出，，得到雙曲線方程；
（2）設(shè)直線，它與E的另一個(gè)交點(diǎn)記為C，由對(duì)稱性可知，四邊形面積等于三角形面積，設(shè)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)三角形面積得到方程，求出或，經(jīng)檢驗(yàn)不合要求，時(shí)，求出交點(diǎn)縱坐標(biāo)，得到的值.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，解得，
∵雙曲線的漸近線為，
∴，解得，所以，故雙曲線方程為：；
【小問(wèn)2詳解】
由同向可知，直線、與E均有兩個(gè)交點(diǎn).
設(shè)直線，它與E的另一個(gè)交點(diǎn)記為C.
由雙曲線的對(duì)稱性可知，，故三角形面積等于三角形面積，
所以四邊形面積等于三角形面積.
設(shè)，
聯(lián)立方程：，得，
，
三角形面積，
整理得，解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，，故均軸上方或下方，
不妨令，此時(shí)，
解得或，
畫(huà)出圖象如下：
此時(shí)反向，故舍去；
同理可得也不滿足要求，
當(dāng)時(shí)，可驗(yàn)證得同向，符合題意，
若，由，解得或，
由于，所以，，
故，
若，同理可得，
綜上，.
18. 已知函數(shù)（），為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，
（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（ii）若點(diǎn)是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，求的最小值；
（2）若函數(shù)圖象上存在不同兩點(diǎn)滿足，求的取值范圍．
【答案】（1）（i）;（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）求導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即得；（ii）設(shè)，由兩點(diǎn)間距離公式可得，記，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，從而求得的最小值，即可求解；
（2）記，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，可得存在負(fù)實(shí)數(shù)使得，為使有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，則有，推導(dǎo)可得有. 分析可知函數(shù)存在唯一零點(diǎn)滿足.進(jìn)而分類討論和時(shí)，使得恒成立時(shí)的取值范圍，從而得解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)，，
（i）因?yàn)?，則，，故切線方程為
（ii）設(shè)，則，記
則，易知是關(guān)于的增函數(shù)且
所以當(dāng)；當(dāng)
故最小值為，得的最小值.
【小問(wèn)2詳解】
記，則，易知是關(guān)于的增函數(shù)且存在負(fù)實(shí)數(shù)使得，則，.
所以當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)
故最小值為，
注意到，，且，
為使有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，則有.
即.
考慮到函數(shù)是關(guān)于的減函數(shù)，且，，
故該函數(shù)存在唯一零點(diǎn)滿足，則
（此處只需給出零點(diǎn)的一個(gè)合理估計(jì)即可.）
①若，即，則.
由化簡(jiǎn)得，
記，注意到在區(qū)間的減函數(shù)，
所以，
故時(shí)，恒成立，即滿足.
（幾何法：由時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，而兩點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，且，因此點(diǎn)在圓內(nèi)，結(jié)合圖像，知函數(shù)圖象與圓的圖象必有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故滿足）
②若，即，則.由化簡(jiǎn)得，
記，則，
所以單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增且，，
故由解得，
而，故滿足.
綜上所述.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：若函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，則，記，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，可得存在負(fù)實(shí)數(shù)使得，若函數(shù)圖象上存在不同兩點(diǎn)滿足，則使有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，則有，推導(dǎo)可得有. 分析可知函數(shù)存在唯一零點(diǎn)滿足.進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)分類討論和時(shí)，使得恒成立時(shí)的取值范圍，從而得解.
19. 對(duì)于給定的項(xiàng)整數(shù)數(shù)列：（），定義變換：①若，則加，均加，其余項(xiàng)不變；②若，則加，均加，其余項(xiàng)不變；③若，則加，均加，其余項(xiàng)不變．例如，對(duì)數(shù)列：做變換得到，即；而對(duì)數(shù)列：先后做變換，可得到，即．
（1）找出一系列變換，使得數(shù)列：經(jīng)過(guò)這系列變換后成為常數(shù)列；
（2）是否能找出一系列變換，使得數(shù)列：經(jīng)過(guò)這系列變換后成為常數(shù)列，若存在，請(qǐng)給出具體的變換；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；并請(qǐng)判斷當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)于任意數(shù)列，是否總存在一系列變換能使該數(shù)列成為常數(shù)列（無(wú)須證明）．
（3）當(dāng)為偶數(shù)且數(shù)列是遞增數(shù)列時(shí)，是否存在一系列變換，使得該數(shù)列成為常數(shù)列，若存在，請(qǐng)給出具體的變換；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）存在，具體見(jiàn)解析
（3）不存在，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意中定義的變換，可知分別經(jīng)過(guò)三個(gè)變換即可變換為常數(shù)列；
（2）根據(jù)題意中定義的變換，可知存在一系列的變換使得成為常數(shù)列，同時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)于任意數(shù)列，總存在一系列變換能使該數(shù)列成為常數(shù)列.
（3）通過(guò)反證法證明，假設(shè)存在次變換，能使得經(jīng)過(guò)這次變換后，成為常數(shù)列.由次變換后有，進(jìn)而由知，（*），而為遞增數(shù)列，可得，這與（*）矛盾，故而得證.
小問(wèn)1詳解】
此處三個(gè)變換順序可調(diào)換，也可得到其他全相等的數(shù).
【小問(wèn)2詳解】
存在，
,
結(jié)合上述情況，推斷當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)于任意數(shù)列，總存在一系列變換能使該數(shù)列成為常數(shù)列.
【小問(wèn)3詳解】
不存在，理由如下：
假設(shè)存在次變換，能使得經(jīng)過(guò)這次變換后，
成為常數(shù)列，其中.
注意到每作一次變換，均能使奇數(shù)項(xiàng)的和增加2，
偶數(shù)項(xiàng)的和增加2，
因此次變換后有，
由知，
所以，（*）
而為遞增數(shù)列，故，，…，得分分
得分分
合計(jì)
先在點(diǎn)投籃
20
5
25
先在點(diǎn)投籃
10
15
25
合計(jì)
30
20
50
0.1
0.05
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