一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門基礎(chǔ)學(xué)科，“數(shù)學(xué)”的英文縮寫為“math”，構(gòu)成“math”的四個英文字母中，屬于中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中，屬于必然事件的是( )
A. 在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到會沸騰B. 三角形的兩邊之和小于第三邊
C. 經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到綠燈D. 拋擲一塊石頭，石頭終將落地
3.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，，則的度數(shù)是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知點(diǎn)，和都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
5.如圖，在四邊形ABCD中，已知，那么補(bǔ)充下列條件后不能判定和相似的是( )
A. CA平分
B.
C.
D.
6.把拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度，得到的拋物線的解析：式為( )
A. B.
C. D.
7.10月10日，“竣越杯”2024湖南省青少年籃球超級聯(lián)賽在長沙市六中開幕，本屆賽事采取了主客場的賽制進(jìn)行，即每兩個隊之間要進(jìn)行兩場比賽.最終，來自各地的多支本土校園籃球勁旅在為期一個月的時間內(nèi)展開了56場比賽.若設(shè)共有x支本土校園籃球勁旅參加比賽，則x滿足的關(guān)系式為( )
A. B. C. D.
8.對于二次函數(shù)，下列說法正確的是( )
A. 圖象的開口向上B. 圖象的對稱軸是直線
C. 圖象的頂點(diǎn)是D. 當(dāng)時，y隨x的增大而增大
9.劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來確定圓周率，開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)發(fā)展史上圓周率研究的新紀(jì)元．某同學(xué)在學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的過程中，作了一個如圖所示的圓內(nèi)接正十二邊形．若的半徑為1，則這個圓內(nèi)接正十二邊形的面積為( )
A. 1B. 3C. D.
10.如圖，在中，，點(diǎn)D為線段BC上一動點(diǎn)不與點(diǎn)B，C重合，連接AD，作，DE交線段AC于點(diǎn)
下面是某學(xué)習(xí)小組根據(jù)題意得到的結(jié)論：
甲同學(xué)：∽；
乙同學(xué)：若，則；
丙同學(xué)：當(dāng)時，D為BC的中點(diǎn).
則下列說法正確的是( )
A. 只有甲同學(xué)正確B. 乙和丙同學(xué)都正確 C. 甲和丙同學(xué)正確D. 三個同學(xué)都正確
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
11.已知關(guān)于x的方程的一個根是3，則它的另一個根是______.
12.圍棋起于中國，棋子分黑白兩色，一個不透明的盒子中裝有6個黑色棋子和若干個白色棋子，每個棋子除顏色外都相同，任意摸出一個棋子，摸到黑色棋子的概率是，則盒中棋子的總個數(shù)是______個.
13.如圖，在中，直徑于點(diǎn)E，，，則的半徑長為______.
14.如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是______.
15.如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD互相垂直，，則四邊形ABCD的面積的最大值為______.
16.如圖，在中，，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B，C在x軸上，，延長AC交y軸于點(diǎn)D，連接BD，若的面積等于4，則k的值為______.
三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題6分
計算：
18.本小題6分
解方程：
19.本小題8分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)
求m，a的值，并直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
根據(jù)圖象可得，不等式的解集為______.
20.本小題8分
某市利用各類靈活多樣的宣傳方式、各種宣傳載體，全方位開展“國家反詐中心APP”宣傳推廣活動，截至2023年底，注冊人數(shù)已達(dá)萬人.某社區(qū)工作人員為調(diào)查本社區(qū)居民對于“國家反詐中心APP”的了解情況，進(jìn)行了一次問卷調(diào)查，本次問卷調(diào)查共設(shè)10個問題，每題10分，問卷調(diào)查結(jié)束后，根據(jù)問卷結(jié)果分為A：非常了解分、B：比較了解分、C：基本了解分、D：不太了解分四個等級并繪制了如下兩幅不完成的統(tǒng)計圖.
根據(jù)如圖所示圖標(biāo)回答下面的問題：
在扇形統(tǒng)計圖中，A等級對應(yīng)的扇形圓心角為______，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
若該社區(qū)共有居民8000人，請你估計對于“國家反炸中心APP”問卷調(diào)查得分不低于60分的人數(shù)；
為了更好的開展“國家反詐中心APP”宣傳推廣工作，社區(qū)準(zhǔn)備招募兩名宣講人員，現(xiàn)有問卷調(diào)查為A的4人報名，其中男性1人，女性3人，若從中隨機(jī)選取2人，求選取的為1男1女的概率.
21.本小題8分
如圖，在矩形ABCD中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC、AB上，且于點(diǎn)
如圖1，當(dāng)時，求證：；
如圖2，，若，，求AH的值.
22.本小題8分
“我想把天空大海給你，把大江大河給你，沒辦法，好的東西就是想分享于你”這是直播帶貨新平臺“東方甄選”帶貨王董宇輝在推銷大米時的臺詞．所推銷大米成本為每袋40元，當(dāng)售價為每袋80元時，每分鐘可銷售100袋．為了吸引更多顧客，“東方甄選”采取降價措施．據(jù)市場調(diào)查反映：銷售單價每降1元，則每分鐘可多銷售5袋，設(shè)每袋大米的售價為x元為正整數(shù)，每分鐘的銷售量為y袋．
求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
設(shè)“東方甄選”每分鐘獲得的利潤為w元，當(dāng)銷售單價為多少元時，每分鐘獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
“東方甄選”不忘公益初心，熱心教育事業(yè)，其決定從每分鐘利潤中捐出500元幫助留守兒童，為了保證捐款后每分鐘利潤不低于3875元，且讓消費(fèi)者獲得最大的利益，求此時大米的銷售單價是多少元？
23.本小題8分
如圖，AB是的直徑，AC是的弦，半徑，CE交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作的切線交AB的延長線于點(diǎn)
求證：；
若，，求圖中陰影部分的面積.
24.本小題10分
定義1：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，我們稱的值為點(diǎn)P的“2024芙蓉花”.如考慮點(diǎn)，因為，所以點(diǎn)的“2024芙蓉花”為
定義2：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上所有點(diǎn)的“芙蓉花”中最大的值稱為圖形G的“2024最美芙蓉花”.
已知點(diǎn)P在拋物線的圖象上，且P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，那么點(diǎn)P的“2024芙蓉花”是______；該拋物線的“2024最美芙蓉花”是______.
已知拋物線，是否存在某個合適的m的值，使得該拋物線的“2024最美芙蓉花”是若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由.
已知：①點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)A的“2024芙蓉花”為；②二次函數(shù)和二次函數(shù)的“2024最美芙蓉花”相等；③AB是圓O的直徑，點(diǎn)C為圓O上一定點(diǎn)點(diǎn)C不與點(diǎn)A和點(diǎn)B重合以長度分別為，，的三條線段剛好能構(gòu)成一個三角形，且構(gòu)成的三角形剛好和三角形ABC相似.求滿足條件的a，b，c的值.
25.本小題10分
如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，對角線AC、BD交于點(diǎn)E且AC為直徑，延長DA、CB交于點(diǎn)F，連接OD，若，請回答下列問題：
求證：∽；
若，求的值；
設(shè)，與四邊形ABCD的面積之比為y，請求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
答案和解析：
1.【答案】D
解析：解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意；
B、不是中心對稱圖形，不符合題意；
C、不是中心對稱圖形，不符合題意；
D、是中心對稱圖形，符合題意；
故選：
2.【答案】D
解析：解：A、在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到會沸騰，是不可能事件，故該選項不符合題意；
B、三角形的兩邊之和小于第三邊，是不可能事件，故該選項不符合題意；
C、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到綠燈，是隨機(jī)事件，故該選項不符合題意；
D、拋擲一塊石頭，石頭終將落地，是必然事件，故該選項符合題意．
故選：
3.【答案】B
解析：解：四邊形ABCD內(nèi)接于，，
，
故選：
4.【答案】D
解析：解：點(diǎn)，和都在反比例函數(shù)的圖象上，
，，，
，
故選：
5.【答案】C
解析：解：在和中，，
如果∽，需滿足的條件有：
①或AC是的平分線；
②；
故選：
6.【答案】A
解析：解：將拋物線向左平移2個單位所得直線解析：式為：；
再向下平移5個單位為：
故選：
7.【答案】D
解析：解：根據(jù)題意得，
故選：
設(shè)共有x個隊參加比賽，根據(jù)參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進(jìn)行兩場場比賽，共要比賽56場，可列出方程．
8.【答案】C
解析：解：，
，開口向下，頂點(diǎn)，對稱軸是直線，
當(dāng)時，y隨x的增大而減?。?br>故選：
9.【答案】B
解析：解：如圖，過A作于C，
圓的內(nèi)接正十二邊形的圓心角為，，
，
，
這個圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為，
故選：
10.【答案】D
解析：解：在中，
，
，
，，
，
∽，
甲同學(xué)正確；
在和中，
，
≌，
，
乙同學(xué)正確；
當(dāng)時，
，
，
，
，
，
，
D為BC的中點(diǎn)，
丙同學(xué)正確；
綜上所述：三個同學(xué)都正確．
故選：
11.【答案】
解析：解：由題知，
因為關(guān)于x的方程為，
所以方程的兩根之積為，
又因為方程的一個根為3，
所以方程的另一個根為
故答案為：
12.【答案】24
解析：解：由題意，盒中棋子的總個數(shù)是個
故答案為：
13.【答案】5
解析：解：直徑于點(diǎn)E，，，
，
設(shè)的半徑長為r，則，
在中，，即，
解得
故答案為：
14.【答案】或
解析：解：由圖可知，對稱軸為直線，與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，
函數(shù)圖象與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，
的解集是或
故答案為：或
15.【答案】
解析：解：設(shè)，四邊形ABCD面積為S，則，
則：，
當(dāng)時，；
所以，四邊形ABCD的面積最大值為
故答案為：
16.【答案】12
解析：解：作于E，連接OA，
，
，
，
，
，
∽，
，
的面積等于4，，
，
，
，
，
，
，
故答案為：
17.【答案】原式

解析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、二次根式化簡的計算方法，分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計算結(jié)果．
18.【答案】解：原方程兩邊都乘，去分母得：，
整理得：，
解得：，
檢驗：當(dāng)時，，
故原方程的解為
解析：利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進(jìn)行檢驗即可．
19.【答案】或
解析：解：點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，
將，代入中，得，
點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
將，代入中，得，
解得
聯(lián)立，
解得：或，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
由圖象得：當(dāng)一次函數(shù)的圖象位于反比例函數(shù)圖象下方，即時，或，
故答案為：或
20.【答案】
解析：解：依題意，總?cè)藬?shù)：人；
A等級對應(yīng)的扇形圓心角：；
B等級的人數(shù)：人；
如圖：
依題意，
“國家反炸中心APP”問卷調(diào)查得分不低于分的人數(shù)：人；
依題意，列出樹狀圖：
總共有16種結(jié)果，滿足選取的為1男1女的結(jié)果有7種，
則選取的為1男1女的概率：
21.【答案】證明：當(dāng)時，，
矩形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：在矩形ABCD中，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
解得：或舍去，

解析：根據(jù)題意可得矩形ABCD是正方形，再證明≌，即可；
證明∽，可得，從而得到，再由勾股定理，即可求解．
22.【答案】解：由題意可得：
，
與x的函數(shù)關(guān)系式為；
由題意，得：
，
，拋物線開口向下，
當(dāng)時，w最大，最大值4500，
答：當(dāng)銷售單價為70元時，每分鐘獲得的利潤最大，最大利潤是4500元；
根據(jù)題意得：，
解得，，
為了讓消費(fèi)者獲得最大的利益，
，
答：此時大米的銷售單價是65元．
解析：根據(jù)銷售單價每降1元，則分鐘可多銷售5袋，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
根據(jù)“東方甄選”每分鐘獲得的利潤w元等于每袋的利潤乘以銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
根據(jù)“東方甄選”每分鐘獲得的利潤w元等于每袋的利潤乘以銷售量以及保證捐款后每分鐘利潤不低于3875元，列出方程，求出方程的解，再根據(jù)讓消費(fèi)者獲得最大的利益，進(jìn)行取值即可．
23.【答案】證明：如圖，連接OC，
為的切線，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：，，
，
，
，
，

解析：連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，證明，得到；
根據(jù)三角形面積公式、扇形面積公式計算即可．
24.【答案】
解析：解：當(dāng)時，，
，
，
當(dāng)時，，
該拋物線的“2024最美芙蓉花”是：，
故答案為：，；
假設(shè)存在，
，該拋物線的“2024最美芙蓉花”是，
，，
，
；
，點(diǎn)A的“2024芙蓉花”為，
，
①，
由題意得，
，，
二次函數(shù)和二次函數(shù)的“2024最美芙蓉花”相等，
，
②，
是的直徑，
，
以長度分別為，，的三條線段剛好能構(gòu)成一個三角形，且構(gòu)成的三角形剛好和三角形ABC相似，
以長度分別為，，的三條線段剛好能構(gòu)成一個這個直角三角形，
③，
由①②③得，
，
25.【答案】證明：，
，
又，
∽；
解：設(shè)，，則，，
由∽可得，
，
，
同時可得和都是等腰三角形，
，
，
又，
，
，
；
解：由知，
，
則，，
則，
，
，，
∽，
，
，，
∽，
，
，

解析：根據(jù)圓周角定理即可證明∽；
設(shè)，，則，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，證明和都是等腰三角形，即可解答．
根據(jù)題意求得，證明∽，∽，表示出與的面積之比，即可解答．

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