數(shù)學試卷
一、選擇題（共10小題）
1．現(xiàn)實世界中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性，下列美術(shù)字是軸對稱圖形的是（ ）
A．誠B．信C．友D．善
2．要使分式有意義，則的取值應(yīng)滿足（ ）
A．B．C．D．
3．點關(guān)于y軸對稱的點的坐標是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)8 ÷ a2=a4B．a(chǎn)3·a4=a7C．（2a2）3=6a6D．（）-2=
6．下列各式中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
7．與的邊重合，．添加下一個條件后，仍無法判定的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點，連接，若，則的度數(shù)為（ ）

A．25°B．30°C．35°D．50°
9．如圖，在中，平分，，，則的長為（ ）
A．3B．11C．15D．9
10．關(guān)于的方程的兩個解為；的兩個解為；的兩個解為，則關(guān)于的方程的兩個解為（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（共6小題）
11．計算：＝ ．
12．數(shù)0.0000046用科學記數(shù)法表示為： ．
13．已知，則的值為 ．
14．我國古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩：“林下牧童鬧如簇，不知人數(shù)不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齊足”其大意是：“牧童們在樹下拿著竹竿高興地玩耍，不知與多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若設(shè)有牧童x人，根據(jù)題意，可列方程為 ．
15．已知a+b＝5，ab＝3，＝ ．
16．如圖，在中，，點和點在直線的同側(cè)，，連接，則的度數(shù)為 ．

三、解答題（共9小題）
17．計算
18．分解因式：
（1）；
（2）
19．先化簡，再求值：，其中．
20．解分式方程
(1)
(2)．
21．如圖，在平面直角坐標系中，點A（-3，0），點B（-1，5）．
(1)①畫出線段AB關(guān)于y軸對稱的線段CD；
②在y軸上找一點P使PA+PB的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡）；
(2)按下列步驟，用不帶刻度的直尺在線段CD找一點Q使∠BAQ=45°．
①在圖中取點E，使得BE=BA，且BE⊥BA，則點E的坐標為___________；
②連接AE交CD于點Q，則點Q即為所求．
22．已知，在中，，，，，垂足分別為點，．
(1)如圖，求證：；
(2)如圖，點為的中點，連接，請判斷的形狀？并說明理由．
23．“軍運會”期間，某紀念品店老板用5000元購進一批紀念品，由于深受顧客喜愛，很快售完，老板又用6000元購進同樣數(shù)目的這種紀念品，但第二次每個進價比第一次每個進價多了2元．
（1）求該紀念品第一次每個進價是多少元？
（2）老板以每個15元的價格銷售該紀念品，當?shù)诙渭o念品售出時，出現(xiàn)了滯銷，于是決定降價促銷，若要使第二次的銷售利潤不低于900元，剩余的紀念品每個售價至少要多少元？
24．如圖，在四邊形中，所在的直線垂直平分線段，過點作交于，延長、交于點．
(1)求證：平分；
(2)求證：；
(3)若，，的面積為求的長．
25．閱讀下面材料并解決有關(guān)問題：
（一）由于，所以，即，并且當時，；對于兩個非負實數(shù)，，由于所以，即，所以，并且當時，；
（二）分式和分數(shù)有著很多的相似點，如類比分數(shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)．小學里，把分子比分母小的數(shù)叫做真分數(shù)，類似的，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，如：；
(1)在①、②、③、④這些分式中，屬于假分式的是________（填序號）；
(2)已知：，求代數(shù)式的值；
(3)當為何值時，有最小值？并求出最小值．（寫出解答過程）
參考答案與解析
1．D
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念逐一進行分析即可得.
【詳解】A.不是軸對稱圖形，故不符合題意；
B.不是軸對稱圖形，故不符合題意；
C.不是軸對稱圖形，故不符合題意；
D.是軸對稱圖形，符合題意，
故選D.
【點睛】本題考查了軸對稱圖形的識別，熟知“平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形”是解題的關(guān)鍵.
2．A
【分析】根據(jù)分式的分母不為0可得關(guān)于x的不等式，解不等式即得答案．
【詳解】解：要使分式有意義，則，所以．
故選：A．
【點睛】本題考查了分式有意義的條件，屬于應(yīng)知應(yīng)會題型，熟知分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵．
3．C
【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，即可完成解答．
【詳解】解：點關(guān)于y軸對稱的點的坐標是；
故選：C．
【點睛】本題考查了點關(guān)于坐標軸對稱的問題，熟悉點關(guān)于坐標軸對稱的特點是關(guān)鍵．
4．B
【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；
B．是因式分解，故本選項符合題意；
C．右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；
D．右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．
5．B
【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法法則，冪的乘方與積的乘方運算法則以及負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則逐一判斷即可．
【詳解】解：A．a(chǎn)8÷a2=a6，故本選項不合題意；
B．a(chǎn)3·a4=a7，正確；
C．（2a2）3=8a6，故本選項不合題意；
D，（）-2=4，故本選項不合題意．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘方與積的乘方以及負整數(shù)指數(shù)冪，熟記冪的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．
6．D
【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，根據(jù)分式的性質(zhì)逐項判斷即可求解．
【詳解】解：A、等號右邊分子分母同時乘以，得左邊，故A錯誤，不合題意；
B、分式的分子分母同時加一個非零的數(shù)，得到的分式值與原分式不一定相等，故B錯誤，不合題意；
C、，故C錯誤，不合題意；
D、分子分母同時乘以，即，故D正確，符合題意．
故選：D
7．D
【分析】本題考查了全等三角形的判定定理．根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．
【詳解】解：A、、、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項不符合題意；
B、、、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項不符合題意；
C、、、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項不符合題意；
D、、、，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本選項符合題意；
故選：D．
8．A
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可得∠B=∠C=∠BAF，設(shè)∠B=x，則△ABC的三個內(nèi)角都可用含x的代數(shù)式表示，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得關(guān)于x的方程，解方程即得答案．
【詳解】解：∵，∴∠B=∠C，
∵EF垂直平分AB，∴FA=FB，∴∠B=∠BAF，
設(shè)∠B=x，則∠BAF =∠C=x，，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得：，解得：，即．
故選：A．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，屬于常見題型，熟練掌握上述基本知識是解題的關(guān)鍵．
9．B
【分析】在AC上截取AE＝AB，連接DE，如圖，先根據(jù)SAS證明△ABD≌△AED，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和已知條件可得∠BDE＝∠AED，進而可得CD＝EC，再代入數(shù)值計算即可．
【詳解】解：在AC上截取AE＝AB，連接DE，如圖，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，
∵∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB，
而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB，
∴∠BDE＝∠AED，∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11．
故選：B．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
10．D
【分析】根據(jù)題意可得：的兩個解為，然后把所求的方程變形為：的形式，再根據(jù)上述規(guī)律求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，得：的兩個解為，
∵方程即為：，
∴的解為：或，
解得：，．
故選：D．
【點睛】本題考查了分式方程的解法，解題時要注意給出的例子中的方程與解的規(guī)律，還要注意套用例子中的規(guī)律時，要保證所求方程與例子中的方程的形式一致．
11．1
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪公式可得答案．
【詳解】解：＝1；
故答案為：1．
【點睛】本題主要考查了零指數(shù)冪，任何非0數(shù)的0次冪等于1．
12．
【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法解答即可．
【詳解】解：0.0000046=．
故答案為：．
【點睛】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法，科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
13．﹣5
【分析】等式左邊根據(jù)多項式的乘法法則計算，合并后對比兩邊系數(shù)即得答案．
【詳解】解：∵，，
∴，∴m=﹣5．
故答案為：﹣5．
【點睛】本題考查了多項式乘多項式的運算法則，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握多項式乘法的運算法則是解題關(guān)鍵．
14．6x+14=8x
【分析】設(shè)有牧童x人，根據(jù)“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，竹竿的總數(shù)不變，列出方程，即可．
【詳解】解：設(shè)有牧童x人，
根據(jù)題意得：6x+14=8x，
故答案是：6x+14=8x．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵．
15．．
【分析】將a+b=5、ab=3代入原式=，計算可得．
【詳解】當a+b=5、ab=3時，
原式=
=
=
=.
故答案為．
【點睛】本題主要考查分式的加減法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的加減運算法則和完全平方公式．
16．30°
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理以及角的和差求出的度數(shù)，然后作點D關(guān)于直線AB的對稱點E，連接BE、CE、AE，如圖，則BE=BD，∠EBA=∠DB，∠BEA=∠BDA，進而可得∠EBC=60°，由于BD=BC，從而可證△EBC是等邊三角形，可得∠BEC=60°，EB=EC，進一步即可根據(jù)SSS證明△AEB≌△AEC，可得∠BEA的度數(shù)，問題即得解決．
【詳解】解：∵，，∴，
∵，∴，
作點D關(guān)于直線AB的對稱點E，連接BE、CE、AE，如圖，則BE=BD，∠EBA=∠DBA=11°，∠BEA=∠BDA，
∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，
∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等邊三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，
又∵AB=AC，EA=EA，
∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=，
∴∠ADB=30°．

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)等知識，涉及的知識點多、綜合性強，難度較大，作點D關(guān)于直線AB的對稱點E，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形的模型是解題的關(guān)鍵．
17．
【分析】先按照負整數(shù)指數(shù)冪、零次冪、絕對值的概念計算，再進一步合并即可．
【詳解】
．
【點睛】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、絕對值的運算，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的運算法則．
18．（1）；（2）．
【分析】（1）根據(jù)平方差公式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解．
【詳解】解：（1）；
（2）．
【點睛】本題考查了多項式的因式分解，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握分解因式的方法是解題關(guān)鍵．
19．；
【分析】先用平方差公式、完全平方公式展開，再去括號、合并同類項進行化簡，最后代入求值．
【詳解】
當時
原式
【點睛】本題考查平方差公式、完全平方公式、整式的化簡求值，熟練進行整式的化簡是解題的關(guān)鍵．
20．(1)
(2)無解
【分析】本題考查了分式方程的解法．
（1）方程兩邊同乘化為整式方程，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解；
（2）方程兩邊同乘，得，解得，經(jīng)檢驗不是原分式方程的解，即可得到原分式方程無解．
【詳解】（1）解：方程兩邊同乘，得 ，
解得 ，
檢驗：當時，，
∴是原方程的解；
（2）解：方程兩邊同乘，得 ，
解得 ，
檢驗：當時，，
∴不是原分式方程的解，
∴原分式方程無解．
21．(1)見解析
(2)①圖見解析，E（4，3）；②見解析
【分析】（1）由軸對稱的性質(zhì)可作出線段CD，連結(jié)AC交y軸于點P；
（2）①由垂直的定義可作出線段BE，可寫出點E的坐標；
②連接AE交CD于點Q，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知∠BAQ=45°，點Q即為所求．
【詳解】（1）解：①如圖所示，線段CD即為所求．
②如圖所示，點P就是所求的點；
（2）解：①由垂直的定義可作出線段BE，點E坐標為（4，3），
故答案為：（4，3）；
②如圖所示，點Q即為所求．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是靈活運用等腰直角三角形的性質(zhì)．
22．(1)見解析；
(2)是等腰直角三角形，理由見解析．
【分析】(1)根據(jù)垂直的定義及直角三角形中兩個銳角互余得出角相等，再由全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；
(2)連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及斜邊上的中線的性質(zhì)得出，，，再由全等三角形的判定得出，，最后結(jié)合圖形證明即可．
【詳解】（1）解：證明：，，
，
．
，
，
．
在和中，
，
，，
，
即；
（2）是等腰直角三角形．
理由：如圖2，連接．
，
，
點是中點，
，
，
，
．
，
，
且，
．
在和中，
，．
在和中，
．
，
，
，且，
是等腰直角三角形．
【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．
23．（1）10元；（2）至少要12元．
【分析】（1）設(shè)該紀念品第一次每個進價是x元，則第二次每個進價是（x+2）元，再根據(jù)等量關(guān)系：第二次進的個數(shù)＝第一次進的個數(shù)即可列出方程，解方程即得結(jié)果；
（2）設(shè)剩余的紀念品每個售價y元，由利潤＝售價﹣進價，根據(jù)第二批的銷售利潤不低于900元即可列出關(guān)于y的不等式，解不等式即得結(jié)果．
【詳解】解：（1）設(shè)該紀念品第一次每個進價是x元，由題意得：
，解得：x＝10，
經(jīng)檢驗x＝10是分式方程的解，
答：該紀念品第一次每個進價是10元；
（2）設(shè)剩余的紀念品每個售價y元，由（1）知，第二批購進＝500（個），
根據(jù)題意，得：15×500×+y×500×﹣6000≥900，解得：y≥12．
答：剩余的紀念品每個售價至少要12元．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和不等式的應(yīng)用，屬于?？碱}型，正確理解題意、找準相等關(guān)系是解題關(guān)鍵．
24．(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得到，進而得到，根據(jù)，得到，即可得到，問題得證；
（2）根據(jù)線段垂直平分線段性質(zhì)得到，進而得到，即可得到，根據(jù)即可證明；
（3）先證明，過點作，垂足為，根據(jù)的面積為求出，根據(jù)平分，，，即可求出．
【詳解】（1）證明：∵所在的直線垂直平分線段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）證明：∵所在的直線垂直平分線段，
∴，
∴，
∵是的一個外角，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
過點作，垂足為，
∵的面積為，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，，，
．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形兩銳角互余，角平分線的性質(zhì)等知識，熟知相關(guān)知識并根據(jù)圖形特點靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
25．(1)①②④
(2)
(3)時，有最小值，最小值為3
【分析】本題為新定義問題，創(chuàng)新題，考查了分式的計算，二次根式的變形，完全平方公式的應(yīng)用等知識，理解題目中的相關(guān)材料，并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)真分式、假分式的定義逐項判斷即可求解；
（2）先根據(jù)，得到，進而得到，即可得到，利用倒數(shù)的定義即可求出；
（3）先求出，再將變形為根據(jù)（一）結(jié)論得到，即可求出當且僅當，即時，有最小值，最小值為3．
【詳解】（1）解：①是假分式，符合題意；
②是假分式，符合題意；
③是真分式，不合題意；
④是假分式，符合題意．
故答案為：①②④．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由題意，，
∴．
原式
．
當且僅當，即時，等號成立．
∴原式的最小值為3．

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