1．（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．三點確定一個圓
B．平分弦的直徑垂直于弦
C．明天我市會下雨是隨機事件
D．某種彩票中獎的概率是1%，則買100張該種張票一定會中獎
3．（3分）已知反比例函數(shù)的圖象經過點（8，﹣2）和點（﹣8，m），則m的值為（ ）
A．﹣2B．﹣8C．2D．8
4．（3分）拋物線y＝﹣x2﹣2的頂點坐標是（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
5．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在AB上，EF∥AD交CD于點F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，則FC的長為（ ）
A．6B．3C．5D．9
6．（3分）如圖，將△ABC繞點C順時針方向旋轉40°得△A′CB′，若AC⊥A′B′，則∠BAC等于（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
7．（3分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是直徑，D是AC的中點．若∠B＝40°，則∠A的大小為（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
8．（3分）在同一平面直角坐標系中，若ab＜0，則函數(shù)y＝ax+b與y=bx的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如圖，在△ABC與△ADE中，∠B＝∠D，添加下列一個條件不能使△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAEB．ABBC=ADDEC．∠C＝∠ED．ABAD=AEAC
10．（3分）如圖，⊙O是四邊形ABCD的內切圓，若該四邊形的周長是24，面積是36，則⊙O的半徑是（ ）
A．1.5B．3C．4D．6
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）在一個不透明的袋子中放有10個白球，若干個紅球，這些球除顏色外完全相同．每次把球充分攪勻后，任意摸出一個球記下顏色，再放回袋中．通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則紅球約有 個．
12．（3分）某校九年級學生做電路實驗，測得電路的電流I（單位：A）與電路的電阻R（單位：Ω）的數(shù)據(jù)如表，已知閉合電路的電流I（單位：A）與電路的電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關系．當電阻R＝150Ω時，電流I＝ A．
13．（3分）圓錐側面積為6πcm2，側面展開扇形的半徑為3cm，則圓錐底圓半徑為 cm．
14．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是DC的中點，連結BE交AC于點F，F(xiàn)C＝3，則AF的長為 ．
15．（3分）如圖，這是一種用于液體蒸餾或分餾物質的玻璃容器——蒸餾瓶，其底部是圓球形．已知截面圓中弦AB的長為122cm，瓶內液體的最大深度CD＝6cm，則球形的半徑為 cm．
16．（3分）定義：如果將一個三角形繞著它一個角的頂點旋轉后．使這個角的一邊與另一邊重疊，再將旋轉后的三角形進行相似縮放，使重疊的兩條邊互相重合，我們稱這樣的圖形變換為三角形轉似，這個角的頂點稱為轉似中心，所得的三角形稱為原三角形的轉似三角形．
如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，△A1BC1是△ABC以點B為轉似中心的其中一個轉似三角形，那么以點B為轉似中心的另一個轉似三角形△A2BC2（點A2、C2分別與A、C對應）的邊A2C2的長為 ．
三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（6分）計算：2?1+(?1)2022+|12?2|?(π?3.14)4．
18．（6分）先化簡，再求值：（x+2）（2x﹣1）﹣2x（x+3），其中x＝﹣1．
19．（6分）已知O是坐標原點，A、B的坐標分別為（3，1），（2，﹣1）．
（1）以原點O為位似中心，位似比為2：1，在y軸的左側，畫出△OAB放大后的圖形△OA1B1；
（2）求△OA1B1的面積；
（3）若點D（a，b）在線段OA上，點D對應點D1的坐標為 ．
20．（8分）某校道德與法治學科實踐小組放近期人們比較關注的五個話題：“A.5G通訊；B．北斗導航；C．HarmmyOS系統(tǒng)；D．電動汽車；E．光伏產品”，對學生進行了隨機抽樣調查，每人只能從中選擇一個本人最關注的話題，根據(jù)調查結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
請結合統(tǒng)計圖中的信息，解決下列問題：
（1）實踐小組在這次活動中，調查的學生共有 人；最關注話題扇形統(tǒng)計圖中的 a＝ ，話題D所在扇形的圓心角是 度；
（2）將圖中的最關注話題條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）實踐小組進行專題討論時，甲、乙兩個小組從三個話題：“A.5G通訊；B．北斗導航：C．HarmmyOS系統(tǒng)”中抽簽（不放回）選一項進行發(fā)言，請利用樹狀圖或表格，求出兩個小組分別選擇A，B話題發(fā)言的概率．
21．（8分）如圖，矩形ABCD中，E為BC上一點，DF⊥AE于點F．
（1）證明△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝3，AD＝6，AE＝5，求AF的長．
22．（9分）某興趣小組在開展“探究小球與水面高度關系”的項目式學習活動中，準備了若干體積相同的大球和體積相同的小球，并嘗試將球放入一個有水的高為55cm的圓柱形燒杯中（燒杯中原有水面高度是26cm），以觀察放入大球和小球數(shù)量和燒杯中水面高度的變化情況，興趣小組的同學根據(jù)水面高度的變化繪制了實驗結果見圖（如圖）．
請根據(jù)圖中信息回答下面的問題：
（1）放入一個小球水面升高 cm．
A．2
B．3
C．6
D．11.5
（2）若放入大球、小球共10個，要使水面上升到50cm，求放入大球、小球各多少個？
（3）現(xiàn)有充足的大球和小球，要使水面上升到50cm下面的方案正確的序號是 ．
①往燒杯中放入1個大球和10個小球；
②往燒杯中放入2個大球和9個小球；
③往燒杯中放入4個大球和7個小球；
④往燒杯中放入6個大球和3個小球；
⑤往燒杯中放入8個大球．
A．①②④⑤
B．②④⑤
C．①④⑤
D．②③④
23．（9分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，半徑OE⊥AB，CE交AB于點F，點D在AB的延長線上，且DC＝DF．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若∠OEC＝15°，OE＝3，求圖中陰影部分的面積．
24．（10分）我們約定：在平面直角坐標系中，如果兩個函數(shù)圖象有且只有一個公共點，我們就稱這兩個函數(shù)互為“相依函數(shù)”，這個公共點稱為“相值點”．
（1）試判斷一次函數(shù)y＝﹣x+1與反比例函數(shù)y=2x是否為“相依函數(shù)”，并說明理由；
（2）若函數(shù)y1＝kx+b與函數(shù)y2=6x互為“相依函數(shù)”，“相依點”為（a，a+1）且在第一象限，求函數(shù)y1的解析式；
（3）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，△ABC為直角三角形，且4OA＝OB，一次函數(shù)與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c互為“相依函數(shù)”，點C為“相依點”，一次函數(shù)圖象交x軸于點P，若△OPC的外心在反比例函數(shù)y=?6x上，求二次函數(shù)解析式．
25．（10分）如圖，在正方形ABCD中，點M是中心，點P是邊AB上一動點，連接PM并延長交CD于點E，將△CPE沿PE翻折得到△C′PE，作△C′PE的外接圓⊙O交邊AD于點F，交PC于點G．
（1）求證：△CEG為等腰三角形；
（2）當⊙O與CD相切時，求BPAP的值；
（3）若正方形的邊長為6，設BP＝x，當點P在邊AB上運動時，
①求證：點A始終在⊙O上；
②設DF＝y(tǒng)，當0＜x＜3時，求y關于x的函數(shù)關系式，并求y的最大值．
2024-2025學年湖南省長沙市雨花區(qū)華益中學九年級（上）段考數(shù)學試卷（12月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的，請在答題卡中填涂符合題意的選項，本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1．【解答】解：選項A、B、C均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；
選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
故選：D．
2．【解答】解：A、三點確定一個圓，說法錯誤，應為不在同一直線上的三點確定一個圓；
B、平分弦的直徑垂直于弦，說法錯誤，應為平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；
C、明天我市會下雨是隨機事件，說法正確；
D、某種彩票中獎的概率是1%，則買100張該種張票一定會中獎，說法錯誤；
故選：C．
3．【解答】解：設反比例函數(shù)的解析式為y=kx，
∵點（8，﹣2）在反比例函數(shù)圖象上，
∴k＝﹣16，
∴y=?16x，
當x＝﹣8時，y＝2，
故m＝2．
故選：C．
4．【解答】解：拋物線頂點坐標是（0，﹣2），
故選：D．
5．【解答】解：∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD，
∴AD∥EF∥BC，
∴AEEB=DFFC，
即12=3FC，
解得FC＝6，
故選：A．
6．【解答】解：將△ABC繞點C順時針方向旋轉40°得△A’CB’，
∴∠A′CA＝40°，
∵AC⊥A′B′，
∴∠A′＝90°﹣40°＝50°，
由對應角相等，得∠BAC＝∠A′＝50°．
故選：A．
7．【解答】解：∵AB是直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵D是AC的中點，
∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC=12×40°＝20°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝70°．
故選：C．
8．【解答】解：∵ab＜0，
①若a＞0，b＜0，則直線經過一、三、四象限，反比例函數(shù)圖象位于二、四象限，
②若a＜0，b＞0，則直線經過一、二、四象限，反比例函數(shù)圖象位于一、三象限，
只有選項A符合題意，
故選：A．
9．【解答】解：A、∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
又∵∠B＝∠D，
∴△ADE∽△ABC，不合題意；
B、∵ABBC=ADDE，∠B＝∠D，
∴△ADE∽△ABC，不合題意；
C、∵∠B＝∠D，∠E＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，不合題意；
D、ABAD=AEAC無法得出△ABC與△ADE相似，符合題意．
故選：D．
10．【解答】解：⊙O是四邊形ABCD的內切圓，設切點分別為：F，G，M，E，
連接FO，OA，OG，OC，OM，OB，OE，OD，⊙O的半徑為r，
∴FO＝OG＝OM＝OE＝r，
∴四邊形ABCD的面積=12EO?AD12OM12DC+12GO?BC+12FO?AB
=12（AD+AB+BC+DC）r
=12×24r
＝36，
解得：EO＝3．
故⊙O的半徑為3．
故選：B．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11．【解答】解：∵通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，
∴摸到白球的概率為0.25，
∴小球的總數(shù)約為：10÷0.25＝40（個），
則紅球的個數(shù)為：40﹣10＝30（個）．
故答案為：30．
12．【解答】解：設I=kR(k≠0)，
∴把I＝10A，R＝20Ω代入I=kR(k≠0)，
得10=k20，
解得k＝200，
∴I=200R，
把R＝150Ω代入I=200R，
∴I=200150=43(A)．
故答案為：43．
13．【解答】解：設圓錐底圓半徑為r cm，由條件可知：
12×2π×r×3＝6π，
∴r＝2，
故答案為：2．
14．【解答】解：由題意可得：AB＝DC，AB∥CD，
∵E是DC的中點，
∴EC=12DC，
∴EC=12AB，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴ECAB=CFAF=12．
∴3AF=12，
∴AF＝6．
15．【解答】解：設OA＝OD＝r cm．
根據(jù)題意，得AB⊥OD，
∵AB＝122cm，
∴AC=12AB=12×122=62（cm），
∵CD＝6cm，
∴OC＝OD﹣CD＝（r﹣6），
在Rt△ACO中利用勾股定理，得AC2+OC2＝OA2，
∴（62）2+（r﹣6）2＝r2，
∴r＝9，
∴球形的半徑為9cm．
故答案為：9．
16．【解答】解：根據(jù)題意作圖如下，
∵△ABC∽△A2BC2，
∴ACA2C2=BABA2，
∴5A2C2=46，
∴A2C2=152，
故答案為：152．
三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．【解答】解：原式=12+1+2?12?1=2．
18．【解答】解：（x+2）（2x﹣1）﹣2x（x+3）
＝2x2﹣x+4x﹣2﹣2x2﹣6x
＝﹣3x﹣2，
當x＝﹣1時，
原式＝﹣3×（﹣1）﹣2＝1．
19．【解答】解：（1）△OA1B1如圖所示：
（2）△OA1B1的面積＝4×6?12×6×2?12×4×2?12×2×4＝10；
（3）由圖可得：點D（a，b）在線段OA上，點D對應點D1的坐標為（﹣2a，﹣2b），
故答案為：（﹣2a，﹣2b）．
20．【解答】解：（1）調查的學生共有：60÷30%＝200（人），
選擇C的學生有：200×15%＝30（人），
∴選擇A的學生有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
a%=50200×100%=25%，
360°×20200=36°，
故答案為：200，25，36；
（2）補全的條形統(tǒng)計圖如圖1；
（3）畫樹狀圖如圖2：
共有6個等可能的結果，甲、乙兩個小組選擇A、B話題發(fā)言的結果有2個，
∴兩個小組選擇A、B話題發(fā)言的概率為26=13．
21．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，BC∥AD，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF⊥AE于點F，
∴∠AFD＝90°，
∴∠B＝∠AFD，
∴△ABE∽△DFA．
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝3，AE＝5，
∴EB=AE2?AB2=52?32=4，
∵△ABE∽△DFA，AD＝6，
∴AFEB=ADAE=65，
∴AF=65EB=65×4=245，
∴AF的長是245．
22．【解答】解：（1）由題意，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可得，（32﹣26）÷3＝2．
故答案為：2；
（2）設放入大球x個，則放入小球（10﹣x）個，
則26+3x+2（10﹣x）＝50．
∴x＝4．
∴10﹣x＝6．
答：放入大球4個，則放入小球6個．
（3）設放入小球x個，大球y個，則2x+3y＝50﹣26．
∴方程的非負整數(shù)解為：x=12y=0，x=2y=9，x=6y=3，x=8y=0．
故答案為：B．
23．【解答】（1）證明：連接OC，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵CD＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC＝∠EFO，
∵OE⊥AB，
∴∠EOF＝90°，
∴∠E+∠OFE＝90°，
∴∠OCF+∠DCF＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∵OC是⊙O的半徑，
∴DC是⊙O的切線；
（2）解：∵∠OEC＝15°，∠EOF＝90°，
∴∠OFE＝∠DFC＝∠DCF＝75°，
∴∠D＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OE＝3，
∴CD=3OC=33，
∴圖中陰影部分的面積＝△COD的面積﹣扇形COB的面積=12×3×33?60π×32360=932?3π2．
24．【解答】解：（1）兩個函數(shù)不是“相依函數(shù)”，理由：
聯(lián)立兩個函數(shù)表達式得：﹣x+1=2x，
則Δ＝1﹣8≠0，
故兩個函數(shù)不是“相依函數(shù)”；
（2）由題意得：a（a+1）＝6，則a＝﹣3（舍去）和2，
則“相依點”為（a，a+1）為（2，3），
則一次函數(shù)的表達式為：y＝k（x﹣2）+3，
聯(lián)立兩個函數(shù)表達式得：6x=k（x﹣2）+3，
則Δ＝（3﹣2k）2+24k＝0，則k=?32，
則y1的解析式為y1=?32x+6；
（3）設點A（﹣t，0），則點B（4t，0），
∵△ABC為直角三角形，則CO2＝OA?OB＝4t2，
則OC＝2t，即點C（0，2t），
則拋物線的表達式為：y＝a（x+t）（x﹣4t），
將點C的坐標代入上式并解得：a=?12t，
則哦微信的表達式為：y=?12t（x+t）（x﹣4t），
設一次函數(shù)的表達式為：y＝kx+2t，
聯(lián)立兩個函數(shù)表達式得：?12t（x+t）（x﹣4t）y＝kx+2t，即x2+（2kt﹣3t）x＝0，
則Δ＝（2kt﹣3t）2＝0，則k=32，
則一次函數(shù)表達式為：y=32x+2t，則點P（?43t，0），
則OP的中點為（?23t，0），OC的中點為（0，t），
則外心為（?23t，t），則?23t×t＝﹣6，則t＝2（負值已舍去），
則拋物線的表達式為：y=?14x2+32x+4．
25．【解答】（1）證明：∵四邊形GEC′P為⊙O內接四邊形，
∴∠PGE+∠PC′E＝180°，
又∵∠PGE+∠CGE＝180°，
∴∠PC′E＝∠CGE．
根據(jù)題意△CPE≌△C′PE，則∠PCE＝∠PC′E．
∴∠PCE＝∠CGE，
∴△CEG為等腰三角形．
（2）解：連接EO并延長交⊙O于點H，作PI⊥CD，I為垂足．
∵EH是⊙O的直徑，
∴∠EGH＝90°，
由于⊙O與CE相切，∠CEH＝90°，根據(jù)同角的余角相等可得∠CEG＝∠GHE．
∵∠CPE＝∠GHE，
∴∠CPE＝∠CEG，
又∵∠ECP＝∠GCE，
∴△CPE∽△CEG．
由（1）知△CEG為等腰三角形，則△CPE也為等腰三角形，CP＝PE．
由等腰三角形的性質可得CI＝IE，
根據(jù)平行線間距離相等可得BP＝CI，根據(jù)正方形的性質，由BP和DE關于點M中心對稱可得BP＝ED．
∴AB＝CD＝CI+IE+ED＝3ED＝3BP．
∴BPAP=12．
（3）①證明：如圖，連接正方形ABCD的對角線AC，CM＝AM．
∵正方形是中心對稱圖形，AP和CE關于點M中心對稱，
∴MP＝ME，CE＝PA．
由翻折圖形關于折線軸對稱的性質可得CM＝C′M，CE＝C′E．
∴PA＝C′E，AM＝C′M．
在△APM和△C′EM中，MP＝ME，PA＝C′E，AM＝C′M，則△APM≌△C′EM（SSS）．
∴∠AMP＝∠C′ME．
∵點M是⊙O中弦PE的中點．
∴OM⊥PE．
根據(jù)等角的余角相等可得∠AMO＝∠C′MO．
在△AMO和△C′MO中，OM＝OM，∠AMO＝∠C′MO，AM＝C′M，則△AMO≌△C′MO（SAS）．
∴AO＝C′O，
∴點A在⊙O上．
②如圖，作PI⊥CD，I為垂足，連接EF，PF．
∵∠PAF＝90°，
∴PF為⊙O的直徑．
∴∠PEF＝90°．
∴∠DEF+∠PEI＝90°，
∵∠IPE+∠PEI＝90°，
∴∠DEF＝∠IPE．
∴Rt△DEF∽Rt△IPE．
∴DFIE=DEPI．
∵PI＝BC＝6，DE＝BP＝x，DF＝y(tǒng)，IE＝CD﹣CI﹣DE＝6﹣2DE＝6﹣2x
∴y=x6×（6﹣2x）=?13x2+x=?13（x?32）2+34≤34．
當x=32時，符合x所在范圍，y有最大值34．
故y=?13x2+x，y最大值為34．
I（單位：A）
10
5
2.5
2
R（單位：Ω）
20
40
80
100
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
D
A
A
C
A
D
B

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2023-2024學年湖南省長沙市雨花區(qū)廣益中學九年級（上）第一次段考數(shù)學試卷（含解析）

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2020-2021學年湖南省長沙市雨花區(qū)廣益實驗中學九上入學數(shù)學試卷

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2022-2023學年湖南省長沙市雨花區(qū)廣益實驗中學八年級（上）入學數(shù)學試卷（含解析）

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