1．剪紙藝術(shù)是最古老的中國(guó)民間藝術(shù)之一，先后入選中國(guó)國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．下列剪紙圖案中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，在⊙O中，，則等于（ ）
A．B．C．D．

（第2題圖） （第7題圖） （第8題圖）
3．把拋物線向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線是（ ）
A． B． C． D．
4．若是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（ ）
A．B．C．D．
5．關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．頂點(diǎn)是 B．圖象開(kāi)口向上
C．函數(shù)有最小值 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大
6．《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)．問(wèn)甲、乙行各幾何？”大意是說(shuō)：已知甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3．乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多少步？若設(shè)甲、乙二人從出發(fā)到相遇的時(shí)間為，根據(jù)題意，可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．如圖，在半徑為5的⊙O中，AB是直徑，是弦，D是弧的中點(diǎn)，與BD交于點(diǎn)E．若，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，中，，，，以點(diǎn)A為圓心、為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為圓心、為半徑畫弧，交于點(diǎn)F，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
9．如圖1，，在矩形中，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，圖2是點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，關(guān)于的函數(shù)圖象，則的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．6C．7D．8
10．如圖，矩形的邊，的長(zhǎng)是關(guān)于m的一元二次方程 的兩個(gè)根，且．將矩形沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與交于點(diǎn)E，連接，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（ ）
① ② ③ ④
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

（第9題圖） （第10題圖） （第13題圖）
二、填空題（共5題，每題3分，共15分）
第15題圖
第14題圖
11．關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是，則 ．
12．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
13．如圖，A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心，若，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為
14．如圖，⊙O的直徑CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于點(diǎn)E，OE:OC＝1:3，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)___.

15．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是12，BE=EC,將正方形邊CD沿DE折疊到DF，延長(zhǎng)EF交AB于G，連接DG，現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④．在以上結(jié)論中，正確的有______（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）.
三、解答題（共9題，共75分）
16．（6分）解方程：．
17．（7分）如圖，在中，，△DCE是繞著點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，此時(shí)、、在同一直線上．求：
旋轉(zhuǎn)角的大??；
若，，求的長(zhǎng)．
18．（6分）僅用無(wú)刻度直尺按要求畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．
(1)如圖，為⊙O的弦，畫一條與長(zhǎng)度相等的弦；
(2)如圖，正五邊形內(nèi)接于圓，請(qǐng)作出一條直徑；
第18題
第19題
19．（7分）如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來(lái)測(cè)量操場(chǎng)旗桿AB的高度，他們通過(guò)調(diào)整測(cè)量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上，已知米，米，測(cè)點(diǎn)D到地面的距離米，到旗桿的水平距離米，求旗桿的高度．
20．（8分）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若為方程的一個(gè)根，且滿足，求整數(shù)的值．
21．（9分）如圖，四邊形是⊙O的內(nèi)接四邊形，是直徑，是弧BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作 交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
(1)求證：是⊙O的切線；
(2)連接，已知，求DB的長(zhǎng)．
22．（8分）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
23．（12分）在綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小明以“圓”為主題開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)．
【操作發(fā)現(xiàn)】
小明作出了⊙O的內(nèi)接等腰三角形，．并在邊上任取一點(diǎn)（不與點(diǎn)， 重合），連接，然后將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．如圖①
小明發(fā)現(xiàn)：與⊙O的位置關(guān)系是__________，請(qǐng)說(shuō)明理由：
【問(wèn)題解決】1: 連接，與相交于點(diǎn)．如圖②，求證?ABC∽?ADE
【問(wèn)題解決】2：連接，與相交于點(diǎn)．如圖②，求證?ABD∽?DCF
【實(shí)踐探究】
連接，與相交于點(diǎn)．如圖②，小明又發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?ABC確定時(shí)，線段的長(zhǎng)存在最大值．請(qǐng)求出當(dāng)．時(shí)，長(zhǎng)的最大值；

24．（12分）綜合與探究：
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B0,3，點(diǎn)是拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)，點(diǎn)）．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，且在直線上方，求△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖，過(guò)原點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．求證：是一個(gè)定值．
2024-2025學(xué)年度九年級(jí)數(shù)學(xué)月考試卷答案
參考答案：
11． 12． 13．九/9 14． cm 15．①②④
16．解：，
， ……………………………………2分
∴，
∴， ……………………………………4分
∴或， ……………………………………5分
解得， ……………………………………6分
17． ∵是繞著點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，此時(shí)、、在同一直線上，
∴，
即旋轉(zhuǎn)角為； ……………………………………3分
在中，∵，，
∴， ……………………………………5分
∵繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∴． ……………………………………7分
18．（1）解：與長(zhǎng)度相等的弦如圖所示：………………………………3分

（2）解：直徑如圖所示： …………………………………………3分

19． 解：，，
， ……………………………………2分
，
即，
解得， ……………………………………4分
，，，
，
四邊形是矩形，
，
（米）． ……………………………………6分
答：旗桿的高度為14米． ……………………………………7分
20． （1）證明：，……………………………………1分
∴，
，
， ……………………………………3分
該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根． ……………………………………4分
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，， ……………………………………6分
，即，
又為整數(shù)，
可取，． ……………………………………8分
21． （1）證明：如圖，連接，…………………………………………4分

∵，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線；
（2）解：如圖，連接CD，設(shè)交點(diǎn)為F，……………………9分

∵是直徑，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴．
22． 解：任務(wù)，由題意可知，，，．
把，代入，得，
，
解得：， …………………………………………4分
任務(wù)，不能．理由如下：
由任務(wù)知，該拋物線的解析式為，
∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即繩子甩到最高處時(shí)最高點(diǎn)的高度為米，
∵，
∴他站立時(shí)繩子不能順利從他頭頂越過(guò)． ……………………………………8分
23操作發(fā)現(xiàn)： ……………………………………………………………3分
解：連接并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)M，連接，

∵M(jìn)C是⊙O直徑，
，
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，
∵，
，
，
∵OC是⊙O的半徑，
與⊙O相切；
問(wèn)題解決1： ……………………………………………………………6分
解： 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
即，
∵AB=AC，
，
，
問(wèn)題解決2： ……………………………………………………………9分
，
，
，
，
實(shí)踐探究：……………………………………………………………12分
解： ，
，
設(shè)，則，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值為；
24．（1）解：把點(diǎn)和點(diǎn)B0,3的坐標(biāo)代入，
得到：，
解得：， ………………………………………… 3分
拋物線的解析式為； ……………………………… 4分
（2）解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸，交AB于點(diǎn)，

設(shè)直線AB的解析式為，
把點(diǎn)和點(diǎn)B0,3的坐標(biāo)代入，
可得：，
解得：，
直線AB的解析式為， ……………………………6分
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，
，
整理得：，
可知當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值是，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為， ………………………………8分
（3）證明：設(shè)直線的解析式為，
解方程組，
可得：，
整理得：， ………………………………10分
一元二次方程中，
，
一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
這兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根分別為、，
則有，
是一個(gè)定值． …………………………………………12分
問(wèn)題背景
如圖是某校利用大課間開(kāi)展陽(yáng)光體育跳大繩活動(dòng)的瞬間，跳繩時(shí)，繩甩到最高處時(shí)的形狀可以看作拋物線，為了了解學(xué)生的身高與跳繩時(shí)所站位置之間的關(guān)系，九年級(jí)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組開(kāi)展了一次探究活動(dòng)．
素材
如圖，小組成員測(cè)得甲、乙兩名同學(xué)拿繩的手間距為米，到地面的距離和均為米．
素材
如圖，身高為米的小麗站在距點(diǎn)的水平距離為米的點(diǎn)處，繩子甩到最高處時(shí)剛好通過(guò)她的頭頂點(diǎn)．以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
問(wèn)題解決
任務(wù)
設(shè)此拋物線的解析式為，求的值．
任務(wù)
身高為米的張老師也想?yún)⒓哟舜翁K活動(dòng)，問(wèn)：他站立時(shí)繩子能否順利從他頭頂越過(guò)？請(qǐng)說(shuō)明理由．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
A
A
A
D
A
A
C

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