一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡題號右側(cè)的正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．
1. 實數(shù)的倒數(shù)是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查實數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，進行求解即可．
【詳解】解：實數(shù)的倒數(shù)是；
故選D．
2. 下列圖形中，對稱軸條數(shù)最多是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了對稱軸的條數(shù)，分別判斷出每個選項的對稱軸的條數(shù)即可得解．
【詳解】解；A、有條對稱軸，
B、有3條對稱軸，
C、有6條對稱軸，
D、有無數(shù)條對稱軸，
故選：D．
3. 下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、單項式除以單項式、合并同類項，根據(jù)同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、單項式除以單項式、合并同類項的運算法則逐項分析即可得解，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、，故原選項計算錯誤，不符合題意；
B、，故原選項計算錯誤，不符合題意；
C、，故原選項計算正確，符合題意；
D、和不是同類項，不能直接相加，故原選項計算錯誤，不符合題意；
故選：C．
4. 估算的值在（ ）
A. 3和4之間B. 4和5之間
C 5和6之間D. 6和7之間
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，先計算出，再估算出，即可得解．
【詳解】解：，
∵，
∴，
∴，即，
故選：B．
5. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 對角線相等的四邊形是平行四邊形
B. 對角線互相垂直的平行四邊形是矩形
C. 對角線互相平分的四邊形是菱形
D. 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了命題，平行四邊形、矩形、菱形的判定，熟練掌握各判定方法是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形的判定逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，則此項命題是假命題，不符合題意；
B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或?qū)蔷€相等的平行四邊形是矩形），則此項命題是假命題，不符合題意；
C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，則此項命題是假命題，不符合題意；
D、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，則此項命題是真命題，符合題意；
故選：D．
6. 已知為第二象限內(nèi)的點，則一次函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)為第二象限內(nèi)的點，可得，進而得到一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，即可求解．
【詳解】解：∵為第二象限內(nèi)的點，
∴，
∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)，當(dāng)時，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當(dāng)時，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)時，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當(dāng)時，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限是解題的關(guān)鍵．
7. 小慶參加了2025年重慶春晚分會場節(jié)目錄制志愿者工作．一天，他需要從家出發(fā)勻速騎電動車前往分會場，2分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)小慶忘帶志愿者工作證，于是立即開車勻速去追小慶，追上小慶后叮囑了幾分鐘，爸爸按原速原路返回家，小慶以原速的趕往會場，爸爸到家3分鐘后小慶也到達了會場，兩人與家的距離與小慶從家出發(fā)到會場的時間之間的關(guān)系如圖所示，下列說法中正確的個數(shù)有（ ）
①小慶從家出發(fā)到達分會場總共用時19分鐘；
②小慶提速后的速度為；
③爸爸開車的速度為．
A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了函數(shù)圖象、一元一次方程的應(yīng)用，從函數(shù)圖象中正確獲取信息是解題關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)圖象可得小慶爸爸開車追上小慶所用時間為，則當(dāng)小慶爸爸到家時，，然后根據(jù)爸爸到家3分鐘后小慶也到達了會場即可判斷①正確；設(shè)小慶原來的速度為，根據(jù)路程速度時間建立方程，解方程求出的值，由此即可判斷②正確；設(shè)爸爸開車的速度為，根據(jù)小慶爸爸開車追上小慶時，兩人所走的路程相等建立方程，解方程求出的值，由此即可判斷③錯誤．
【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，小慶爸爸開車追上小慶所用時間為，
∵追上小慶后叮囑了幾分鐘，爸爸按原速原路返回家，
∴當(dāng)小慶爸爸到家時，，
∵爸爸到家3分鐘后小慶也到達了會場，
∴小慶從家出發(fā)到達分會場總共用時分鐘，則說法①正確；
設(shè)小慶原來的速度為，
則，
解得，
則小慶提速后的速度為，說法②正確；
設(shè)爸爸開車的速度為，
則，
解得，
所以爸開車的速度為，說法③錯誤；
綜上，說法中正確的個數(shù)有2個，
故選：C．
8. 如圖，在正方形中，點是上一點，連接，過點作的垂線交對角線于點，垂足為，若，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，由正方形的性質(zhì)可得，，由勾股定理可得，從而得出，證明，得出，即可得解．
【詳解】解：∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
9. 若關(guān)于的一元一次不等式組有解且最多有4個整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)．則符合條件的的值和為（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程、解一元一次不等式組，先解不等式組結(jié)合不等式組有解且最多有4個整數(shù)解得出，再解分式方程得出，結(jié)合分式方程的解為整數(shù)．且得出或或或或，求和即可得解．
【詳解】解：，
解不等式①可得：，
解不等式②得：，
∵關(guān)于的一元一次不等式組有解且最多有4個整數(shù)解，
∴，
解得：，
解分式方程得：，
∵關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)．且，
∴或或或或，
∴符合條件的的值和為，
故選：B．
10. 已知整式，其中為自然數(shù)，為正整數(shù)，、均為整數(shù)，若．下列說法正確的個數(shù)有（ ）
①滿足條件的整式共有12個；
②所有滿足條件的多項式中，沒有三項式和四項式；
③當(dāng)或時，所有滿足條件的整式的和為4．
A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了整式的相關(guān)知識點，分四種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別求解并逐項分析即可得解，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴當(dāng)時，，此時或，
∵為正整數(shù)，
∴，即整式為，共1個，
當(dāng)時，，此時，
若，則，整式為，
若，則，整式為或，
若，則，整式為或，共5個；
當(dāng)時，，此時，
若，則，整式為，
若，則，
∴，或，，
整式為，，，，共5個；
當(dāng)時，，此時，
∵為正整數(shù)，
∴，，整式為，共個，
∴滿足條件的整式共有種，故①正確；
所有滿足條件的多項式中，沒有三項式和四項式，故②正確；
當(dāng)時，所有多項式的和為之和，為，
當(dāng)時，當(dāng)時，和為，當(dāng)時，和為，當(dāng)時，和為，
當(dāng)時，和為，總計為，故③正確；
綜上所述，正確的有①②③，共個，
故選：D．
二、填空題：（本大題6個小題，每小題5分，共30分）請將每小題的正確答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．
11. 4的算術(shù)平方根是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根，掌握算術(shù)平方根是正的平方根成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可．
【詳解】解：4的算術(shù)平方根是．
故答案為：2．
12. 若點，在直線上，則，的大小關(guān)系是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的增減性求解即可得．
【詳解】解：∵一次函數(shù)中的，
∴隨的增大而增大，
又∵點，在直線上，且，
∴，
故答案為：．
13. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點，矩形的頂點，分別在軸，軸上，點的坐標(biāo)為，直線交于，將沿翻折，若點落在對角線交點處，則直線的解析式為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、求一次函數(shù)解析式，設(shè)，，由矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可得，，，從而得出，由勾股定理可得，由①②解得，再利用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】解：∵在平面直角坐標(biāo)系中，為原點，矩形的頂點，分別在軸，軸上，點的坐標(biāo)為，
∴設(shè)，，
∵將沿翻折，若點落在對角線交點處，
∴，，，
∴，
∵，
∴由勾股定理可得：，即，
由①②解得：，或，（不符合題意，舍去）
∴，
設(shè)直線的解析式為，
將代入解析式可得，
解得：，
∴直線的解析式為，
故答案為：．
14. 如圖，在菱形中，，點為上一點，為上一點，連接，，，若，，則的度數(shù)為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)可得，，證明，得出，由三角形外角的定義及性質(zhì)可得，由等邊對等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，再由三角形外角的定義及性質(zhì)計算即可得解．
【詳解】解：∵四邊形為菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
15. 如圖，以等邊的邊為斜邊在外作，，，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，平移線段使得點與重合，得到線段，連接，點分別為線段的中點，連接，若，則線段的長為______．
【答案】
【解析】
【分析】連接，先證出四邊形是平行四邊形，根據(jù)三角形的中位線定理可得，再利用勾股定理求出，從而可得，然后證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，最后證出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，在中，利用勾股定理求解即可得．
【詳解】解：如圖，連接，
由平移的性質(zhì)得：，
∴四邊形是平行四邊形，
∴互相平分，，，
∵點是的中點，
∴點也是的中點，
又∵點是的中點，，
∴（三角形的中位線定理），
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
在，，，
∴，
∴，
∴，
又∵點是的中點，
∴，
∴，
又∵點是的中點，
∴，
∵，，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
又∵點是的中點，
∴，，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、二次根式的應(yīng)用等知識，綜合性強，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和等邊三角形是解題關(guān)鍵．
16. 對于一個四位自然數(shù)，如果滿足各個數(shù)位上的數(shù)字不全相等且均不為0．它的千位數(shù)字減去百位數(shù)字之差等于十位數(shù)字減去個位數(shù)字之差，那么稱這個數(shù)為“平衡數(shù)”．對于一個“平衡數(shù)”，將它的前兩位數(shù)減去后兩位數(shù)所得差記為，將它的千位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和個位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，定義：．例如：，因為，所以8642是一個平衡數(shù)，所以，則：．若為最小的“平衡數(shù)”，則______．已知自然數(shù)、都是“平衡數(shù)”，其中，（，，，，、、、都是整數(shù)），若，則的值為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本題考查了整式的加減混合運算，二元一次方程，代數(shù)式求值，理解“平衡數(shù)”的相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
根據(jù)為最小的“平衡數(shù)”，進而確定的千位數(shù)字為1，百位數(shù)字為1，再根據(jù)“平衡數(shù)”的定義確定十位數(shù)字和個位數(shù)字即可求解；根據(jù)“平衡數(shù)”的定義，得到，，進而求出，，再根據(jù)，得到，最終確定，求出和，即可求出的值．
【詳解】解：為最小的“平衡數(shù)”，
的千位數(shù)字為1，
各個數(shù)位上的數(shù)字不全相等且均不為0，
百位數(shù)字為1，
千位數(shù)字減去百位數(shù)字之差等于十位數(shù)字減去個位數(shù)字之差，
十位數(shù)字為2，個位數(shù)字為2，
，
，，
；
由題意可知，自然數(shù)、都是“平衡數(shù)”，
，
，
，
，，
．
，
，
，
，，
．
，
，
，
，
、、、都是整數(shù)，，，
的可能取值為4、7，
又，，
，此時，
，，
，
綜上可知，的值為，
故答案為：；．
三、解答題：（本大題8個小題，第18題8分，第24題12分，其余每小題10分，共80分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線）請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
17. 計算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了整式的混合運算、積的乘方等知識，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
（1）先計算積的乘方、單項式除以單項式，再計算整式的加法即可得；
（2）先計算平方差公式、單項式乘以多項式，再計算整式的加減法即可得．
【小問1詳解】
解：原式
．
【小問2詳解】
解：原式
．
18. 先化簡，再求值：，請在選擇一個你認(rèn)為合適的整數(shù)代入計算．
【答案】，選擇，值為
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值、分式有意義的條件，熟練掌握分式的運算法則是解題關(guān)鍵．先計算括號內(nèi)的分式加法，再計算分式的除法，然后根據(jù)分式有意義的條件選擇的值，代入計算即可得．
【詳解】解：原式
．
∵，，，即，，，
∴在內(nèi)的整數(shù)中，選擇代入得：原式．
19. 近年來，短視頻平臺成為青少年獲取信息，娛樂放松的重要渠道．為更好地了解青少年的內(nèi)容偏好，引導(dǎo)平臺優(yōu)化內(nèi)容推薦算法，某知名短視頻平臺開展了專項調(diào)研．
調(diào)查對象與方法：
?目標(biāo)群體：周歲注冊用戶
?抽樣方式：從平臺數(shù)據(jù)庫中隨機抽取名活躍用戶（每周使用天）
?數(shù)據(jù)收集：通過用戶問卷與后臺觀看記錄結(jié)合的方式，統(tǒng)計用戶標(biāo)記為“最喜歡”的視頻類別
?分類標(biāo)準(zhǔn)
類：知識科普——涵蓋科學(xué)原理歷史人文、自然探索等內(nèi)容
類：娛樂搞笑——包括搞笑短劇、明星八卦、趣味挑戰(zhàn)等
類：生活技能——涉及手工制作，烹飪教程、學(xué)習(xí)技巧等實用技能
類：其他一一未明確歸類的混合型內(nèi)容
初步數(shù)據(jù)整理：平臺整理出部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，但因系統(tǒng)故障導(dǎo)致“娛樂搞笑”類人數(shù)丟失，需通過統(tǒng)計方法還原
平臺后續(xù)計劃：
根據(jù)調(diào)查結(jié)果，平臺擬采取以下措施：
1．對偏好“知識科普”的用戶推送深度知識專欄
2．為“生活技能”愛好者開設(shè)互動教學(xué)專區(qū)
3．限制“娛樂搞笑”類推送頻率，避免過度沉迷
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1） ； ．
（2）請補全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中類的圓心角度數(shù)．
（3）該平臺擬計劃對某區(qū)域內(nèi)850名周歲該平臺用戶開展一次“生活技能”互動教學(xué)活動，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計大約需要準(zhǔn)備多少份教學(xué)活動材料（每名用戶一份材料）？
【答案】（1），
（2）圖見解析，
（3）
【解析】
【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)、由樣本估計總體、求扇形統(tǒng)計圖圓心角度數(shù)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．
（1）用喜歡類視頻的人數(shù)除以所占的比例即可得出的值，用喜歡類的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可得出的值；
（2）先求出喜歡類的人數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖即可，用乘以喜歡類所占的比例即可得解；
（3）用乘以喜歡“生活技能”所占的比例即可得解．
【小問1詳解】
解：由題意可得，調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：（人），即，
∴，即，
【小問2詳解】
解：喜歡類的人數(shù)為：（人），
補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：
，
扇形統(tǒng)計圖中類的圓心角度數(shù)為；
【小問3詳解】
解：（份），
故大約需要準(zhǔn)備份教學(xué)活動材料．
20. 如圖，四邊形是平行四邊形．
（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：作的角平分線交于點，并在上截取，連接．
（2）求證：四邊形是菱形，請完成下面的證明過程．
證：四邊形是平行四邊形．
，① ．
．
，
，即．
∵，
四邊形是平行四邊形．
平分，
② ．
．
③ ．
平行四邊形是菱形．
通過進一步探究發(fā)現(xiàn)：若平行四邊形的一條對角線④ ，則這個平行四邊形是菱形．
【答案】（1）圖見解析
（2）①；②；③；④平分了它所連接的兩個內(nèi)角
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、角平分線的尺規(guī)作圖、等腰三角形的判定等知識，熟練掌握尺規(guī)作圖和菱形的判定是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖、作線段的尺規(guī)作圖即可得；
（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再證出四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，根據(jù)等腰三角形的判定可得，最后根據(jù)菱形的判定即可得．通過進一步探究發(fā)現(xiàn)：若平行四邊形的一條對角線平分了它所連接的兩個內(nèi)角，則這個平行四邊形是菱形．理由：如圖（見解析），先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，然后等腰三角形的判定可得，最后根據(jù)菱形的判定即可得．
【小問1詳解】
解：作的角平分線交于點，并在上截取，連接，如圖所示：
．
【小問2詳解】
證明：四邊形是平行四邊形．
，．
．
，
，即．
∵，
四邊形是平行四邊形．
平分，
．
．
．
平行四邊形是菱形．
通過進一步探究發(fā)現(xiàn)：若平行四邊形一條對角線平分了它所連接的兩個內(nèi)角，則這個平行四邊形是菱形．
理由：如圖，平行四邊形的對角線平分和，
∵四邊形是平行四邊形，
∴．
∴，
∵對角線平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
故答案為：①；②；③；④平分了它所連接的兩個內(nèi)角．
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，與直線交于點．
（1）求直線的解析式．
（2）如圖，直線與軸交于點，若點是軸左側(cè)直線上一動點，且滿足，求點的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，正確求出一次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．
（1）將代入直線得出，再利用待定系數(shù)法計算即可得解；
（2）求出，，得到，設(shè)，根據(jù)，計算即可得解．
【小問1詳解】
解：將代入直線得，
解得：，即，
將，代入直線得，
解得：，
∴直線的解析式為；
【小問2詳解】
解：在中，當(dāng)時，，即，
在中，當(dāng)時，，即，
∴，
∵點是軸左側(cè)直線上一動點，且滿足，
∴設(shè)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 隨著2025年春節(jié)期間《哪吒之魔童鬧?！返臒嵊?，《哪吒》中美輪美奐的畫面，導(dǎo)演及幕后團隊的精益求精讓每個人物擁有了飽滿而又強大穩(wěn)定的內(nèi)核．某文具店抓住時機迅速購進哪吒相關(guān)文創(chuàng)產(chǎn)品．該文具店2月份花費300元購進哪吒徽章，花費600元購進哪吒鑰匙扣掛件．已知每個鑰匙扣掛件的進價是哪吒徽章進價的4倍，且購進的徽章數(shù)量比鑰匙扣掛件多50個．
（1）求每個哪吒徽章，哪吒鑰匙扣掛件的進價．
（2）2月份，文具店老板以徽章5元一個，鑰匙扣掛件20元一個的價格進行銷售，兩款哪吒商品迅速全部售出．該文具店3月份按照2月份相同單價購進相同數(shù)量的銅匙扣掛件和徽章，同時以120元一盒的價格新購進了哪吒卡游20盒，已知一盒卡游有18包，每包有5張卡片，整包出售時一包卡片賣10元，單張出售時一張卡片賣3元，若3月哪吒文創(chuàng)產(chǎn)品全部售出時利潤不低于3000元，則整包出售哪吒卡游最多多少包？
【答案】（1）每個哪吒徽章的進價為元，則鑰匙扣掛件的進價為元
（2）整包出售哪吒卡游最多包
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，正確列出分式方程以及一元一次不等式是解此題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)每個哪吒徽章的進價為元，則鑰匙扣掛件的進價為元，根據(jù)題意列出分式方程，解方程即可得解；
（2）設(shè)整包出售哪吒卡游包，則單張出售的卡游為包，根據(jù)題意列出一元一次不等式，解不等式即可得解．
【小問1詳解】
解：設(shè)每個哪吒徽章進價為元，則鑰匙扣掛件的進價為元，
由題意可得：，
解得：，
經(jīng)檢驗是分式方程的解且符合題意，
∴，
∴每個哪吒徽章的進價為元，則鑰匙扣掛件的進價為元；
【小問2詳解】
解：設(shè)整包出售哪吒卡游包，則單張出售的卡游為包，
由題意可得：，
解得：，
∴整包出售哪吒卡游最多包．
23. 閱讀與思考：在平面直角坐標(biāo)系中，直線過點且平行于軸，對于點和四邊形，給出如下定義：點關(guān)于直線的對稱點落在四邊形所圍成的圖形上及其內(nèi)部，則稱點是四邊形關(guān)于直線的可觸碰點．已知點，，，．
（1）四邊形是 （填：平行四邊形、菱形、矩形或正方形）；是四邊形關(guān)于直線的可觸碰點，則的取值范圍是 ．
（2）已知點是直線上的一動點，當(dāng)是四邊形關(guān)于直線的可觸碰點時，求滿足條件的所有點組成的幾何圖形的面積．
【答案】（1）菱形，
（2）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理求出，即可判斷四邊形的形狀，求出關(guān)于直線的對稱點為，結(jié)合可觸碰點的定義得出，計算即可得解；
（2）由題意可得，四邊形關(guān)于直線對稱的圖形為，其中，，，，結(jié)合可觸碰點的定義得出在四邊形內(nèi)部及其邊框上，直線代表的是直線及其下方的所有平行直線，點恰好在直線上，設(shè)該直線與直線的交點為點，從而可得點的所有點組成的圖形為四邊形，求出直線的解析式為，聯(lián)立得出，再由計算即可得解．
【小問1詳解】
解：∵，，，，
∴，，，，
∴，
∴四邊形是菱形，
∵是四邊形關(guān)于直線可觸碰點，
∴關(guān)于直線的對稱點為，
∴，
解得：；
【小問2詳解】
解：由題意可得，四邊形關(guān)于直線對稱的圖形為，其中，，，，
，
∵是四邊形關(guān)于直線的可觸碰點，
∴在四邊形內(nèi)部及其邊框上，
直線代表的是直線及其下方的所有平行直線，點恰好在直線上，設(shè)該直線與直線的交點為點，
∴點的所有點組成的圖形為四邊形，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入直線得，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，解得，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形、軸對稱的性質(zhì)、菱形的判定定理、勾股定理、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．
24. 如圖，中，點是的中點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，點是的中點．
（1）如圖1，若，點正好在上，連接，，求的長度；
（2）如圖2，點是上一點，連接，，若，，求證：；
（3）如圖3，，，，點是直線上一動點，連接，將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，點是直線上一動點，點是直線上一動點，連接和，當(dāng)取最小值時，若是等腰直角三角形，請直接寫出點到直線的距離．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）點到直線的距離為或
【解析】
【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)可得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等邊對等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，從而得出，再由直角三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理計算可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，最后再由直角三角形的性質(zhì)即可得解；
（2）延長至，使得，連接，，證明是的中位線，得出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等邊對等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，證明，得出，求出，，作交于，則，，從而得出，證明，得出，結(jié)合，即可得證；
（3）過點作交于，連接，則，證明為等腰直角三角形，得出，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，證明得出，求出，得出點在直線上運動，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，，則，即，當(dāng)、、三點共線時取等號，當(dāng)時，取最小值，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，求出，得出點、、在同一直線上，求出，過點作于點，連接，延長交于點，過點作于，證明出，設(shè)，則，，，結(jié)合，求出，由軸對稱的性質(zhì)可得，求出，令交于，則，則，，證明，得出，求出，得出，證明為等腰直角三角形，得出，當(dāng)是等腰直角三角形時，為與的交點，為關(guān)于的對稱點，
，，，證明為等腰直角三角形，求出，，即可得解．
【小問1詳解】
解：∵在中，，點是的中點，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，點是的中點，
∴，
∵，
∴；
【小問2詳解】
證明：延長至，使得，連接，，
，
∵點是的中點，
∴，
∴是的中位線，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵點是的中點，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
作交于，
則，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小問3詳解】
解：如圖，過點作交于，連接，
，
則，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，，
∵將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點在直線上運動，
作點關(guān)于直線的對稱點，連接，，
∴，
∴，當(dāng)、、三點共線時取等號，
∴當(dāng)時，取最小值，
∵將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，
∴，，
∵點是的中點，
∴，
∴，
∵點關(guān)于直線的對稱點為，
∴，
∴，
∴點、、在同一直線上，
∴，
∴，
過點作于點，連接，延長交于點，過點作于，
∵點是的中點，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∴，
∴，
∴，
由軸對稱的性質(zhì)可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
令交于，則，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
當(dāng)是等腰直角三角形時，為與的交點，為關(guān)于的對稱點，
，
∴，，
∵為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，即到的距離為，
∴，即到的距離為，
綜上所述，點到直線的距離為或．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．

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