河北省金科大聯(lián)考2025屆高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上
的指定位置．
2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答
題區(qū)域均無效．
3．選擇題用 2B 鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上
作答；字體工整，筆跡清楚．
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交．
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)
是符合題目要求的．
1. 已知復(fù)數(shù) ，則復(fù)數(shù) z 的模為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)除法結(jié)合復(fù)數(shù)模計(jì)算公式可得答案.
【詳解】由，
有．
故選：B
2. 已知集合，，若“ ”是“ ”成立的充分不必要條件，
則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】先求解不等式，得到集合，再由“ ”是“ ”成立的充分不必要條件，
分析得到，再列出不等式組，求解即可.
【詳解】由解得，故，
因?yàn)椤?”是“ ”成立的充分不必要條件，
所以，所以有，解得，
故選：A.
3. 小張從超市買了 4 袋食鹽，每袋食鹽的標(biāo)準(zhǔn)重量是 500 克，為了了解這些食鹽的重量的情況，稱出各袋
的重量分別為 501 克，499 克，498 克，502 克，則這 4 袋食鹽重量的方差為（）
A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 2.5
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的計(jì)算方法計(jì)算出正確答案.
【詳解】這 4 袋食鹽的重量的平均數(shù)為，
方差為．
故選：D
4. 已知等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差為（）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的定義計(jì)算基本量即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為 d，由，，有，可得
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．
故選：B．
5. 已知向量，，其中，，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示及向量模的坐標(biāo)表示列式，再利用基本不等式求出范圍.
【詳解】由向量，
得，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
而，所以的取值范圍為 .
故選：C
6. 已知函數(shù) 的定義域?yàn)?，，，都有，且，
則（）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】賦值法得到，，，，從而
【詳解】因?yàn)?，，所以，
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又，有，
又由，有，故，
．
故選：A．
7. 已知橢圓 C：與直線相切，則橢圓 C 的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用判別式等于 0 來判斷直線與橢圓相切，從而可得到齊次等式來求離心率.
【詳解】聯(lián)立方程消去 y 后整理為，
有，
整理可得，由，有，
可得．
故選:B．
8. 已知存在實(shí)數(shù) a，b，使得函數(shù) 在區(qū)間上的值域與函數(shù)
在區(qū)間上的值域相同，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根問題，然后
分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其值域，即可得到結(jié)果.
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【詳解】由，可得函數(shù) 單調(diào)遞增，
又由函數(shù) 單調(diào)遞增，有，
即關(guān)于 x 的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
可化為．令，
有，
可得函數(shù) 的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
又由，，當(dāng) 時(shí)，，
故若函數(shù) 的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為．
故選：D．
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題
目要求．全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分．
9. 下列各式中，值是的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由誘導(dǎo)公式即可判斷 A，由正弦的降冪公式即可判斷 B，由正弦的二倍角公式即可判斷 C，由正切
函數(shù)的和差角公式即可判斷 D.
【詳解】對(duì)于 A，由，故 A 正確；
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對(duì)于 B，，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，，
故 C 正確；
對(duì)于 D，，
故 D 錯(cuò)誤；
故選：AC．
10. 下列選項(xiàng)中，正確的是（）
A. 甲、乙兩名鉗工加工同一型號(hào)的零件，根據(jù)以往數(shù)據(jù)得知，甲加工的合格品率為 80%，乙加工的合格品
率為 90%．加工出來的零件混放在一起，已知甲，乙加工的零件數(shù)分別占 40%，60%，從所有零件中任取
一個(gè)零件，則這個(gè)零件是合格品的概率為 0.88
B 已知事件 A，B 滿足，，，則
C. 若事件滿足，且，則 A 與 B 相互獨(dú)立
D. 若隨機(jī)變量，且，，則的最小值為 16
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于 A 選項(xiàng)，根據(jù)全概率公式計(jì)算即可判斷；對(duì)于 B 選項(xiàng)，根據(jù)公式
，求出的值即可判斷；對(duì)于 C 選項(xiàng)，只須判斷
是否成立，即可判斷 A 與 B 是否相互獨(dú)立；對(duì)于 D 選項(xiàng)，由正態(tài)分布得到
，再利用基本不等式，求出的最小值即可判斷.
【詳解】對(duì)于 A 選項(xiàng)，由全概率公式，這個(gè)零件是合格品的概率為
，故 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于 B 選項(xiàng)，由，
有，可得，故 B 選項(xiàng)正確；
對(duì)于 C 選項(xiàng)，由，有，
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可得 A 與 B 相互獨(dú)立，故 C 選項(xiàng)正確；
對(duì)于 D 選項(xiàng)，由正態(tài)分布可知，，
所以，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即，時(shí)取等號(hào)，故 D 選項(xiàng)正確．
故選：BCD．
11. 已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn) P 為拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，O 為坐
標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn) F 作直線 OP 的平行線與拋物線交于 A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 位于第一象限），直線
OP 和 AB 分別與拋物線的準(zhǔn)線相交于 M，N 兩點(diǎn)，則（）
A.
B. 若拋物線的準(zhǔn)線與 x 軸相交于點(diǎn) T，則 M 是線段 TN 的中點(diǎn)
C.
D. 若直線 PF 與拋物線交于另一點(diǎn) Q，則直線軸
【答案】ABD
【解析】
【分析】由準(zhǔn)線方程求出，即可判斷 A；設(shè)直線的方程為，則直線的方程為
，令得到、坐標(biāo)，即可判斷 B；聯(lián)立直線與拋物線方程，求出弦長(zhǎng)，即可判斷 C；
求出的坐標(biāo)，即可判斷 D.
【詳解】對(duì)于 A，由拋物線 C 的準(zhǔn)線為，有，可得，故 A 正確；
對(duì)于 B，設(shè)直線的方程為，由，
可得直線的方程為，令可得點(diǎn) 的坐標(biāo)為，
點(diǎn) 的坐標(biāo)為，又，所以是線段的中點(diǎn)，故 B 正確；
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對(duì)于 C，聯(lián)立方程，可解得點(diǎn) P 的坐標(biāo)為，有．
聯(lián)立方程，消去 y 后整理為，
有，有，
可得，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D，由，可得，，可得點(diǎn) 的坐標(biāo)為，
又由點(diǎn) M 的坐標(biāo)為，可得直線軸，故 D 正確．
故選：ABD．
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 已知圓：和圓：相切，則 ______．
【答案】－1 或 1 或－3 或 3
【解析】
【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定兩圓圓心與坐標(biāo)，結(jié)合兩圓相切的條件及圓心距與半徑關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知：，，，，有，
又兩圓相切，則有或，可得或－1 或 1 或 3．
故答案為：－1 或 1 或－3 或 3
13. 若函數(shù) 有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù) 的取值范圍為______．
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【答案】
【解析】
【分析】利用單調(diào)性研究函數(shù)的零點(diǎn)，再用正弦函數(shù)研究區(qū)間內(nèi)唯一零點(diǎn)，從而可得參數(shù)范圍.
【詳解】當(dāng) ，由函數(shù) 單調(diào)遞增，且，，
可得函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
又由函數(shù) 有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，可知當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
又由，則有，解得．
故答案為： .
14. 如圖，在四棱臺(tái) 中，上、下底面都是正方形，平面 ABCD，
，E 是的中點(diǎn)，F(xiàn) 是的中點(diǎn)，平面 BEF 把四棱臺(tái)分成兩部分，這兩部分的體積
分別為，（其中），則 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用臺(tái)體的體積公式求四棱臺(tái)的體積，作輔助線，找到平面 BEF 截該四棱臺(tái)所得截面，計(jì)算有關(guān)
線段的長(zhǎng)度，利用割補(bǔ)法求解.
【詳解】連接 AC，BD 相交于點(diǎn) O，連接，相交于點(diǎn) ，取的中點(diǎn) M，連接 BM 與交
于點(diǎn) T，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) N，
由平面平面，可知 M 為和的交點(diǎn)，
又由，可知，
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又由，可得，
又由，有，可得，
不妨設(shè) ，，，
可得梯形的面積為，
又由，，
又由，可得，
可得四邊形的面積為，可得，
又由，可得，
又由，可得，
可得，
又由幾何圖形的對(duì)稱性可知．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
15. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）2 或
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（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合正弦定理及余弦定理求解即可；
（2）由正弦定理可得，由，可得，由兩角和的余弦公式可求
得，再由兩角差的余弦公式求解即可.
【小問 1 詳解】
由正弦定理及，有，
又由余弦定理，有，
代入，有，整理為，
因式分解為，可得或，
可得的值為 2 或；
【小問 2 詳解】
由正弦定理及，有，
又由，有，
又由，有，
即，
代入，有，
有 .
16. 如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，平面平面，，M 是
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PB 的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若，，，求平面與平面的夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通過證明可完成證明；
（2）先由（1）可得平面，然后如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向
量，最后由空間向量知識(shí)可得答案.
【小問 1 詳解】
如圖，連接 BD，與 AC 相交于點(diǎn) N，
因四邊形為矩形，對(duì)角線 BD，AC 相交于點(diǎn) N，則，
又因 M 是 PB 的中點(diǎn)，則，
因，，則，
因，平面 AMC，平面 AMC，所以平面 AMC；
【小問 2 詳解】
因?yàn)槠矫?平面，，平面平面，平面 ABCD，所以
平面，
則以所在的直線分別為 y 軸，z 軸，過點(diǎn) A，在平面內(nèi)作 AB 的垂線為 x
軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
由，，，可得，可得點(diǎn) P 的坐標(biāo)為，
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各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，
設(shè)平面 PCD 的法向量為，由，，
有，取，，，
可得平面 PCD 的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面 AMC 的法向量為，由，，
有，取，，，
可得平面 AMC 的一個(gè)法向量為，
又由，，，有，
故平面 PCD 與平面 AMC 的夾角的余弦值為．
17. 新春佳節(jié)，上海京劇院、上海昆劇團(tuán)聯(lián)手帶來“京昆群英會(huì)”，名角薈萃、好戲連臺(tái)．天蟾逸夫舞臺(tái)自
大年初二起“靈蛇獻(xiàn)瑞”，以一系列京昆佳作為戲迷觀眾奉上文化大餐．年初二率先登場(chǎng)的《新春京劇演
唱會(huì)》匯集上海京劇院老中青三代演員；大年初六，上海昆劇團(tuán)接棒“京昆群英會(huì)”，上海昆劇團(tuán)優(yōu)秀青
年演員胡維露、羅晨雪將攜手獻(xiàn)演昆劇《墻頭馬上》．據(jù)統(tǒng)計(jì)，有的票友計(jì)劃只觀看《新春京劇演唱會(huì)》，
余下的票友既觀看《新春京劇演唱會(huì)》，也觀看《墻頭馬上》．每位票友只觀看《新春京劇演唱會(huì)》，則會(huì)
員卡積 1 分；若既觀看《新春京劇演唱會(huì)》，也觀看《墻頭馬上》，則會(huì)員卡積 2 分．假設(shè)每位票友觀看計(jì)
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劃相互獨(dú)立，視頻率為概率，所有票友會(huì)員卡之前積分均為 0．
（1）觀看結(jié)束后，從票友中隨機(jī)抽取 3 人，記 3 人會(huì)員卡的合計(jì)得分為 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）觀看結(jié)束后，從票友中隨機(jī)抽取 n 個(gè)人（n 為正整數(shù)），記這 n 個(gè)人會(huì)員卡的合計(jì)積分是分的概
率為，求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和．
【答案】（1）分布列見解析，期望為 4；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由題可得 3 人得分的情況為 3，4，5，6，然后由題意可得分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）由題可得合計(jì)積分是分時(shí)，有人只看《新春京劇演唱會(huì)》，一人既觀看《新春京劇演唱會(huì)》，
也觀看《墻頭馬上》，據(jù)此可得，然后由錯(cuò)位相減法可得答案.
【小問 1 詳解】
由題可得 X 的值可得為 3，4，5，6，
則，，，
.
則分布列如下：
3 4 5 6
則；
【小問 2 詳解】
由題可得合計(jì)積分是分時(shí)，有人只看《新春京劇演唱會(huì)》，一人既觀看《新春京劇演唱會(huì)》，也
觀看《墻頭馬上》，
可得，，，
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則 .
則
，
兩式相減可得： .
則 .
18. 已知點(diǎn) ，，直線 MA 和 MB 的斜率的乘積為 1，點(diǎn) M 的軌跡為 C．
（1）求軌跡 C 的方程；
（2）過點(diǎn) 的直線與軌跡 C 相交于 P，Q 兩點(diǎn)，記直線 BP，BQ 的斜率分別為，，求的值；
（3）在（2）的條件下，證明：直線 AP 與 BQ 的交點(diǎn) T 在定直線上．
【答案】（1）
（2）－3 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用兩點(diǎn)斜率公式計(jì)算即可；
（2）設(shè)直線 PQ 的方程為，及點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與雙曲線方程利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)斜率公式化
簡(jiǎn)計(jì)算即可；
（3）利用第二問的結(jié)論及條件表達(dá)兩條直線，聯(lián)立直線方程計(jì)算交點(diǎn)即可.
【小問 1 詳解】
設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為，
由直線 MA 和 MB 斜率的乘積為 1，有，
可得．又由，可得軌跡 C 的方程為；
【小問 2 詳解】
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由（1）知，∴直線 PQ 的斜率不為 0，故設(shè)直線 PQ 的方程為，
點(diǎn) P，Q 的坐標(biāo)分別為，
聯(lián)立方程，消去 x 后整理為，
有，，
又由
，故；
【小問 3 詳解】
由直線 PA 和 PB 的斜率的乘積為 1，可得直線 PA 的斜率為，
可得直線 PA 的方程為，
又由，有，可得直線 BQ 的方程為，
將直線 PA 和 BQ 的方程聯(lián)立消去 y，有，
解得，可得點(diǎn) T 的坐標(biāo)為，
所以直線 AP 與 BQ 的交點(diǎn) T 在定直線上．
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【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問求斜率之積，通法為聯(lián)立直線與圓錐曲線，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求值；第三問，
直線過定點(diǎn)，一個(gè)直接的思路是由第二問結(jié)論中的斜率關(guān)系，利用點(diǎn)斜式表示直線，聯(lián)立求交點(diǎn)，根據(jù)某
一坐標(biāo)為定值確定定直線.
19. 已知函數(shù) ．
（1）若恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；
（2）若是函數(shù) 兩個(gè)零點(diǎn)，證明：；
（3）當(dāng) 且時(shí)，證明：．
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù) ，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性及最值即可；
（2）利用比值換元設(shè) ，將問題轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判定函數(shù)的單調(diào)性
即可證明；
（3）利用第一問得出，取，結(jié)合放縮法得出，利
用累加法計(jì)算即可證明.
【小問 1 詳解】
由恒成立，有恒成立，
令，有，解不等式可得，
可得函數(shù) 的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
可得的最大值為，
若函數(shù) 恒成立，可得實(shí)數(shù) a 的取值范圍為；
【小問 2 詳解】
不妨設(shè) ，設(shè) ，
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由，有，，兩式相除，有，
代入，有，有，可得，
可得，
要證，只需證，只需證，
令，有，
可得函數(shù) 單調(diào)遞增，有，故有；
【小問 3 詳解】
由（1），取，有（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)），
取（其中），有，有，
又由，有，有，
有，有，有，
可得，有，
有，有，
當(dāng) 且時(shí)，可得．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問對(duì)于雙變量問題的處理策略常用比值換元法轉(zhuǎn)化為單變量問題；第三問，不等
式的證明，結(jié)合第一問令換元，一般情況下還需要巧妙放縮，多積累經(jīng)驗(yàn).
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