時(shí)間：120分鐘滿分：150分
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 色差和色度是衡量玩具質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標(biāo)，已知該產(chǎn)品的色度和色差之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且，現(xiàn)有一對(duì)測量數(shù)據(jù)為（30,22.8），則該數(shù)據(jù)的殘差為（）
A. 0.6B. 0.4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將代入回歸方程，求出預(yù)測值，從而求出殘差.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
所以該數(shù)據(jù)的殘差為．
故選：A．
2. 用3，4，5中的任意一個(gè)數(shù)作分子，6，8，10中的任意一個(gè)數(shù)作分母，則可構(gòu)成（）個(gè)不同的分?jǐn)?shù)．
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解，再去掉重復(fù)分?jǐn)?shù)即可.
【詳解】取3，4，5中取一個(gè)數(shù)作分子有種不同的取法，6，8，10中的任意一個(gè)數(shù)作分母有種不同的取法，
所以可以得到個(gè)分?jǐn)?shù)，其中相同，
所以可得到個(gè)不同的分?jǐn)?shù).
故選：B
3. 設(shè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用兩點(diǎn)分布，結(jié)合已知條件求出，，再根據(jù)方差公式求解即可.
【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，所以，
又，所以解得，，
所以，，
故選：A
4. 某宿舍6名同學(xué)排成一排照相，其中甲與乙必須相鄰，丙與丁互不相鄰的不同排法有（）
A. 72種B. 144種C. 216種D. 256種
【答案】B
【解析】
【分析】把甲與乙看作一個(gè)元素，再把丙與丁利用插空法求解.
【詳解】先把甲與乙捆綁與另外兩人排列，有種方法，
再把丙與丁插入空中，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種排法.
故選：B.
5. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若，則是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 有一個(gè)內(nèi)角是的直角三角形
C. 等邊三角形D. 有一個(gè)內(nèi)角是的等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理和題設(shè)條件，化簡得，得到，進(jìn)而得到，即可求解.
【詳解】由正弦定理，可得，
因?yàn)椋氲茫?br>即，所以，所以，
故為等腰直角三角形.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，以及三角形的形狀的判定，其中解答中熟練應(yīng)用三角形的正弦定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
6. 某校安排甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)同時(shí)到學(xué)校禮堂參加聯(lián)歡晚會(huì)，已知甲班藝術(shù)生占比8%，乙班藝術(shù)生占比6%，丙班藝術(shù)生占比5%，學(xué)生自由選擇座位，先到者先選．甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的，，．若主持人隨機(jī)從場下學(xué)生中選一人參與互動(dòng)，選到的學(xué)生是藝術(shù)生的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依據(jù)題意根據(jù)全概率公式計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)“任選一名學(xué)生恰好是藝術(shù)生”，
“所選學(xué)生來自甲班”，“所選學(xué)生來自乙班”,“所選學(xué)生來自丙班”．
由題可知：
，，，，， ，
.
故選：D
7. 學(xué)校從高一名男數(shù)學(xué)老師和名女?dāng)?shù)學(xué)老師中選派人，擔(dān)任本次模擬考試數(shù)學(xué)閱卷任務(wù)，則在選派的人中至少有名男老師的條件下，有名女老師的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解
【詳解】記“選派人中至少有名男老師”為事件，“選派人中有名女老師”為事件，
則，，
顯然，所以.
故選：B.
8. 月相是指天文學(xué)中對(duì)于地球上看到的月球被太陽照亮部分的稱呼.1854年，愛爾蘭學(xué)者在大英博物館所藏的一塊巴比倫泥板上發(fā)現(xiàn)了一個(gè)記錄連續(xù)15天月相變化的數(shù)列，記為，其將滿月等分成240份，（且）表示第天月球被太陽照亮部分所占滿月的份數(shù).例如，第1天月球被太陽照亮部分占滿月的，即；第15天為滿月，即.已知的第1項(xiàng)到第5項(xiàng)是公比為的等比數(shù)列，第5項(xiàng)到第15項(xiàng)是公差為的等差數(shù)列，且q，d均為正整數(shù)，則（）
A. 40B. 80C. 96D. 112
【答案】B
【解析】
【分析】由已知條件和等比數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)，得，又q，d均為正整數(shù)，求解q的值得.
【詳解】依題意，有，，
時(shí)，d不是正整數(shù)；時(shí)，；時(shí)，，d不是正整數(shù).
所以，，.
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 為了了解居家學(xué)習(xí)期間性別因素是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，某校隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，按照性別和體育鍛煉情況整理出如下的列聯(lián)表：
常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值如下表：
注：獨(dú)立性檢驗(yàn)中，，．
根據(jù)這些數(shù)據(jù)，判斷下列說法正確的是（）
A. 依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響
B. 依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響
C. 根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，這個(gè)推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05
D. 根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，因此可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響
【答案】BD
【解析】
【分析】分別求出男生和女生經(jīng)常鍛煉的頻率即可依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理判斷，求出卡方值，和3.841比較即可根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷.
【詳解】女生有人，經(jīng)常鍛煉的有人，頻率為，
男生有人，其中經(jīng)常鍛煉的有人，頻率為，
因?yàn)?，依?jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，故A錯(cuò)誤，B正確；
又，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，
沒有充分證據(jù)推斷性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，因此可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：BD.
10. 將兩個(gè)各棱長均為1的正三棱錐和的底面重合，得到如圖所示的六面體，動(dòng)點(diǎn)在該六面體表面上，且滿足，則（）
A. B. 該幾何體的體積為
C. 動(dòng)點(diǎn)的軌跡長為D. 該多面體內(nèi)切球的半徑為
【答案】ACD
【解析】
【分析】通過證明線面垂直可得A選項(xiàng)，求解一個(gè)正四面體的體積可得幾何體的體積，進(jìn)而判斷B選項(xiàng)，找到的軌跡，求出長度可得C選項(xiàng)，利用等體積法可得D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，
由正三棱錐的性質(zhì)可得，
因?yàn)?，所以平面，所以，正確.
對(duì)于B，在正三棱錐中，作高線，
由正三角形的性質(zhì)可得，，所以，
其體積為，所以該幾何體的體積為，不正確.
對(duì)于C，由幾何體的對(duì)稱性可得，四點(diǎn)共面，由選項(xiàng)A可知，平面，
所以點(diǎn)的軌跡為線段和及棱和，其長度為，正確.
對(duì)于D，設(shè)幾何體的內(nèi)切球半徑為，球心為，連接球心和各頂點(diǎn)，
則有，即，解得，正確.
故選：ACD
11. 小華玩一種跳棋游戲，一個(gè)箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標(biāo)有1～10的10個(gè)小球，每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球并放回，規(guī)定：若每次取到號(hào)碼小于或等于5的小球，則前進(jìn)1步，若每次取到號(hào)碼大于5的小球，則前進(jìn)2步．每次抽取小球互不影響，記小華一共前進(jìn)步的概率為，則下列說法正確的是（）
A. B.
C. （）D. 小華一共前進(jìn)2步的概率最大
【答案】ACD
【解析】
【分析】綜合應(yīng)用概率和數(shù)列的知識(shí)即可解決.
【詳解】對(duì)于A，前進(jìn)1步的概率和前進(jìn)2步的概率都是，所以，故A正確；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，其前進(jìn)步是由兩部分組成：第一部分先前進(jìn)步，再前進(jìn)1步，其概率為；第二部分先前進(jìn)步，再前進(jìn)2步，其概率為，所以，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋傻茫?br>即，因?yàn)椋?br>所以，即，
可得，又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，可得.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則，即，
此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減，
所以，
綜上，當(dāng)時(shí)，概率最大，即小華一共前進(jìn)2步的概率最大，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______．
【答案】15
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可.
【詳解】的通項(xiàng)公式為，
令得，所以常數(shù)項(xiàng)為15.
故答案為:15.
13. 已知圓與直線交于，兩點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)，，三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入坐標(biāo)可得答案.
【詳解】聯(lián)立直線和圓，解得，
設(shè)圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，則有，
解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
14. 中心極限定理是概率論中的一個(gè)重要結(jié)論.根據(jù)該定理，若隨機(jī)變量，則當(dāng)且時(shí)，可以由服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量近似替代，且的期望與方差分別與的期望與方差近似相等．現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻分布的骰子2500次，利用正態(tài)分布估算骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)少于1300的概率為______．（保留小數(shù)點(diǎn)后四位）附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
【答案】
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)分布的期望和方差公式及正態(tài)分布的可求答案.
【詳解】由題意,隨機(jī)變量，其中
所以，
又因?yàn)榍?，由中心極限定理可知服從正態(tài)分布，
故答案為:.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1，2，3的3個(gè)盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余兩個(gè)盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球．現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再從2號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子．
（1）求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；
（2）求3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)的分布列和期望
【答案】（1）2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率為；
（2）答案見詳解.
【解析】
【分析】（1）由古典概型進(jìn)行求解；
（2）可取1，2，3，求出對(duì)應(yīng)的概率，再列出分布列，求出期望即可求解.
【小問1詳解】
記事件：2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球，
則事件即為從1號(hào)的盒子里拿了2個(gè)紅球放入2號(hào)盒子，再從2號(hào)的盒子里拿1個(gè)白球和1個(gè)紅球放入3號(hào)盒子，或者從1號(hào)的盒子里拿了1個(gè)白球和1個(gè)紅球放入2號(hào)盒子，再從2號(hào)的盒子里拿2個(gè)白球放入3號(hào)盒子；
所以概率，
所以2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率為；
【小問2詳解】
由題意可知，可取1，2，3，
，
，
，
所以3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)的分布列為
.
16. 某地區(qū)響應(yīng)“節(jié)能減排，低碳生活”的號(hào)召，開展系列的措施控制碳排放．環(huán)保部門收集到近5年內(nèi)新增碳排放數(shù)量，如下表所示，其中為年份代號(hào)，（單位：萬噸）代表新增碳排放量．
（1）請(qǐng)計(jì)算并用相關(guān)系數(shù)的數(shù)值說明與之間的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；
（2）求關(guān)于的線性回歸方程，并據(jù)此估計(jì)該地區(qū)2024年的新增碳排放數(shù)量．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式，相關(guān)系數(shù)的公式分別為，，
【答案】（1），線性相關(guān)程度較高；
（2），估計(jì)該地區(qū)2024年的新增碳排放數(shù)量為萬噸.
【解析】
【分析】（1）通過計(jì)算相關(guān)系數(shù)來確定正確答案；
（2）根據(jù)回歸方程的求法求出回歸方程，并由此作出預(yù)測.
【小問1詳解】
由題意得，
，
，
，
即得，所以線性相關(guān)程度較高.
【小問2詳解】
，
，
所以，
當(dāng)時(shí)，萬噸.
所以估計(jì)該地區(qū)2024年的新增碳排放數(shù)量為萬噸.
17. 如圖，在四棱臺(tái)中，平面．底面是平行四邊形，，，連接、，設(shè)交點(diǎn)為，連接．
（1）證明：；
（2）若，且二面角大小為60°，求三棱錐外接球的表面積．
【答案】（1）證明過程見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作出輔助線，得到，故平面，得到，結(jié)合⊥，得到線面垂直，證明出結(jié)論；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)二面角的大小列出方程，求出，進(jìn)而作出輔助線，得到外接球球心，列出方程，求出外接球半徑，得到外接球表面積.
【小問1詳解】
連接，
因?yàn)榈酌媸瞧叫兴倪呅?，，?br>所以為等邊三角形，底面為菱形，則上底面也為菱形，
又，故，
又四點(diǎn)共面，故，
因?yàn)椋裕?br>故四邊形為平行四邊形，
所以，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)闉榈冗吶切?，為中點(diǎn)，故⊥，
因?yàn)椋矫妫?br>所以⊥平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以；
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋裕?br>故，設(shè)，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令得，，
故，
平面的法向量為，
故，
二面角大小為60°，
即，解得，
取中點(diǎn)，由于⊥，
故三棱錐外接球的球心在平面的投影為，
連接，過點(diǎn)作平行，交于，
設(shè)，則，，
又，
由勾股定理得，，
故，解得，
故三棱錐外接球的半徑為，
故三棱錐外接球表面積為.
18. 已知橢圓：（）的左右頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．
①求證直線過定點(diǎn)；
②求面積的最大值．
【答案】（1）
（2）①直線過定點(diǎn)②
【解析】
【分析】（1）由左右頂點(diǎn)可得結(jié)合離心率求出，根據(jù)，從而求出橢圓的方程.
（2）①設(shè)直線方程和點(diǎn)，的坐標(biāo)，直線和橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得，求出直線的方程，令，求出橫坐標(biāo)化簡后韋達(dá)定理代入可得，即可得出.
②由題意求出，利用韋達(dá)定理代入，結(jié)合基本不等式，即可求出面積的最大值.
小問1詳解】
由題意得，，則，所以，
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
①設(shè)直線為：，由題意可得，，，則，
由，得，則，，，
直線，
當(dāng)時(shí)，則，所以直線過定點(diǎn).
②因?yàn)?，，，則，
所以=
，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)成立，所以，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以面積的最大值為.
19. 對(duì)于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)．已知且的不動(dòng)點(diǎn)的集合為，以表示集合中的最小元素．
（1）若，求中元素個(gè)數(shù)；
（2）當(dāng)恰有一個(gè)元素時(shí)，的取值集合記為．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若為中的最小元素，數(shù)列滿足，．求證：，．
【答案】（1）2 （2）（?。áⅲ┳C明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義，用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解；
（2）（ⅰ）用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解；
（ⅱ）先證明，再證明，利用切線放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，即可得證.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?
由得，，
設(shè)，
，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
，
所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，
且，
因?yàn)椋裕?br>所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，
即在上恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，在上恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，
所以，所以的元素個(gè)數(shù)為2.
【小問2詳解】
（?。┊?dāng)時(shí)，由（1）知，有2個(gè)元素，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，，其定義域.
由得，，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
①當(dāng)，即時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，
即在上恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，符合題意，
②當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，
又因?yàn)?，?br>所以，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因，
所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，
且，，
因?yàn)楫?dāng)趨近于0時(shí)，趨近于負(fù)無窮，
所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，
所以至少有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，不符合題意，
所以的取值范圍是，即.
（ⅱ）由（?。┲?，
所以，
此時(shí)，
令，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
即，
所以由可得當(dāng)，則，
因此，若存在正整數(shù)，使得，則，從而，重復(fù)這一過程有限次后可得，與矛盾，
從而，對(duì)，
下面我們先證明，當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，
則當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，
所以，即當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以?br>，
即，
由于，，
所以，，故，
故當(dāng)時(shí)，
，
所以，
故，．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有三個(gè)：一是理解不動(dòng)點(diǎn)的含義；二是利用分類討論確定集合；三是借助不等式進(jìn)行放縮，把目標(biāo)式放縮為一個(gè)等比數(shù)列求和，借助等比數(shù)列的求和公式可證結(jié)論.
性別
鍛煉情況
合計(jì)
不經(jīng)常
經(jīng)常
女生/人
5
30
35
男生/人
5
10
15
合計(jì)/人
10
40
50
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代號(hào)
1
2
3
4
5
新增碳排放萬噸
6.1
5.2
4.9
4
3.8

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