2025年高考數學壓軸題訓練(新高考版)專題10一元函數的導數及其應用專題特訓(學生版+解析)

這是一份2025年高考數學壓軸題訓練(新高考版)專題10一元函數的導數及其應用專題特訓(學生版+解析)，共36頁。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc8278" 一、圖象識別題 PAGEREF _Tc8278 \h 1
\l "_Tc30144" 二、函數切線條數問題 PAGEREF _Tc30144 \h 3
\l "_Tc28706" 三、不等式整數解問題 PAGEREF _Tc28706 \h 4
\l "_Tc8395" 四、函數零點，方程根，兩個函數圖象交點問題 PAGEREF _Tc8395 \h 5
\l "_Tc16467" 五、不等式恒成立問題 PAGEREF _Tc16467 \h 7
一、圖象識別題
1．（2024·湖北·模擬預測）函數的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·寧夏固原·一模）已知函數的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·天津·一模）如圖是函數的部分圖象，則的解析式可能為（ ）

A．B．
C．D．
4．（2024·全國·模擬預測）函數的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·全國·模擬預測）函數的大致圖像是（ ）
A．B．
C．D．
二、函數切線條數問題
1．（23-24高三上·廣東汕頭·階段練習）若過點可作曲線三條切線，則（ ）
A．B．
C．或D．
2．（23-24高三上·廣東佛山·階段練習）已知函數，若經過點且與曲線相切的直線有三條，則（ ）
A．B．C．D．或
3．（23-24高二下·安徽安慶·期末）若過點可以作曲線的三條切線，則（）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）過直線上一點可以作曲線的兩條切線，則點橫坐標的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
三、不等式整數解問題
1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知函數，若關于的的方程有且僅有兩個不同的整數解，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·遼寧沈陽·階段練習）已知函數，若關于的不等式恰有兩個整數解，則實數的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全國·模擬預測）已知關于x的不等式恰有一個整數解，則實數k的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·河南鄭州·期末）若關于的不等式恰好有個整數解，則實數的范圍為（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二下·江蘇揚州·期末）已知偶函數滿足，，且當時，.若關于的不等式在上有且只有個整數解，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
四、函數零點，方程根，兩個函數圖象交點問題
1．（23-24高二下·四川樂山·期末）已知函數和有相同的最小值．
(1)求；
(2)若直線與和的圖象共有四個不同的交點，試探究：從左到右四個交點橫坐標之間的等量關系．
2．（23-24高二下·廣東深圳·階段練習）用數學的眼光看世界就能發(fā)現很多數學之“美”．現代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數，是的導函數，則曲線在點處的曲率為
(1)已知函數，
①求函數在點處的曲率的平方；
②求函數的曲率的最大值．
(2)函數，若在兩個不同的點處曲率為0，求實數的取值范圍．
3．（2024·北京房山·一模）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)設，求函數的極大值；
(3)若，求函數的零點個數．
4．（23-24高三下·上?！るA段練習）已知函數和
(1)若函數是定義域上的嚴格減函數，求的取值范圍.
(2)若函數和有相同的最小值，求的值
(3)若，是否存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列
5．（2023·黑龍江·模擬預測）已知函數．
(1)求函數單調區(qū)間；
(2)若過點可以作曲線的3條切線，求實數的取值范圍．
五、不等式恒成立問題
1．（2024·湖南·一模）若不等式對恒成立，其中，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·山東菏澤·一模）關于的不等式恒成立，則的最小值為 ．
3．（23-24高三上·山東臨沂·期末）已知函數，若關于x的不等式（e是自然對數的底數）在R上恒成立，則a的取值范圍 ．
4．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習）已知函數
(1)當時，求的單調區(qū)間；
(2)若恒成立，求的最小值.
專題10 一元函數的導數及其應用
（利用導數研究函數圖象及性質）
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc8278" 一、圖象識別題 PAGEREF _Tc8278 \h 1
\l "_Tc30144" 二、函數切線條數問題 PAGEREF _Tc30144 \h 5
\l "_Tc28706" 三、不等式整數解問題 PAGEREF _Tc28706 \h 9
\l "_Tc8395" 四、函數零點，方程根，兩個函數圖象交點問題 PAGEREF _Tc8395 \h 13
\l "_Tc16467" 五、不等式恒成立問題 PAGEREF _Tc16467 \h 24
一、圖象識別題
1．（2024·湖北·模擬預測）函數的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【優(yōu)尖升-分析】根據時的單調性可排除BC；再由奇偶性可排除D.
【詳解】，
因為當時，都為增函數，
所以，單調遞增，故B，C錯誤；
又因為，
所以不是奇函數，即圖象不關于原點對稱，故D錯誤.
故選：A
2．（2024·寧夏固原·一模）已知函數的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【優(yōu)尖升-分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的單調性排除D，從而得解.
【詳解】對于B，當時，，易知，，
則，不滿足圖象，故B錯誤；
對于C，，定義域為，
又，則的圖象關于軸對稱，故C錯誤；
對于D，當時，，
由反比例函數的性質可知，在上單調遞減，故D錯誤；
檢驗選項A，滿足圖中性質，故A正確.
故選：A.
3．（2024·天津·一模）如圖是函數的部分圖象，則的解析式可能為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【優(yōu)尖升-分析】根據函數的奇偶性可排除C，根據在原點附近的函數值的正負可排除BA，即可求解.
【詳解】由圖可知：的圖象關于軸對稱，則為偶函數，
對于A，，為偶函數，
但當取一個很小的正數，例如，選項中的，而原圖象中值為負數，故A不符合，舍去，
對于B, ,為偶函數，但是處有意義，但是原函數在處無意義，故B不符合，
對于C，，為奇函數，故C不符合，
故選：D
4．（2024·全國·模擬預測）函數的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【優(yōu)尖升-分析】根據函數解析式，求函數定義域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判斷各個選項.
【詳解】由題意得，即，得，且，
所以的定義域為；
又，所以為奇函數，
其圖象關于原點對稱，排除B，C；
又，所以排除D．
故選：A．
5．（2024·全國·模擬預測）函數的大致圖像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【優(yōu)尖升-分析】由奇偶函數的定義可判斷A，C；由特值法可判斷B，D.
【詳解】函數的定義域為，關于原點對稱，
又，，
所以函數為奇函數，其圖像關于原點對稱，排除選項A，C．
因為，排除選項B.
（另解：當時，，所以，排除選項B）．
故選：D．
二、函數切線條數問題
1．（23-24高三上·廣東汕頭·階段練習）若過點可作曲線三條切線，則（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】D
【優(yōu)尖升-分析】設出切點，求導，得到切線方程，將代入切線方程，得到，故有三個實數根，令，求導，得到其單調性和極值點情況，從而得到不等式，求出答案.
【詳解】設切點為，則，
，故，且切線方程為，
因為在切線上，故，
整理得，
因為過點可作曲線三條切線，
故有三個實數根，
設，則，
由得，或，
因為，由得或，此時單調遞增，
由得，此時單調遞減，
所以的極大值點為，極小值點為，
故要有三個實數根的充要條件為，
即，解得.
故選：D
【點睛】應用導數的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現在以下幾個方面：
(1) 已知切點求斜率,即求該點處的導數；
(2) 已知斜率求切點即解方程；
(3) 已知切線過某點(不是切點) 求切點, 設出切點利用求解.
2．（23-24高三上·廣東佛山·階段練習）已知函數，若經過點且與曲線相切的直線有三條，則（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【優(yōu)尖升-分析】設切點為，再根據導數的幾何意義結合兩點間的斜率公式可得有3個解，構造函數，求導分析單調性與極值可得的取值范圍.
【詳解】，設經過點且與曲線相切的切點為，則.又切線經過，故由題意有3個解.
化簡有，即有3個解.
設，則，令有或，故當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.
又，，且，，故要有3個解，則.
故選：A
【點睛】已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解
3．（23-24高二下·安徽安慶·期末）若過點可以作曲線的三條切線，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【優(yōu)尖升-分析】設切點為，利用導數的幾何意義及條件可得關于的方程有三個不同的解，構造函數，利用導數研究函數的性質利用數形結合即得.
【詳解】由題可得，
設切點，則，整理得，
由題意知關于的方程有三個不同的解，
設，，
由，得或，又，
所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，單調遞增，
當時，
當時，，且，，
函數的大致圖像如圖所示，
因為的圖像與直線有三個交點，
所以，即.
故選：D.
【點睛】利用導數研究零點問題：
（1）確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可用導數知識確定極值點和單調區(qū)間從而確定其大致圖像；
（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理.可以通過構造函數的方法，把問題轉化為研究構造的函數的零點問題；
（3）利用導數研究函數零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數形結合思想研究；③構造輔助函數研究.
4．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）過直線上一點可以作曲線的兩條切線，則點橫坐標的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【優(yōu)尖升-分析】根據導數的幾何意義得出切線方程，再將方程的根的個數問題轉化為函數與函數的圖象的交點個數問題，結合圖象，即可得出答案.
【詳解】解：由題意得，設切點為，，
，，
則過點的切線方程為，整理得，
由點在切線上，則，即，
因為過直線上一點可以作曲線兩條切線，
所以關于的方程有兩個不等的實數根，
即函數與函數的圖象有兩個交點，
，
，
則函數在上單調遞增，在上單調遞減，且，
時，；時，，
則函數與函數的圖象如下圖所示：
由圖可知，，
故選：C.
三、不等式整數解問題
1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知函數，若關于的的方程有且僅有兩個不同的整數解，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【優(yōu)尖升-分析】根據絕對值的應用尋找方程成立的條件，再利用數形結合求解參數即可.
【詳解】若關于的的方程有且僅有兩個不同的整數解，
則必有且同時成立，即圖象夾在和之間，
易知，函數的圖象大致如圖，
結合圖形可知的整數解只有兩個，則其中一個為，另一個為，
所以，且，
解得，
故選：B
2．（23-24高一上·遼寧沈陽·階段練習）已知函數，若關于的不等式恰有兩個整數解，則實數的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【優(yōu)尖升-分析】畫出函數的圖像，然后對于不等式，分和以及和進行分析說明得實數的最小值.
【詳解】函數的圖像如下：

不等式恰有兩個整數解，
①當時，，即，
當時，，
由于恰有兩個整數解，又，
則整數解為和，又，
因為求最小值，此時就不用考慮了，的最小值為，
②當時，對于，
則，
只考慮，
則
又時有兩個整數解，則不等式的解集中含有多于個整數解，故舍去，
綜上，實數的最小值是.
故選：A.
3．（2024·全國·模擬預測）已知關于x的不等式恰有一個整數解，則實數k的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【優(yōu)尖升-分析】第一步：將不等式進行合理變形，關于x的不等式恰有一個整數解．
第二步：構造函數，研究新函數的性質，作出函數的圖象，根據圖象求解；
【詳解】設，，則，
當時，，
當時，，
在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．
當時，，當x趨近于時，趨近于0，，
直線過點，在同一坐標系中作出直線和函數的圖象如圖所示．
由圖象知，要使關于x的不等式恰有一個整數解，則
，解得，
故選：D．
4．（23-24高二下·河南鄭州·期末）若關于的不等式恰好有個整數解，則實數的范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【優(yōu)尖升-分析】數形結合可知，進而可得個整數解分別為，，，，所以，即可解得的取值范圍.
【詳解】
函數與的圖像如圖所示，
可知當時，兩函數的圖像有個交點，不等式有無數個整數解，
當，兩函數的圖像無交點，不等式無整數解，
當時，兩函數的圖像有個交點，不等式無整數解，
當時，兩函數的圖像有個交點，不等式有無數個整數解，
所以，則，
所以不等式的個整數解分別為，，，，
，解得，
解得，
故選：C.
5．（23-24高二下·江蘇揚州·期末）已知偶函數滿足，，且當時，.若關于的不等式在上有且只有個整數解，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【優(yōu)尖升-分析】分析可知，函數是周期為的周期函數，由題意可得關于的不等式在上有且只有個整數解，數形結合可得出實數的取值范圍.
【詳解】因為偶函數滿足，則，即，
所以，函數是周期為的周期函數，
當時，，令，可得.
由可得，由可得.
所以，函數在上單調遞增，在上單調遞減，
因為關于的不等式在上有且只有個整數解，
則關于的不等式在上有且只有個整數解，如下圖所示：

因為，且，
又因為，所以，要使得不等式在上有且只有個整數解，
則這五個整數解分別為、、、、，
所以，，即，
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用不等式的整數解的個數求參數的取值范圍，解題的關鍵在于作出函數的圖象，明確整數解是哪些整數，再結合圖形求解.
四、函數零點，方程根，兩個函數圖象交點問題
1．（23-24高二下·四川樂山·期末）已知函數和有相同的最小值．
(1)求；
(2)若直線與和的圖象共有四個不同的交點，試探究：從左到右四個交點橫坐標之間的等量關系．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【優(yōu)尖升-分析】（1）根據導數可得函數的單調性，從而可得相應的最小值，根據最小值相等可求a，注意分類討論.
（2）根據（1）可得，，結合大致圖象分兩種情況進行分析探究即可.
【詳解】（1）因為，所以．
若，則，此時無最小值，故.
當時，，故在上為減函數，
當時，，故在上為增函數，
故.
因為的定義域為，而.
當時，，故在上為減函數，
當時，，故在上為增函數，
故.
因為和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
設，則，
故為上的減函數，而，
故的唯一解為，故的解為.
綜上，.
（2）由（1）知，，故，，
且在上為減函數，在上為增函數，
在上為減函數，在上為增函數，且，
所以直線與和的圖象有四個不同的交點，存在以下兩種情況：
第一種情況，如圖：

設直線與的圖象交點橫坐標從左到右依次為，
直線與的圖象交點橫坐標從左到右依次為．
由圖可知且．
∵且．
∴．
同理，且．
∴．
∴，，
又∵，即：．
∴．
∴．
第二種情況，如圖：

設直線與的圖象交點橫坐標從左到右依次為，
直線與的圖象交點橫坐標從左到右依次為．
由圖可知，，且，，
∵且．
∴．
同理，且．
∴．
∴，，
又∵，即：．
∴．
∴．
綜上所述，若直線與和的圖象共有四個不同的交點，從左到右四個交點橫坐標之間的等量關系為：.
【點睛】思路點睛：函數的最值問題，往往需要利用導數討論函數的單調性，此時注意對參數的分類討論，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關系.
2．（23-24高二下·廣東深圳·階段練習）用數學的眼光看世界就能發(fā)現很多數學之“美”．現代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數，是的導函數，則曲線在點處的曲率為
(1)已知函數，
①求函數在點處的曲率的平方；
②求函數的曲率的最大值．
(2)函數，若在兩個不同的點處曲率為0，求實數的取值范圍．
【答案】(1)① ；②
(2)
【優(yōu)尖升-分析】（1）首先求得，，①代入得，結合曲率公式即可求解；②首先得曲率表達式，進一步通過換元法，構造函數求導即可得解；
（2）通過計算得，從而在兩個不同的點處曲率為0，等價于有兩個大于0的實數解，進一步證明在上單調遞增，從而原問題等價于有兩個實數解，利用導數研究函數零點即可求解．
【詳解】（1），，，
①由題意，，
②由定義知為非負數，由題意得
，，
∴，令，
∴，令，
則在上恒成立，
在上單調遞增，即，
，當且僅當時取到，所以曲率的最大值為．
（2），
，
，
因為在兩個不同的點處曲率為0，
有兩個大于0的實數解，
有兩個大于0的實數解．
令，
在上單調遞增，且值域為，
有兩個大于0的實數解有兩個實數解．
令，則，
令得，時，，即單調遞增；
時，，即單調遞減；
，
又時，；時，；
圖象如下圖所示：
有兩個實數解，．
所以的取值范圍為．
【點睛】關鍵點點睛：解決（2）的關鍵是通過同構將原問題轉換為有兩個實數解，由此即可順利得解.
3．（2024·北京房山·一模）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)設，求函數的極大值；
(3)若，求函數的零點個數．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
【優(yōu)尖升-分析】（1）求導，再根據導數的幾何意義即可得解；
（2）求導，分，和三種情況討論，再結合極大值的定義即可得解；
（3）令，則，再分的正負討論，當時，分離參數可得，則函數零點的個數即為函數圖象交點的個數，構造函數，利用導數求出其單調區(qū)間和極值，作出函數的大致圖象，結合圖象即可得解.
【詳解】（1）當時，，，
則，
所以曲線在點處的切線方程為，即；
（2），則，
則，
當時，，此時函數無極值；
當時，令，則或，令，則，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以的極大值為；
當時，令，則或，令，則，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
而函數的定義域為，
所以此時函數無極值.
綜上所述，當時，函數無極大值；
當時，的極大值為；
（3）令，則，
當時，，
所以時，函數無零點；
當時，由，得，所以，
則時，函數零點的個數即為函數圖象交點的個數，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
又當時，且，當時，，
如圖，作出函數的大致圖象，

又，由圖可知，所以函數的圖象只有個交點，
即當時，函數只有個零點；
綜上所述，若，函數有個零點．
【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區(qū)間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；
（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.
4．（23-24高三下·上?！るA段練習）已知函數和
(1)若函數是定義域上的嚴格減函數，求的取值范圍.
(2)若函數和有相同的最小值，求的值
(3)若，是否存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列
【答案】(1)
(2)1
(3)存在
【優(yōu)尖升-分析】
（1）求導，然后根據導函數不大于零恒成立，轉化為最值求解即可；
（2）分別求出兩函數的最值，根據最值相等構造函數，求導研究函數單調性，進而可得的值；
（3）求導研究函數和的單調性，及最值，設出其交點，進而求出三個不同的交點，根據等式可證明等差數列.
【詳解】（1）
恒成立，
因為，
所以，
則的取值范圍為；
（2）
定義域為，
，，
若，則，單調遞增，無最小值，
故，
當時，，
當時，，函數在上單調遞減，
當時，，函數在上單調遞增，
故，
的定義域為，
，，
令，解得，
當時，，函數在上單調遞減，
當時，，函數在上單調遞增，
故，
函數和有相同的最小值
，
，
化為，
令，，
則，
，
恒成立，
在上單調遞增，
又，僅有此一解，
；
（3）
（2）知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，
設，
則，當時，，
所以函數在上單調遞增，因為，
所以當時，恒成立，即在時恒成立，
所以時，，
因為，函數在上單調遞增，，函數在上單調遞減，
所以函數與函數的圖象在上存在唯一交點，設該交點為,，
此時可作出函數和的大致圖象，
由圖象知當直線與兩條曲線和共有三個不同的交點時，
直線必經過點,，即，
因為，所以，即，
令得，
解得或，由，得，
令得，解得或，由，得，
所以當直線與兩條曲線和共有三個不同的交點時，
從左到右的三個交點的橫坐標依次為，，，
因為，所以，
所以，，成等差數列．
存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．
【點睛】關鍵點點睛：本題第三問關鍵點是找到兩函數的交點對應的相關等式，才能求出3個交點時的橫坐標.
5．（2023·黑龍江·模擬預測）已知函數．
(1)求函數單調區(qū)間；
(2)若過點可以作曲線的3條切線，求實數的取值范圍．
【答案】(1)單調遞增區(qū)間是；單調遞減區(qū)間是
(2)
【優(yōu)尖升-分析】（1）求出函數的導數，解不等式，即可求得函數單調區(qū)間；
（2）設切點坐標為，利用導數的幾何意義求出切線方程，推出方程有三個不等實數根，構造函數，將方程根的問題轉化為函數圖像的交點問題，利用導數判斷函數的性質，作出函數圖像，數形結合，即可求解.
【詳解】（1）函數的定義域為，，
令，解得，所以函數的單調遞增區(qū)間是；
令，解得，所以函數的單調遞減區(qū)間是
（2）由題意可得，
設切點坐標為，則切線斜率，
所以切線方程為，
將代入得．
因為存在三條切線，即方程有三個不等實數根，
方程有三個不等實數根等價于函數的圖像有三個交點，
設，則，
當時，在上單調遞增；
在和上，在和上單調遞減，
，；
當或時，，時，，
當時，；當時，，
畫出的圖象如圖，
要使函數的圖像有三個交點，需，
即，即實數的取值范圍.
【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于根據過點可以作曲線的3條切線，求解參數的范圍，解答時要利用導數的幾何意義求出切線方程，即要使得方程有三個不等實數根，構造函數，轉化為函數的圖像的交點問題，利用導數判斷函數性質，數形結合，即可求解.
五、不等式恒成立問題
1．（2024·湖南·一模）若不等式對恒成立，其中，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【優(yōu)尖升-分析】先討論的范圍，當時，利用導數求最值，根據最小值大于等于0可得，然后將二元化一元，令，利用導數求最值可解.
【詳解】令，即，
當時，由函數與的圖象可知，兩函數圖象有一個交點，記為，
則當時，，即，不滿足題意；
當時，令，則，
令，則，因為單調遞增，
所以當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以時，有最小值，
又對恒成立，
所以，即，
所以，當且僅當時等號成立.
令，則，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以當時，，
所以，即，當且僅當，時等號成立，
所以的取值范圍為.
故選：A
【點睛】方法點睛：本題屬于恒成立問題，難點在于將恒成立轉化為最值問題，以及利用的不等關系將二元化一元，此處應注意保證任何時候都能取到等號.
2．（2024·山東菏澤·一模）關于的不等式恒成立，則的最小值為 ．
【答案】
【優(yōu)尖升-分析】由，得，利用導數證明，則問題轉化為恒成立，即可得解.
【詳解】令，則，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，
由，得，
而，
令，
則，所以，
若，
如圖作出函數的圖象，

由函數圖象可知，方程有唯一實數根，
即，
由，得，
即，
當時，，即，
又，，所以，
所以不成立，
即當時，不恒成立，
綜上所述，的最小值為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
（1）通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．
（3）根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
3．（23-24高三上·山東臨沂·期末）已知函數，若關于x的不等式（e是自然對數的底數）在R上恒成立，則a的取值范圍 ．
【答案】
【優(yōu)尖升-分析】
首先畫出函數的圖象，再利用數形結合，通過直線與的圖象相切時的臨界值，即可求解的取值范圍.
【詳解】在上恒成立，等價于的圖象恒在直線的上方，
，兩邊平方后得，
所以的圖象是以為圓心，半徑為1，并且在軸的下半部分的半圓，
，，得，
當時，，函數在單調遞減，
當時，，函數在單調遞增，
當時，函數取得最小值，
如圖，畫出函數的圖象：
直線恒過定點，當直線與相切時，
設切點，
，可得，由，解得：，
則切線的斜率為2，
當直線與，相切時，直線與半圓相切，由，解得：，
由圖可知，的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是正確畫出函數的圖象，并會根據直線與曲線相切，求直線的斜率.
4．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習）已知函數
(1)當時，求的單調區(qū)間；
(2)若恒成立，求的最小值.
【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為
(2)
【優(yōu)尖升-分析】（1）代入，直接求導然后確定單調性；
（2）先令求出的范圍，然后證明當時等號成立即可，構造函數，求導，確定單調性求最值即可.
【詳解】（1）當時，，，
令，得，令，得，
故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
（2）由，且恒成立，則，即，
結合目標式，令，則有（必要性探路），
下面驗證等號成立條件，由，令，其圖象如下，
要使上述不等式等號成立，只需在處的切線為的公切線，
而，則，結合，
所以時，等號成立；
下面證明當時不等式的等號成立.
令，，
令，
因為，且對稱軸，
故時，，遞增；時，，遞減；
所以成立，故的最小值為.