（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
第I卷（選擇題 共40分）
單項(xiàng)選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。
1．已知全集，集合，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)補(bǔ)集與交集的定義求解即可.
【詳解】由，得,
因?yàn)?，所?
故選：A.
2．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可．
【詳解】選項(xiàng)A，令，定義域?yàn)椋?br>且，即為奇函數(shù)，
選項(xiàng)B，令，定義域?yàn)?，?br>即為奇函數(shù)；
選項(xiàng)C，令，，，
故不是偶函數(shù)；
選項(xiàng)D，，定義域?yàn)?，且，則為偶函數(shù)，
故選：D．
3．若實(shí)數(shù)，則下列不等式一定不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B，利用特殊值判斷C，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D.
【詳解】因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減且，所以，故A正確；
因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增且，所以，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，故C不正確；
因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增且，所以，故D正確.
故選：C.
4．如圖，已知等腰中， ，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值（ ）
A．為定值6B．為定值10
C．不為定值，有最小值6D．不為定值，有最大值10
【分析】先記的中點(diǎn)為，然后利用為等腰三角形，得到，再利用向量數(shù)量積的幾何意義求解即可.
【詳解】記的中點(diǎn)為，由題可知，，,，
所以.
故選：B
5．中和殿是故宮外朝三大殿之一.位于紫禁城太和殿與保和殿之間，中和殿建筑的亮點(diǎn)是屋頂為單檐四角攢尖頂，體現(xiàn)天圓地方的理念，其屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐.已知此正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個(gè)角接近30°.若取，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為24mB．正四棱錐的高為
C．正四棱錐的體積為D．正四棱錐的側(cè)面積為
【分析】在正四棱錐中，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，根據(jù)側(cè)棱長(zhǎng)和側(cè)面與底面所成的二面角可求底邊的邊長(zhǎng)，從而可求體高、側(cè)面積以及體積，據(jù)此可判斷各項(xiàng)的正誤．
【詳解】如圖，在正四棱錐中，為正方形的中心，，
則為的中點(diǎn)，連接，，，
則平面，，
則為側(cè)面與底面所成的銳二面角，
設(shè)底面邊長(zhǎng)為，正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為，
這個(gè)角接近，取，，
則．
在中，，解得，故底面邊長(zhǎng)為，
正四棱錐的高為，
側(cè)面積為，
體積，
故ABC正確，D錯(cuò)誤.
故選：D．
6．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“且”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷，說(shuō)明充分性，由時(shí)，即可說(shuō)明不必要性.
【詳解】因?yàn)榍遥缘炔顢?shù)列單調(diào)遞減，且公差小于0，
故，，
則，
即，所以，
由，當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列單調(diào)遞增，
則不可能滿足且，
因此“且”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
7．黨的二十大會(huì)議確定“高質(zhì)量發(fā)展是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的首要任務(wù)”的新部署．某企業(yè)落實(shí)該舉措后因地制宜，發(fā)展經(jīng)濟(jì)，預(yù)計(jì)年人均增加元收入，以后每年將在此基礎(chǔ)上以的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，則該企業(yè)每年人均增加收入開始超過元的年份大約是（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，，）
A．2034年B．2035年C．2036年D．2037年
【分析】從年起，第該企業(yè)人均增加收入超過元，求出第年的人均增加收入，可得出關(guān)于的不等式，解之即可.
【詳解】從年起，第該企業(yè)人均增加收入超過元，
因?yàn)閺哪昶?，每年將在此基礎(chǔ)上以的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，
所以，第年該企業(yè)的人均增加收入為元，由，即，
可得，所以，，
故年開始，該企業(yè)每年人均增加收入開始超過元.
故選：B.
8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．4
【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性及定義，求出、長(zhǎng)度，由直角三角形求解可得解.
【詳解】如圖，
因?yàn)殡p曲線，所以，
由雙曲線的對(duì)稱性知，
所以，
由雙曲線定義可得，
所以，又，
所以，即，
所以,
故，
故選：C
9．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】由拋物線的定義知道，然后知道三點(diǎn)共線線段和最小，所以在圓上找到離直線距離最近的點(diǎn)即可得到最小值.
【詳解】由拋物線方程可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
如圖：
過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，
因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以，所以，
當(dāng)Q點(diǎn)固定不動(dòng)時(shí)，P、Q、N三點(diǎn)共線，即垂直于準(zhǔn)線時(shí)，所求的和最小，
又因?yàn)镼在圓上運(yùn)動(dòng)，由圓的方程為得圓心，半徑，
所以.
故選：A.
10．“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項(xiàng)式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（ ）
A．在第10行中第5個(gè)數(shù)最大
B．第2023行中第1011個(gè)數(shù)和第1012個(gè)數(shù)相等
C．
D．第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于9行的第8個(gè)數(shù)
【分析】根據(jù)楊輝三角的規(guī)律以及組合數(shù)的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即得.
【詳解】對(duì)于A，因“楊輝三角”的第10行中第5個(gè)數(shù)是，又，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因“楊輝三角”的第2023行中第1011個(gè)數(shù)和第1012個(gè)數(shù)分別為和，
因，故，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因
，
則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因而，故D正確.
故選：D.
第II卷（非選擇題 共110分）
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。
11．復(fù)數(shù)的模為 ．
【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及模長(zhǎng)公式即可求解.
【詳解】，
所以的模為，
故答案為：
已知，且，則的值為 ．
【分析】由對(duì)數(shù)的定義求出，，代入，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求解.
【詳解】由，則，，
則，
因此可得，
故答案為：.
在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，將線段繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段.若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 .
【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式，可得答案.
【詳解】由題意可知，終邊為的角為，則終邊為的角為，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
故答案為：.
在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知A，B，C成等差數(shù)列，，則面積的最大值是 ， .
【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得B，結(jié)合重要不等式及三角形面積公式即可求得三角形面積的最大值；運(yùn)用正弦定理可得，，由余弦定理可得，代入求解即可.
【詳解】由題意知，，
又，所以，
又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
故面積的最大值為.
因?yàn)?，?br>所以，，
所以，
由余弦定理得，
所以.
故答案為：；.
15．從棱長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正四面體的一頂點(diǎn)出發(fā)，每次均隨機(jī)沿一條棱行走1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)行走次時(shí)恰好為第一次回到點(diǎn)的概率為，恰好為第二次回到點(diǎn)的概率為，則下列結(jié)論正確的是
①．②．
③．時(shí)，為定值④．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為
【分析】還原情境，求出和，逐項(xiàng)判斷即可求解.
【詳解】由題意得對(duì)于任意一次行走，到達(dá)其他三個(gè)點(diǎn)概率均為，
若要行走次時(shí)恰好第一次回到點(diǎn)，則第1、2次均不到點(diǎn)A,
所以，故①選項(xiàng)正確；
若要行走次時(shí)恰好第二次回到點(diǎn)，則第2次必須回到點(diǎn)A，概率為，故②選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若要行走次時(shí)恰好為第一次回到點(diǎn)，則次均未到達(dá)點(diǎn)A，所以，
所以為定值，故③選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，設(shè)第次第一次到達(dá)點(diǎn)A，第n次恰好第二次到達(dá)點(diǎn)A，
由于第1次和第次的行走不用限制，所以此時(shí)概率為，
所以，
令，解得，
所以，
所以和為最大值，故④選項(xiàng)正確.
故選：①③④.
三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程及驗(yàn)算步驟。
16．（13分）已知函數(shù)（，）.從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.
(1)求的解析式；
(2)設(shè)，，求函數(shù)的最小值與單調(diào)遞減區(qū)間.
條件①：；
條件②：為偶函數(shù)；
條件③：的最大值為1；
條件④：圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【分析】（1）由二倍角易得，函數(shù)為奇函數(shù)，故②不能選，若①和③同時(shí)選，不滿足函數(shù)存在且唯一；選擇條件①④，由相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離可得周期，即得的值，由代入即可得的值；選擇條件③④，由最大值得的值，進(jìn)而得解析式.
（2）通過公式化簡(jiǎn)可得，由，計(jì)算出的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得最值與單調(diào)性.
【詳解】（1）為奇函數(shù)，故②不能選，
選擇條件①③：
因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，所以，即，
因?yàn)?，所以，的值不唯一，故不能選.
選擇條件①④：
因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以，即，
所以，
因?yàn)?，所以，即?br>所以.
選擇條件③④：
因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以，即，
所以，
因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，所以，即，
所以.
（2），
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)，即時(shí)，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以，所以，
所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
17．（14分）某智能機(jī)器人體驗(yàn)店近日生意火爆，來(lái)店的消費(fèi)者絡(luò)繹不絕，店長(zhǎng)對(duì)最近100位消費(fèi)者的體驗(yàn)機(jī)器人時(shí)長(zhǎng)（不超過25分鐘）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示，已知每位消費(fèi)者在該人工智能體驗(yàn)店每體驗(yàn)一臺(tái)機(jī)器人的時(shí)間為5分鐘，該體驗(yàn)店的利潤(rùn)為100元，體驗(yàn)時(shí)間為10分鐘或者15分鐘，其利潤(rùn)為150元，體驗(yàn)時(shí)間為20分鐘或者25分鐘，其利潤(rùn)為200元.用表示該體驗(yàn)店從一名消費(fèi)者身上獲取的利潤(rùn).
(1)若以頻率作為概率，求在該體驗(yàn)店消費(fèi)的3名消費(fèi)者中，至多有1名體驗(yàn)者體驗(yàn)15分鐘的概率；
(2)求的分布列及期望.
【分析】（1）求出體驗(yàn)者體驗(yàn)15分鐘的概率，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解即可；
（2）由題意，可能取值為：100，150，200，，求出相應(yīng)的概率，得到的分布列，再結(jié)合期望公式求解.
【詳解】（1）以頻率作為概率，則體驗(yàn)者體驗(yàn)15分鐘的概率為，事件“在該體驗(yàn)店消費(fèi)的3名消費(fèi)者中，至多有1名體驗(yàn)者體驗(yàn)15分鐘”，
則
（2）由題意，可能取值為：100，150，200，
則；
，
，
所以的分布列為：
所以
18．（14分）如圖，平面，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點(diǎn).
(1)求證：平面CPM；
(2)求平面QPM與直線PC所成角的余弦值；
(3)若N為線段CQ上的點(diǎn)，直線DN與平面QPM所成的角為，求N到平面CPM的距離.
【分析】（1）連接EM，可證四邊形MEFC為平行四邊形，再由線面平行的判定定理即可證得；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求線面角余弦值即可；
（3）設(shè)且，應(yīng)用空間向量法及直線DN與平面QPM所成的角為，列方程求參數(shù)，再應(yīng)用空間向量法求出點(diǎn)面距即可.
【詳解】（1）連接EM，因?yàn)椋?，所以，又?br>所以四邊形PQBA為平行四邊形，又點(diǎn)E，M分別為AP，BQ中點(diǎn)，則且，
因?yàn)椋?，所以且?br>又點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，所以且，
所以四邊形MEFC為平行四邊形，所以，
又平面CPM，平面CPM，所以平面CPM.
（2）因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，，又，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.
因?yàn)椋?br>所以，，，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，取，則.
設(shè)平面與直線所成角，則，
所以與直線所成角的正弦值為.
（3）設(shè)且，則，
因?yàn)橹本€與平面所成的角為，所以，
所以，解得（舍去），所以，
因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，
則，取，則.
則到平面的距離為.
19（14分）．已知橢圓：（）的左頂點(diǎn)為，的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為.過定點(diǎn)（）作與軸不重合的直線交于，兩點(diǎn)，直線，分別與軸交于點(diǎn)，.
(1)求的方程；
(2)是否存在點(diǎn)，使得等于定值？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【分析】（1）由題可知，，然后利用的關(guān)系求解即可.
（2）先設(shè)直線的方程為，，然后直線方程與橢圓方程聯(lián)立，計(jì)算得到，然后求出，，再計(jì)算的值，化簡(jiǎn)最后求出即可.
【詳解】（1）由題可知，
得
所以橢圓的方程為
（2）由題可知，直線不能水平，A?2,0
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立
所以
直線方程為y=y1x1+2x+2
所以，同理
所以
若，得或
當(dāng)時(shí)，，得或，成立
當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以存在點(diǎn)，使得等于定值，或.
20．（15分）已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)在內(nèi)存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，可得，即可求；
（2）令，由已知函數(shù)在內(nèi)存在極值，則在內(nèi)有變號(hào)零點(diǎn)，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出，，解不等式即可求解；
（3）由已知在上恒成立，設(shè)，，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得最小值，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與軸平行，
所以，即，所以；
（2）由（1）可知，
因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)存在極值，
所以在內(nèi)有變號(hào)根，
因?yàn)椋栽趦?nèi)有變號(hào)根，
令，，
所以，由，得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
且，，
要使在內(nèi)有變號(hào)根，即在內(nèi)有變號(hào)零點(diǎn)，
所以，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（3）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，
則，即在上恒成立，
設(shè)，，
所以，
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以，單調(diào)遞增，
所以，所以，所以單調(diào)遞增，
所以，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
21．（15分）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為．定義：若存在，使得對(duì)任意的，恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．
(1)若，且為“2數(shù)列”，求．
(2)若，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)的平方和為，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，求的值和的通項(xiàng)公式．
(3)若，，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)和為，證明：．
【分析】（1）根據(jù)“2數(shù)列”的定義計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意得到，然后結(jié)合“數(shù)列”的定義列方程得到，最后寫通項(xiàng)即可；
（3）根據(jù)“數(shù)列”的定義得到，然后構(gòu)造函數(shù)得到，最后利用累加法證明即可.
【詳解】（1）由，且為“2數(shù)列”，得，即，
則，
，
，
．
（2）設(shè)數(shù)列的公比為，
由，得，
即，
則．
兩式相減得，
即．
因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為2的“數(shù)列”，所以，
即，
所以，
即對(duì)任意的恒成立．
因?yàn)?，?br>則，即，
解得，．
又由，即，得，所以．
檢驗(yàn)可知符合要求，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（3）因?yàn)闉椤皵?shù)列”，所以，
即對(duì)任意的恒成立，
因?yàn)椋?，所以?br>再結(jié)合，，，反復(fù)利用，
可得對(duì)任意的，．
設(shè)函數(shù)，則．
由，得．
當(dāng)時(shí)，f'x

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