（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
第I卷（選擇題 共40分）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是（ ）
A．B．3C．D．
3．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．1B．C．2D．
4．現(xiàn)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選取兩人加入“數(shù)學(xué)興趣小組”，用A表示事件“抽到兩名同學(xué)性別相同”，表示事件“抽到兩名女同學(xué)”，則在已知A事件發(fā)生的情況下事件發(fā)生的概率即（ ）
A．B．C．D．
5．已知點(diǎn)在邊長(zhǎng)為2的正八邊形的邊上，點(diǎn)在邊上，則 的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．若圓與軸，軸均有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是f'x，如果函數(shù)的圖像如圖所示，那么的值分別為（ ）
A．1，0B．C．D．
8．如圖，已知正方體中，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）

A．存在點(diǎn)E，使平面
B．三棱錐的體積隨動(dòng)點(diǎn)E變化而變化
C．直線與所成的角不可能等于
D．存在點(diǎn)E，使平面
9．若，則（ ）
A．B．C．D．
10．某市一個(gè)經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)的公路路線圖如圖所示，七個(gè)公司分布在大公路兩側(cè)，有一些小公路與大公路相連.現(xiàn)要在大公路上設(shè)一快遞中轉(zhuǎn)站，中轉(zhuǎn)站到各公司（沿公路走）的距離總和越小越好，則這個(gè)中轉(zhuǎn)站最好設(shè)在（ ）
A．路口B．路口C．路口D．路口
第II卷（非選擇題 共110分）
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。
11．已知向量，若，則實(shí)數(shù) .
12．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為 ．
13．已知的數(shù)（），若的最小正周期為，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，則 ；若在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，則的一個(gè)取值為 ．
14．設(shè)首項(xiàng)是1的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則 ；若，則正整數(shù)m的最大值是 .
15．已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最小值為；
②存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最小值為；
③存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)；
④存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。
16．（13分）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn).
(1)過(guò)點(diǎn)作出一條與平面平行的直線，并說(shuō)明理由；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
17．（14分）在中，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．
條件①：；
條件②：；
條件③：的周長(zhǎng)是．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
18．（13分）某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過(guò)程性積分.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得其科普測(cè)試成績(jī)（百分制，且均為整數(shù)）及相應(yīng)過(guò)程性積分?jǐn)?shù)據(jù)，整理如下表：
(1)當(dāng)時(shí)，
（i）從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的概率；
（ⅱ）從該?？破諟y(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，記X為這2名學(xué)生的科普過(guò)程性積分之和，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；
(2)從該?？破者^(guò)程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測(cè)試成績(jī)記為，上述100名學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)的平均值記為.若根據(jù)表中信息能推斷恒成立，直接寫出a的最小值.
19．（15分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，斜率存在的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且直線DA，DB的斜率之和等于1.
(1)求；
(2)若點(diǎn)D在第一象限，探究的面積是否有最大值？若有，求出最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.
20．（15分）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21．（15分）給定正整數(shù)，設(shè)數(shù)列是的一個(gè)排列，對(duì)，表示以為首項(xiàng)的遞增子列的最大長(zhǎng)度，表示以為首項(xiàng)的遞減子列的最大長(zhǎng)度.
(1)若，，，，，求和；
(2)求證：，；
(3)求的最小值.
科普測(cè)試成績(jī)x
科普過(guò)程性積分
人數(shù)
4
10
3
a
2
b
1
23
0
2

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