第I卷（選擇題）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。
1．已知集合，若集合A、B滿足：，則集合對共有（ ）個．
A．36B．48C．64D．81
【答案】D
【詳解】因為，，當(dāng)時，又，故，當(dāng)集合中有一個元素時，又，這樣的集合對有，當(dāng)集合中有兩個元素時，又，這樣的集合對有，當(dāng)集合中有三個元素時，又，這樣的集合對有，當(dāng)集合中有四個元素時，又，這樣的集合對有，所以集合對共有.故選：D.
2．在年巴黎奧運(yùn)會上，我國網(wǎng)球選手鄭欽文歷經(jīng)場比賽，勇奪巴黎奧運(yùn)會女子網(wǎng)球單打冠軍，書寫了中國網(wǎng)球新的歷史．某學(xué)校有2000名學(xué)生，一機(jī)構(gòu)在該校隨機(jī)抽取了名學(xué)生對鄭欽文奧運(yùn)會期間場單打比賽的收看情況進(jìn)行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下：
從表中數(shù)據(jù)可以得出的正確結(jié)論為（ ）．
A．表中的數(shù)值為
B．觀看場次不超過場的學(xué)生的比例為
C．估計該校觀看場次不超過場的學(xué)生約為人
D．估計該校觀看場次不低于場的學(xué)生約為人
【答案】D
【詳解】由表可知，，解得，選項A錯誤；觀看場次不超過場的學(xué)生的比例為，選項B錯誤；觀看場次不超過場的學(xué)生的比例為，則觀看場次不超過場的學(xué)生約為人，選項C錯誤；觀看場次不低于場的學(xué)生的比例為，則觀看場次不低于場的學(xué)生約為人，選項D正確．故選：D
3．若，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【詳解】因為，且，，所以，，所以，所以．故選：D．
4．已知，C是以AB為直徑的圓上一點，，D為AC的中點，則（ ）
A．-9B．-12C．-15D．-16
【答案】D
【詳解】解：如圖所示：
因為，C是以AB為直徑的圓上一點，，
所以，
又D為AC的中點，
所以，
，
故選：D.
5．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【詳解】因為，令，
則由，即，解得或或，
在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出，，，的圖象如圖所示，

由圖象可知與有1個交點，即有1個根，
與有3個交點，即有3個根，
與有2個交點，即有2個根，
所以函數(shù)的零點個數(shù)為個，
故選：C
6．在三棱錐P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱錐P-ABC的外接球，則球O的表面積為（ ）
A．96πB．84πC．72πD．48π
【答案】B
【詳解】在中，，則，中點為的外心，
于是平面，取中點，連接，則，而平面PAB⊥平面ABC，
平面平面，平面，則平面，，
令正的外心為，則為的3等分點，，
又平面，則，而，則四邊形是矩形，
，因此球O的半徑，
所以球O的表面積為.
故選：B
7．已知點為橢圓上第一象限的一點，左、右焦點為，，的平分線與軸交于點，過點作直線的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點，若，則面積為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【詳解】如圖所示，延長，交的延長線于點，
因為為的平分線，⊥，由三線合一得為等腰三角形，
即，為的中點，
因為為的中點，所以為的中位線，
故，設(shè)，
由橢圓定義知，，
由得，解得，
故，，
在中，由余弦定理得
，
故，
故.
故選：C
8．已知及其導(dǎo)函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點對稱，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由為偶函數(shù)，得，則．
兩邊取導(dǎo)數(shù)，得①．
由的圖象關(guān)于點1,0對稱，得②．
①②，得，所以，
則數(shù)列中所有奇數(shù)項是公差為2的等差數(shù)列，所有偶數(shù)項是公差為2的等差數(shù)列．
在中，令，得．
在中，令，得．
在中，令，得，
所以，
所以數(shù)列是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，
則．
故選：D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．函數(shù)過定點，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．的最小值為
C．最小值為D．最小值為
【答案】BC
【詳解】對A：由，故，
由，
故有，即，故A錯誤；
對B：由，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，故B正確；
對C：，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確；
對D：，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即最大值為，故D錯誤.
故選：BC.
10．在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，若點P滿足，其中，，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值
B．當(dāng)時，的面積S的最大值為
C．當(dāng)時，有且僅有一個點P，使得
D．當(dāng)時，有且僅有一個點P，使得平面
【答案】AC
【詳解】由題意得，.
∵，平面，平面，，
∴平面，
∵，∴平面.
由得點在四邊形內(nèi)（包含邊界）.

以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
∴，
∴，由得，.
A. 當(dāng)時，，此時點到距離為，
故，為定值，選項A正確.
B. 當(dāng)時，，，當(dāng)時，，
由平面，平面，得，
∴，最大值為，選項B錯誤.
C. 當(dāng)時，，
由得，，故有且僅有一個點P，使得，選項C正確.
D. 當(dāng)時，，
由題意得，四邊形為正方形，故，
要使平面，需，
∵，∴不成立，選項D錯誤.
故選：AC.
11．已知拋物線的焦點為，圓，圓上存在動點，過作圓的切線，也與拋物線相切于點，拋物線上任意一點到直線與直線的距離分別為．若點的坐標(biāo)為，則（ ）
A．
B．
C．的最小值為
D．圓上的點到直線的最大距離為
【答案】BCD
【詳解】由圓，得圓心，又點的坐標(biāo)為，所以．
因為直線為圓的切線，所以，所以，所以直線的方程為，即．聯(lián)立得方程組，消去并整理，得．因為直線與拋物線相切，所以，解得（舍去），所以拋物線的方程為，所以，
當(dāng)時，方程為，解得，所以，解得，所以切點，所以，故A錯誤，B正確．設(shè)點到直線的距離為．因為，所以．因為點到直線的距離，所以，故C正確．因為，所以直線的方程為，即．
因為圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線的最大距離為，故D正確．故選：BCD．
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．等差數(shù)列中，，記，則當(dāng) 時，取得最大值．
【答案】4
【詳解】在等差數(shù)列中，，
，
即，
．
所以數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，
所以，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
故當(dāng)時，取得最大值．
故答案為：4
13．在函數(shù)的圖象與直線的交點中，任取兩點與原點組成三角形，這些三角形的面積的最小值為，則 ．
【答案】
【詳解】原點到直線的距離為，設(shè)交點，，且，
由，即，
點，相鄰，且在的一條對稱軸兩側(cè)時，，
此時，，，兩式相減，得，
所以．
故答案為：
14．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的最大值為 ．
【答案】/
【詳解】設(shè)，則其定義域為，且
，故為奇函數(shù).
而，且僅在時，所以為增函數(shù).
同時，不等式可化為，即.
而是奇函數(shù)，故原不等式又等價于，再根據(jù)是增函數(shù)，知這等價于.
當(dāng)x>0時，這可化為，故條件即為對任意x∈0,+∞成立.
①一方面，在條件中取x=1，即可得到，從而一定有；
②另一方面，當(dāng)時，我們證明對任意的，都有.
首先，代入，然后兩邊同乘正數(shù)，可知該不等式等價于.
設(shè)，則，故對有，對有.
從而在上遞減，在上遞增，所以對均有.
這就意味著，所以
.
從而由即可得到.
這就證明了不等式對恒成立，從而原條件一定滿足.
綜合①②兩方面，可知的最大值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。
15．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，.
(1)若，求面積的最大值；
(2)若，在邊AC的外側(cè)取一點D（點D在外部），使得，，且四邊形的面積為，求的大小.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理化簡得，由余弦定理求得，得到，再由余弦定理和基本不等式求得ac的最大值，進(jìn)而求得面積的最大值；
（2）設(shè)，利用余弦定理和為正三角形，求得，列出方程，即可求解.
【詳解】（1）由
因為，可得，
又由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因為，可得，所以，
在中，由余弦定理得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，
所以面積的最大值為.
（2）設(shè)，則，
在中，由余弦定理得，
由（1）知，且，所以為正三角形，
所以，
可得，
故，因為，所以，可得.
16．某校高三年級在一次數(shù)學(xué)測驗中，各位同學(xué)的成績，現(xiàn)規(guī)定：成績在的同學(xué)為“成績頂尖”，在的同學(xué)為“成績優(yōu)秀”，低于90分的同學(xué)為“不及格”.
(1)已知高三年級共有2000名同學(xué)，分別求“成績優(yōu)秀”和“不及格”的同學(xué)人數(shù)（小數(shù)按四舍五入取整處理）；
(2)現(xiàn)在要從“成績頂尖”的甲乙同學(xué)和“成績優(yōu)秀”的丙丁戊己共6位同學(xué)中隨機(jī)選4人作為代表交流學(xué)習(xí)心得，在已知至少有一名“成績頂尖”同學(xué)入選的條件下，求同學(xué)丙入選的概率：
(3)為了了解班級情況，現(xiàn)從某班隨機(jī)抽取一名同學(xué)詢問成績，得知該同學(xué)為142分.請問：能否判斷該班成績明顯優(yōu)于或者差于年級整體情況，并說明理由.
（參考數(shù)據(jù)：若，則，）
【答案】(1)“成績優(yōu)秀”和“不及格”的同學(xué)人數(shù)分別為人、人
(2)
(3)班級成績優(yōu)于年級成績
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中已知區(qū)間上的概率可求及，故可求成績優(yōu)秀的人數(shù)和不及格人數(shù)；
（2）根據(jù)條件概率的概率公式可求同學(xué)丙入選的概率：
（3）根據(jù)小概率幾乎不發(fā)生可判斷該班成績由于年級成績.
【詳解】（1）由已知，
“成績優(yōu)秀”的概率為：
.
“不及格”的概率為：
，
所以“成績優(yōu)秀”的人數(shù)為人，
“不及格”的人數(shù)為人.
（2）設(shè)事件：至少一名“成績頂尖”同學(xué)入選，事件：丙入選，
則，
（3）由條件知年級中，
而在該班隨機(jī)抽查中，同學(xué)成績在一次隨機(jī)事件中就發(fā)生了，
這說明班級成績優(yōu)于年級成績.
17．如圖，在三棱錐中，為正三角形，平面，點為線段BC上的動點，
(1)若點為BC中點，證明：
(2)在（1）的條件下，求平面PAC與平面ACF夾角的余弦值
(3)求線段長的最小值
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）證法1：由等腰三角形的性質(zhì)得，由線面垂直的性質(zhì)得，則得平面，再證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；證法2：在中求出，在中求出，從而可求出，再在中求出，最后在中利用勾股定理的逆定理可證得結(jié)論；
（2）以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，其中EC，EA為軸，軸的正半軸，然后利用空間向量求解即可；
（3）法1：以的中點為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，其中為軸，軸的正半軸，設(shè)，由表示出，從而可表示出，進(jìn)而可求出其最小值；法2：設(shè)BC的中點為，取PA中點，過點作平面PBC垂線，垂足為，可得點軌跡為在平面PBC中的以為圓心，為半徑的圓弧，從而可求得結(jié)果.
【詳解】（1）法1：因為為正三角形，點為BC中點，
所以，
因為平面，平面，所以，
因為，平面，
所以平面，
因為平面，所以，
因為，，平面，
所以平面，
因為平面，所以；
法2：因為為正三角形，點為BC中點，，
所以，
因為平面，平面，所以，
所以，
因為，
所以，則，
因為為正三角形，點為BC中點，
所以，
因為平面，平面，所以，
因為，平面，
所以平面，
因為平面，所以，
所以，
所以，
所以；
（2）由（1）知，
則以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，其中EC，EA為軸，軸的正半軸，
則
，
設(shè)平面PAC的法向量為，則
，令，則法向量為，
設(shè)平面的法向量為，則
，令，則，
設(shè)平面PAC與平面ACF夾角為，
則，
即平面PAC與平面ACF夾角的余弦值為；
（3）法1：以的中點為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，其中為軸，軸的正半軸，則，
設(shè)
，
，
令
則，
在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增
當(dāng)時，，
法2：設(shè)BC的中點為，取PA中點，過點作平面PBC垂線，垂足為，
且平面，
點的軌跡為以PA為直徑，即的球與平面PBC的相交圓弧，
由（1）可知，，相交圓半徑，
點軌跡為在平面PBC中的以為圓心，為半徑的圓弧，
，
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查線線垂直的證明，考查二面角的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意合理建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，考查空間想象能力和計算能力，屬于較難題.
18．已知為坐標(biāo)原點，是橢圓的左、右焦點，的離心率為，點是上一點，的最小值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知是橢圓的左、右頂點，不與軸平行或重合的直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，且.
①證明：直線過定點；
②設(shè)的面積為，求的最大值.
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②.
【分析】（1）應(yīng)用離心率公式及焦點到橢圓距離的最值列方程組求解，即可求出橢圓方程；
（2）①設(shè)直線方程聯(lián)立方程組得出韋達(dá)定理再應(yīng)用斜率公式得出，再結(jié)合韋達(dá)定理計算求出即可得出定點；②先表示面積計算化簡結(jié)合對勾函數(shù)得出最值.
【詳解】（1）由題可知，， 解得，
，
橢圓的方程為.
（2）①證明：設(shè)直線的方程為，，
由得，
，即，
，
在橢圓上 ，
，即，
，
，即，
在直線上，
，
，
，即，
此時，
直線的方程為，即直線過定點.
②解：記直線過定點，
，
，
，
，
令，則，
在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，有最大值.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是構(gòu)造對勾函數(shù)形式應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)的最值進(jìn)而求出面積的最大值.
19．牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法.如圖，是函數(shù)的零點，牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近的實數(shù)，在橫坐標(biāo)為的點處作的切線，則在處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)是，同理在處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)是，一直繼續(xù)下去，得到數(shù)列.令.

(1)當(dāng)時，用牛頓法求出方程的近似解；
(2)在（1）的條件下，當(dāng)時，寫出與的關(guān)系式（無需證明），并求數(shù)列的通項公式；
(3)令，已知是兩個正實數(shù)，且，求證：.
【答案】(1)
(2)；
(3)證明見解析
【分析】（1）本題根據(jù)題干給出的牛頓法解高次方程，結(jié)合曲線上某點的導(dǎo)數(shù)即為經(jīng)過該點的切線的斜率，從而求得切線方程，再求出該切線與橫軸的交點，采用逐步逼近的方法求得高次方程的近似解；
（2）根據(jù)（1）的條件逐步求得，從而遞推出與的關(guān)系式，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項公式；
（3）先求出，然后判斷的單調(diào)性，最后得到，然后不妨設(shè)函數(shù)，，判斷其單調(diào)性，然后得到，得到，利用以及的單調(diào)性，得到，最后化簡，證畢.
【詳解】（1）由題意得，因為，所以，，
所以過點的切線方程為，即，令，得；
又因為，，
所以過點的切線方程為，令，得.
綜上得，，.
（2）在（1）的條件下，；
因為，，
則在點處的切線方程為，
令，得，
即，
所以，即，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，
所以.
（3）由題可知， ，得
顯然當(dāng)時，，此時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，此時，單調(diào)遞増；
又因為是兩個正實數(shù)，且，
不妨設(shè)，
設(shè)函數(shù)，，故，
顯然時，此時單調(diào)遞增，
所以，即，有 ，
又因為，所以有，
因為，所以，
因為當(dāng)時，，此時，單調(diào)遞増，
所以，
又因為是兩個正實數(shù)，故.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：新概念題，前兩位根據(jù)新概念計算即可；第三問屬于極值點偏移，利用極值點偏移的方式，證明不等關(guān)系即可觀看場次
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人數(shù)的百分比

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