中考數(shù)學(xué)（重慶卷）--2025年中考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（考試卷+答題卷+解析+答案）

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1、鍛煉學(xué)生的心態(tài)。能夠幫助同學(xué)們樹立良好的心態(tài)，增加自己的自信心。
2、鍛煉學(xué)生管理時(shí)間。通過模擬考試就會(huì)讓同學(xué)們學(xué)會(huì)分配時(shí)間，學(xué)會(huì)取舍。
3、熟悉題型和考場。模擬考試是很接近中考的，讓同學(xué)們提前感受到考場的氣氛和布局。
中考的取勝除了平時(shí)必要的學(xué)習(xí)外，還要有一定的答題技巧和良好心態(tài)。此外，通過模擬考試還能增強(qiáng)學(xué)生們面對(duì)高考的信心，希望考生們能夠重視模擬考試。
2025年中考第一次模擬考試（重慶卷）
（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫在答題卡上．
2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
參考公式：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．
一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．
1．在下列四個(gè)數(shù)中：，，，中，屬于無理數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，根據(jù)無理數(shù)的三種形式：開方開不盡的數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)，含有的有些數(shù)，結(jié)合所給數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷即可，解題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的幾種形式．
【詳解】、是有理數(shù)，不符合題意；
、是有理數(shù)，不符合題意；
、是有理數(shù)，不符合題意；
、是無理數(shù)，符合題意；
故選：．
2．年巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)設(shè)計(jì)，不僅注重刻畫運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，更注重項(xiàng)目本身的展示．下列項(xiàng)目圖標(biāo)既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形．把一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，可以與原圖形重合，這個(gè)圖形就是中心對(duì)稱圖形；把一個(gè)圖形沿某直線折疊，直線兩旁的部分可以完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A選項(xiàng)：是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)不符合題意；
B選項(xiàng)：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)符合題意；
C選項(xiàng)：既不是中心對(duì)稱圖形，又不是軸對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)不符合題意；
D選項(xiàng)：是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
3．若，則下列各式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】由，
根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1，兩邊都減去2，得，所以A不正確；
由，
根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3，兩邊都乘以，得，
再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1，兩邊都加上1，得，所以B正確；
由，
根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2，兩邊都乘以，得，所以C不正確；
由，
根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1，兩邊都加上5，得，所以D不正確．
故選：B．
4．若正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，則反比例函數(shù)的解析式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象的中心對(duì)稱性確定交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意得出，，再把代入即可得到答案．
【詳解】解：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，
兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，，
把代入得，
，
反比例函數(shù)的解析式為，故選：C ．
5．對(duì)于命題“若，則”，下面四組關(guān)于的值中，能說明這個(gè)命題是假命題的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】本題主要考查命題真假的判定，說明命題是假命題時(shí)，只要舉出反例即可：即符合命題的條件，但不符合命題的結(jié)論；掌握舉反例的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，將各個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證即可．
【詳解】解：A、，，且，滿足“若，則”，故A選項(xiàng)不符合題意；
B、，，且，此時(shí)雖然滿足，但不成立，故B選項(xiàng)符合題意；
C、，，且，滿足“若，則”，故C選項(xiàng)不符合題意；
D、，，此時(shí)不滿足，故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
6．若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則代數(shù)式的值為（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了估算無理數(shù)．解題關(guān)鍵是熟練掌握如何估算無理數(shù)．
先估算的大小，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷的大小，從而求出，最后代入所求式子，利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，
∴
，故選：A．
7．如圖，邊長為2的正方形面積記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理、規(guī)律型以及等腰直角三角形等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和等腰直角三角形的定義，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意求得前幾個(gè)正方形的面積，再求出第．個(gè)正方形的邊長為則即可解決問題．
【詳解】解：由題意可知，第一個(gè)正方形的邊長為2，
是等腰直角三角形，
第二個(gè)正方形的邊長為，
同理：第三個(gè)正方形的邊長為，
第四個(gè)正方形的邊長為，
第個(gè)正方形的邊長為
故選：B．
8．如圖，在平行四邊形中，，，以點(diǎn)為圓心、為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，若，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查平行四邊形性質(zhì)、扇形面積公式、三角形面積公式、以及解直角三角形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)解直角三角形求得，從而求得，最后根據(jù)列式求解，即可解題．
【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，，
，
，
，
，
，
，
，故選：B．
9．如圖，在菱形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，分別交、及的延長線于點(diǎn)、、，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判斷，先由菱形的性質(zhì)得到，，，再證明，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，得到，由，推出，得到，由，推出，即可解答．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四邊形是平行 四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
10．定義：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若，且，則稱這個(gè)方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，且，所以一元二次方程為“限根方程”．關(guān)于x的一元二次方程，有下列兩個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，該方程是“限根方程”；②若該方程是“限根方程”，則m有且只有一個(gè)整數(shù)解．對(duì)于這兩個(gè)結(jié)論判斷正確的是（ ）
A．①②都正確B．①②都錯(cuò)誤C．①正確，②錯(cuò)誤 D．①錯(cuò)誤，②正確
【答案】C
【分析】本題主要考查了新定義——“限根方程”．熟練掌握新定義，解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，分類討論，是解題關(guān)鍵．
①當(dāng)時(shí)，該方程是；得到方程的根為 ，，得到，該方程是“限根方程”， ①正確；②解該一元二次方程，得出，，或，．再根據(jù)此方程為“限根方程”，即此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的判別式即可得出，當(dāng)，時(shí)，根據(jù)，得到，整數(shù)m不存在；當(dāng)，時(shí)，得到，整數(shù)m不存在．②錯(cuò)誤．
【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，原方程為： ，
解得 ， ，
∴ ，
∵，
∴該方程是“限根方程”；
∴ ①正確；
②∵，
∴，
∴或，
∴，，或，．
∵此方程為“限根方程”，
∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
∴．
當(dāng)，時(shí)，
∵，
∴，
解得：，
∵m只是一個(gè)整數(shù)，
∴m值不存在；
當(dāng)，時(shí)，，
解得：，
∴m值不存在．
綜上所述，m的值不存在．
∴②錯(cuò)誤．
∴①正確，②錯(cuò)誤．
故選：C．
二、填空題：（本大題6個(gè)小題，每小題4分，共24分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上．）
11．計(jì)算：___________．
【答案】
【分析】本題考查了零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．先根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算即可．
【詳解】解：，故答案為：．
12．如圖，隨機(jī)閉合開關(guān)中的兩個(gè)，則能讓小燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為___________．
【答案】
【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法，找出隨機(jī)閉合開關(guān)中的兩個(gè)的情況數(shù)以及能讓兩盞燈泡同時(shí)發(fā)光的情況數(shù)，即可求出所求概率，弄清題中的電路圖是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：畫樹狀圖，如圖所示：
由圖知，隨機(jī)閉合開關(guān)中的兩個(gè)有六種情況，能讓兩盞燈泡同時(shí)發(fā)光的有兩種情況：閉合，閉合，
則P（能讓兩盞燈泡同時(shí)發(fā)光）．故答案為：．
13．如圖，在中，，于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連結(jié)并延長，交邊于點(diǎn)，且，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．若，，則的長為___________．
【答案】
【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，等面積法，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先求出，運(yùn)用等面積法求出，結(jié)合勾股定理得，，然后在中，，則在中，，即可作答．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∵于點(diǎn)，
∴，
∴，
在中，，
則，解得，
依題意，設(shè)，
∴，
在中，
，解得，
∴，
在中，
∵，，
則在中，，
∴，故答案為：．
14．若關(guān)于x的一元一次不等式組有且僅有個(gè)偶數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解是正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是___________．
【答案】
【分析】此題考查了分式方程的解，解分式方程，一元一次不等式組的整數(shù)解，不等式組整理后，根據(jù)恰有個(gè)偶數(shù)解，確定出的范圍，再由分式方程的解為正數(shù)，確定出滿足題意的整數(shù)的值，求出這些整數(shù)的和即可．熟練掌握各自的解法是解、題的關(guān)鍵．
【詳解】解：不等式組整理得，解得：，
∵不等式組恰有個(gè)偶數(shù)解，
∴，解得：，
∵關(guān)于的分式方程的解是正數(shù)，
∴且，解得：且，
∴且，
∴滿足條件的整數(shù)的值有，,，，，
∴，
∴所有滿足條件的整數(shù)的值之和是．故答案為：．
15．如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)且，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若的半徑為，則四邊形面積的最小值是___________．
【答案】
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得，，則有，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，四邊形面積有最小值，由勾股定理可得，則有最小時(shí)，的值最小，根據(jù)時(shí)，的值最小，由含角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵是的切線，
∴，，
∴，
∴，
∵的半徑為，
∴，
∵，
∴，
∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，四邊形面積有最小值，
在中，，
∴，
∴最小時(shí)，的值最小，
∴當(dāng)時(shí)，的值最小，
∵，
∴，
∴，
∴（負(fù)值舍去），
∴，
故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)的綜合，掌握切線的性質(zhì)得到，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，四邊形面積有最小值，最小時(shí)，的值最小是解題的關(guān)鍵．
16．若一個(gè)五位數(shù)的百位數(shù)字和千位數(shù)字都不為0，且滿足，，則稱該五位數(shù)為“差倍數(shù)”．規(guī)定：，．例如：42152，滿足，，且，所以42152是“差倍數(shù)”，，．若是一個(gè)“差倍數(shù)”，，則的最大值為_________；若“差倍數(shù)”（，，，，，均為整數(shù)），且能被11整除，則滿足條件的的值的和為___________．
【答案】 84293 63285
【分析】本題考查了整式的加減計(jì)算，解不定方程，數(shù)的整除，難度較大，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
①由，結(jié)合條件得到，繼而得到，，繼而可求解；
②先將S表示為，由新定義得滿足，則，表示出，，則，問題化為需要被11整除即可，再分類討論枚舉即可．
【詳解】解：①，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵若一個(gè)五位數(shù)的百位數(shù)字和千位數(shù)字都不為0，且滿足，
∴最大為4，則最大為8，
∴，
∵，
∴最大為9，則，
∴的最大值為；
②∵，
∴，
∴，
∵五位數(shù)的百位數(shù)字和千位數(shù)字都不為0，滿足，
∴，
∴，
∴
，
，
∴
，
∴需要被11整除，
∵，，
∴，
∴可取，
當(dāng)，則，
∴，則
∴；
當(dāng)，則，
∴，則（舍）；
當(dāng)，則（舍）；
當(dāng)，則（舍）；
當(dāng)，則，
∴，則，
∴，
當(dāng)，則（舍），
∴滿足條件的的值的和為，
故答案為：，．
三、解答題：（本大題共8個(gè)小題，第17題16分，其余每題10分，共86分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將答題過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)位置上．
17．（1）先化簡，再求值：，其中，．
【答案】，3
【分析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值，平方差公式，完全平方公式等知識(shí)點(diǎn)，先利用平方差公式，完全平方公式計(jì)算括號(hào)里，再算括號(hào)外，然后把,的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解答此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
=
，
當(dāng)時(shí)，原式．
（2）先化簡，，然后從范圍內(nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)作為的值代入求值．
【答案】，
【分析】本題考查分式的化簡求值，先把分子分母因式分解和除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，再約分，接著根據(jù)乘法的分配律計(jì)算得到原式，然后根據(jù)分式有意義的條件，把代入計(jì)算即可，解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．
【詳解】解：
，
；，當(dāng)時(shí)，原式．
18．習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣，”某校響應(yīng)號(hào)召，鼓勵(lì)師生利用課余時(shí)間廣泛閱讀，該校文學(xué)社為了解學(xué)生課外閱讀情況，抽樣調(diào)查了20名學(xué)生每天用于課外閱讀的時(shí)間，以下是部分?jǐn)?shù)據(jù)和不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：閱讀時(shí)間在范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：
結(jié)合以上信息回答下列問題：
(1)統(tǒng)計(jì)表中的________；統(tǒng)計(jì)圖中B組對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為______度；
(2)閱讀時(shí)間在范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)的眾數(shù)是____________；根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)全校600名同學(xué)課外閱讀時(shí)間不少于的人數(shù)有______人；
(3)A等級(jí)學(xué)生中有兩名男生和兩名女生，從A等級(jí)學(xué)生中選兩名學(xué)生對(duì)全校學(xué)生作讀書的收獲和體會(huì)的報(bào)告，用列舉法或樹狀圖法求恰好選擇一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)5；144；(2)40；360；(3)
【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法以及頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)，樹狀圖法可以不重不漏的列舉出所有可能發(fā)生的情況，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
（1）由調(diào)查的學(xué)生的總?cè)藬?shù)減去其他組的人數(shù)得出的值，再由乘以組所占的比例即可；
（2）由眾數(shù)的定義得出眾數(shù)，再用樣本估計(jì)總體列式計(jì)算即可；
（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的情況，其中恰好選擇一名男生和一名女生的情況有8種，再由概率公式求解即可．
【詳解】（1）解：統(tǒng)計(jì)表中的，
統(tǒng)計(jì)圖中組對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為：，
故答案為：5，144；
（2）解：閱讀時(shí)間在范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)的眾數(shù)是40，
估計(jì)全校600名同學(xué)課外閱讀時(shí)間不少于的人數(shù)為：（人，
故答案為：40，360；
（3）解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的情況，其中恰好選擇一名男生和一名女生的情況有8種，
恰好選擇一名男生和一名女生的概率為．
19．【探究與證明】
(1)【教材再探】下面是某教材的一道問題：“如圖1，在正方形中，，求證：”．請(qǐng)完成解答過程：
證明：設(shè)與交于點(diǎn)，
∵四邊形是正方形，
__________，
，
，
__________，
，
∵∠CDF=∠BCE
（__________）填判定依據(jù)，用字母表示
(2)【類比探究】如圖2，在矩形中，，點(diǎn)分別在邊上，且，請(qǐng)問（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由；
(3)【拓展探究】如圖3，在中，，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，請(qǐng)直接寫出的長．
【答案】(1)，90，；(2)不成立，理由見解析；(3)或
【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，證明即可．
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明即可．
（3）利用三角形相似的性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：設(shè)與交于點(diǎn)
四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
∵∠CDF=∠BCE，
，
．
故答案為：，90，．
（2）解：不成立，理由如下：設(shè)與交于點(diǎn)，
證明：四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
．
（3）補(bǔ)齊矩形，由于線段的三等分點(diǎn)有兩個(gè)，故分類解答：
如圖3-1，．
同（2）得，且相似比為，
△BCE中，
中，，
，
∴
，
；
如圖3-2，同理可得．
綜上所述或．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．某蔬菜基地有甲、乙兩個(gè)用于灌溉的水池，它們的最大容量均為，原有水量分別為，，現(xiàn)向甲、乙同時(shí)注水，直至兩個(gè)水池均注滿為止．已知每分鐘向甲、乙的注水量之和恒定為，若其中某一水池注滿，則停止向該水池注水，改為向另一水池單獨(dú)注水．
(1)若每分鐘向甲注水，則哪個(gè)水池先注滿水？為什么？
(2)若每分鐘向甲注水，注水多少分鐘時(shí)，兩個(gè)水池里的水量成2倍關(guān)系？
(3)若每分鐘向甲注水，則甲比乙提前注滿，直接寫出a的值．
【答案】(1)兩個(gè)水池同時(shí)注滿水，見解析
(2)注水分鐘或30分鐘，兩個(gè)水池里的水量成2倍關(guān)系
(3)a的值為40
【分析】本題主要考查了列方程解應(yīng)用題，能根據(jù)兩水池注水速度之間的關(guān)系，分別表示出兩水池中的水量是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意，分別求出注滿甲、乙水池所需的時(shí)間即可解決問題．
（2）根據(jù)題意建立方程，結(jié)合分類討論的數(shù)學(xué)思想即可解決問題．
（3）根據(jù)題意得出當(dāng)甲注滿時(shí)，乙池的水量為，據(jù)此建立分式方程即可解決問題．
【詳解】（1）解：同時(shí)注滿，理由如下：
因?yàn)槊糠昼娤蚣鬃⑺?br>所以每分鐘向乙注水．
則（分鐘），．
因?yàn)椋?br>所以兩個(gè)水池同時(shí)注滿水．
（2）解：因?yàn)槊糠昼娤蚣鬃⑺?br>所以每分鐘向乙注水．
設(shè)注水x分鐘時(shí)，兩個(gè)水池里的水量成2倍關(guān)系，
當(dāng)甲是乙的兩倍時(shí)，
，解得．
當(dāng)乙是甲的兩倍時(shí)，
，解得，
此時(shí)乙注滿，甲正好是一半．
綜上所述，注水分鐘或30分鐘，兩個(gè)水池里的水量成2倍關(guān)系．
（3）解：因?yàn)榧妆纫姨崆白M，
所以當(dāng)甲注滿水時(shí)，乙中的水量為．
根據(jù)題意得，
，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意，所以a的值為40．
21．【閱讀材料】：
解方程：時(shí)，先兩邊同乘以x，得，解之得，，經(jīng)檢驗(yàn)無增根，所以原方程的解為，．
【模仿練習(xí)】
（1）解方程；
【拓展應(yīng)用】
（2）如圖1，等腰直角的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，B，C兩點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，且，求的值；
（3）如圖2在雙曲線有，兩點(diǎn)，如果，，那么是否為定值，若存在請(qǐng)求出，不存在請(qǐng)說明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）是定值，
【分析】本題考查閱讀理解，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)閱讀材料，進(jìn)行計(jì)算，即可；
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，根據(jù)是等腰直角三角形，則，；根據(jù)，，等量代換，全等三角形的判定和性質(zhì)，則，，，最后根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可；
（3）過點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，作軸交直線于點(diǎn)，同理證明，得，；求得，根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則∵，在反比例函數(shù)圖象上，，推出，解得，即可．
【詳解】（1）
解：先兩邊同乘以，得，
解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)無增根，
∴原方程的解為，；
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∴，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴，；
∵，，
∴，
∴，
∵點(diǎn)坐標(biāo)是，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，
∴，
由（1）可知，，
∵，
∴．
（3）是定值，理由如下：
過點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，作軸交直線于點(diǎn)，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，在反比例函數(shù)圖象上，
∴，
∴，解得，
∴．
22．某數(shù)學(xué)小組在郊外的水平空地上對(duì)無人機(jī)進(jìn)行測高實(shí)驗(yàn)，如圖，兩臺(tái)測角儀分別放在A、B位置，且離地面高均為1米（即米），兩臺(tái)測角儀相距60米（即米），在某一時(shí)刻無人機(jī)位于點(diǎn)C（點(diǎn)C與點(diǎn)A、B在同一平面內(nèi)），A處測得其仰角為，B處測得其仰角為．
【參考數(shù)據(jù)：，，，，】
(1)求該時(shí)刻無人機(jī)的離地高度；（單位：米，結(jié)果保留整數(shù)）
(2)無人機(jī)沿水平方向向左飛行2秒后到達(dá)點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)A、B、C在同一平面內(nèi)），此時(shí)A處測得無人機(jī)的仰角為，求無人機(jī)水平飛行的平均速度．（單位：米/秒，結(jié)果保留整數(shù)）
【答案】(1)23米；(2)6米/秒
【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，
（1）連接，過點(diǎn)C作，垂足為G，根據(jù)題意可得：，設(shè)米，則米，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）過點(diǎn)F作，垂足為H，根據(jù)題意可得： 米，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再利用（1）的結(jié)論求出的長，從而利用線段的和差關(guān)系求出米，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】（1）解：連接，過點(diǎn)C作，垂足為G，
由題意得：，
設(shè)米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴米，
∴，解得：，
∴米，
∵米，
∴（米），
∴該時(shí)刻無人機(jī)的離地高度約為23米；
（2）過點(diǎn)F作，垂足為H，
由題意得：米，，
在中，，
∴（米），
∵米，米，
∴米，
∴（米），
∴（米/秒），
∴無人機(jī)水平飛行的平均速度為6米/秒．
23．如圖，拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，連接．
(1)求拋物線的解析式：
(2)作直線，l交拋物線于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），已知，
①求直線l的解析式；
②點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作，垂足為點(diǎn)K，是否存在點(diǎn)P，使得以P、E、K為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；(2)①；②點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明，求得，即，設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立得，利用根與系數(shù)的關(guān)系，列方程求解即可；
②分三種情況討論，畫出圖形，同①法求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過，，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
把代入得，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：①，，，
∴，，，∴，
作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，如圖，
∵直線，即，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為，
∵直線，
∴設(shè)直線的解析式為，
聯(lián)立得，
整理得，
∴，，
∴，
即，解得，
∴直線的解析式為；
②∵，，，，
∴，，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且，
∴，
作軸交拋物線于點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，
∴點(diǎn)符合題意，
∵，即，
整理得，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
解方程得或，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交延長交拋物線于點(diǎn)，
此時(shí)，
∴，
∴點(diǎn)符合題意，
∵，直線，又，
∴，
同理，直線的解析式為，
同理，直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得，，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理，直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴點(diǎn)符合題意，
作軸于點(diǎn)，
設(shè)直線交軸于點(diǎn)，
令，，解得，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理，直線的解析式為，
聯(lián)立得，解得或，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了是二次函數(shù)的綜合問題，相似三角形的判定和性質(zhì)．正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．
24．【問題提出】
唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——將軍飲馬問題：
（1）如圖1，△ABC中，，E是的中點(diǎn)，P是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________；
【問題探究】
（2）如圖2，已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，．，在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最小值；
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，是某公園的示意圖，是三處柵欄，是該公園附近的一條道路（寬度不計(jì)），半圓及其內(nèi)部是一個(gè)帶舞臺(tái)的廣場．已知，所對(duì)的圓心角為，與所在的圓相切于點(diǎn)C，點(diǎn)E、G在上，點(diǎn)F、H在上，點(diǎn)M在上，矩形是一條河流在該公園內(nèi)的一段（），其中半圓的直徑為， ，河岸離的距離為，河寬為，為方便運(yùn)輸設(shè)備，現(xiàn)計(jì)劃垂直于河岸造橋，使得與之和最短，求出此時(shí)的長．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）如圖所示，過點(diǎn)E作于D，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小，最小值為的長，證明，求出，則，，則由勾股定理可得，即的最小值為；
（2）如圖所示，連接，過點(diǎn)D作于G，交直線于，先得到；可證明四邊形是平行四邊形，得到，，則；再證明點(diǎn)D在與平行，且與之間的距離為的直線上，過點(diǎn)D作分別交直線于M、N，則點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)，證明四邊形是平行四邊形，得到，則；如圖所示，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，，可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小，最小值為，即可得到的最小值為；
（3）如圖所示，過點(diǎn)M作于R，則四邊形是矩形，可得，將點(diǎn)P沿著垂直于的方向平移到，使得，則四邊形是平行四邊形，可得；如圖所示，以為直徑畫圓，圓心設(shè)為O，連接，可得四邊形是平行四邊形，則，，即可證明四邊形是平行四邊形，得到；過點(diǎn)C作交延長線于I，在上取一點(diǎn)使得，則即為所在圓圓心，證明四邊形是矩形，得到，解直角三角形得到；如圖所示，連接，可得當(dāng)最小時(shí)，最小，進(jìn)而推出當(dāng)五點(diǎn)共線時(shí)有最小值，最小值為；過點(diǎn)O作于K，則四邊形是矩形，則，，，得到，則的最小值為米．設(shè)此時(shí)與交于V，與交于W，證明，可得，則，即．
【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)E作于D，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
∴，，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小，最小值為的長，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：；
（2）如圖所示，連接，過點(diǎn)D作于G，交直線于，
∵△ABC和都是等腰直角三角形，．，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴；
∵，即點(diǎn)D到直線的距離為定值，
∴點(diǎn)D在與平行，且與之間的距離為的直線上，
過點(diǎn)D作分別交直線于M、N，則點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
如圖所示，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
∴，，，
∴，
∵，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小，最小值為，
∴的最小值為；
（3）如圖所示，過點(diǎn)M作于R，則四邊形是矩形，
∴，
將點(diǎn)P沿著垂直于的方向平移到，使得，
∴四邊形是平行四邊形，
∴；
如圖所示，以為直徑畫圓，圓心設(shè)為O，連接，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴；
過點(diǎn)C作交延長線于I，在上取一點(diǎn)使得，
∵與所在的圓相切與點(diǎn)C，
∴的圓心在射線上，
又∵所對(duì)的圓心角為，
∴即為所在圓圓心，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，
∴；
如圖所示，連接，
∵，
∴當(dāng)最小時(shí)，最小，
∵，，
∴，
∴當(dāng)五點(diǎn)共線時(shí)有最小值，最小值為；
過點(diǎn)O作于K，則四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值為米．
設(shè)此時(shí)與交于V，與交于W，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值問題，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造將軍飲馬模型，確定取得最值的情形．
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人數(shù)
D
3
C
B
8
A
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