本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分 150 分，考試時間 120 分鐘.請
在答題卡上作答.
第 I 卷（選擇題共 58 分）
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題滿分 5 分，共 40 分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一
項(xiàng)符合題目要求.
1. 已知全集 ，集合 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
2. 點(diǎn) 在平面直角坐標(biāo)系中位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知關(guān)于 的不等式 的解集為 ，則不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
4. 某科研團(tuán)隊(duì)對某產(chǎn)品的一項(xiàng)新功能進(jìn)行了 8 次測試，將不合格、合格、良、優(yōu)的結(jié)果分別用 0，1，2，3
標(biāo)記，若 8 次測試結(jié)果中有 3 次不合格、3 次合格、1 次良、1 次優(yōu)，則對于標(biāo)記后的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤
的是（ ）
A. 75%分位數(shù)為 1 B. 極差為 3 C. 平均數(shù)為 1 D. 方差為 1
5. 已知函數(shù) ，若 ，則 （ ）
A. 0 B. C. 1 D.
6. 若函數(shù) 的圖象向右平移 個單位長度后得到函數(shù) 的圖象，則 的最
小值為（ ）
A. B. C. D.
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7. 已知曲線 ， ，其中 ．點(diǎn) ， ， 是曲線 與 依
次相鄰的三個交點(diǎn)．若 是等腰直角三角形，則 （ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù) ，則方程 實(shí)數(shù)根的個數(shù)為（ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 5
二、選擇題：本題共 3 個小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題
目要求全部選對的得 6 分，有選錯的得 0 分，部分選對的得部分分.
9. 下列函數(shù)中最小正周期為 的是（ ）
A B. C. D.
10. 拋擲一枚骰子兩次.設(shè)“第一次向上 點(diǎn)數(shù)是 2”為事件 ，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”為事件 ，“兩次向
上的點(diǎn)數(shù)之和能被 3 整除”為事件 ，則下列說法正確的是（ ）
A. 事件 與事件 互為對立事件 B.
C. D. 事件 與事件 相互不獨(dú)立
11. 對于任意的 ， 表示不超過 的最大整數(shù)，例如： ， ．十八世紀(jì)，
被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”．下列說法正確的
是（ ）
A. 函數(shù) ， 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
B. 設(shè) ， ，則有
C. 函數(shù) ， 值域?yàn)?br>D. 不等式 的解集為
第Ⅱ卷（非選擇題共 92 分）
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知扇形的半徑為 2，圓心角為 1，則扇形的周長為______.
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13. 若 ，且 ，則 的最小值為______.
14. 若定義在 上的函數(shù) 同時滿足：① 為偶函數(shù)；② ；③對任意的
，且 ，都有 ，則不等式 的解集為______.
四、解答題：本大題共 5 個小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟
.
15. 已知角 以 軸的非負(fù)半軸為始邊，點(diǎn) 在角 的終邊上，且 ，
（1）求 及 的值；
（2）求 的值．
16. 我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬
確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn) （噸），一位居民的月用水量不超過 的部分按平價收費(fèi)，超出 的部分按
議價收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年 100 位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)
據(jù)按照 分成 9 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求直方圖中 的值；
（2）估計(jì)該地區(qū)月均用水量的 60%分位數(shù)；
（3）現(xiàn)在該地區(qū)居民中任選 2 位居民，將月均用水量落入各組的頻率視為概率，不同居民的月均用水量相
互獨(dú)立，求恰有 1 位居民月均用水量大于 60%分位數(shù)的概率.
17. 已知 為奇函數(shù)， 為常數(shù).
（1）求 的值；
（2）若 ，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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18. 已 知 函 數(shù) ， 且 ，
， .
（1）求 的值；
（2）求 在區(qū)間 上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若關(guān)于 的方程 在區(qū)間 上有且僅有 4 個不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) 的
取值范圍.
19. 雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)（歷
史上著名的“懸鏈線問題”與之相關(guān)）．其中雙曲正弦函數(shù)： ，雙曲余弦函數(shù)：
（ 是自然對數(shù)的底數(shù) ）．
（1）求 值；
（2）證明：兩角和的雙曲余弦公式 ；
（3）若關(guān)于 不等式 在 上恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
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