1.答題前，考生務(wù)必將自已的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上
無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.
一?選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1. 設(shè)集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)并集定義計算.
【詳解】因?yàn)?，所以
故選：D.
2. 已知向量 ， ， .若 、 、 三點(diǎn)共線，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出向量 ，由題意可得 ，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于 的等式，解之
即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄?， ， ，
所以， ，
因?yàn)?、 、 三點(diǎn)共線，則 ，所以， ，解得 .
第 1頁/共 19頁
故選：C.
3. 在 中，角 、 、 所對的邊分別為 、 、 ，若 ， ， ，則 的面積為
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理求出 的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出 的值，然后利用三角形的面
積公式可求得 的面積.
【詳解】在 中，因?yàn)?， ， ，
由余弦定理可得 ，
所以， ，
因此， 的面積為 .
故選：A.
4. 已知 ，其中 為實(shí)數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)?，
所以 ，
所以 ，解得 ，
故選:B.
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5. 如圖，三棱柱 的所有棱長都為 ，且 ， 、 、 分別為 、 、
的中點(diǎn)，則異面直線 和 所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】連接 、 ，推導(dǎo)出 ，可知異面直線 和 所成角等于 或其補(bǔ)角，利用
余弦定理求出 、 的長，推導(dǎo)出 ，可求出 的余弦值，即為所求.
【詳解】連接 、 ，如下圖所示：
因?yàn)?、 分別為 、 中點(diǎn)，所以， 且 ，
因?yàn)?且 ，所以，四邊形 為平行四邊形，
所以， 且 ，
因?yàn)?為 的中點(diǎn)，所以， 且 ，
所以，四邊形 為平行四邊形，則 ，
故異面直線 和 所成角等于 或其補(bǔ)角，
在菱形 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
在 中， ， ， ，
第 3頁/共 19頁
由余弦定理可得 ，
在 中， ， ， ，所以， ，故 ，
所以， .
因此，異面直線 和 所成角的余弦值為 .
故選：D.
6 若 ，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算，化簡題干中的對數(shù)式，結(jié)合參數(shù)大小與對數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)系，可得答案.
【詳解】由 ， ，
，
且 ，則 .
故選：A.
7. 設(shè)拋物線 的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ，過 的直線與 交于 、 兩點(diǎn)，記點(diǎn) 到直線
的距離為 ，且 .若點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由拋物線的定義可得 ，設(shè)點(diǎn) 、 ，設(shè)直線 的方程為 ，
將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出 ，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦長公式可得出關(guān)
于 的等式，結(jié)合 可求得 的值.
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【詳解】拋物線 的準(zhǔn)線方程為 ，由拋物線的定義可得 ，
設(shè)點(diǎn) 、 ，若直線 與 軸重合，則該直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，不合乎題意，
設(shè)直線 的方程為 ，聯(lián)立 ，可得 ，
則 ，由韋達(dá)定理可得 ，
所以， ，故 ，
所以， ，整理可得 ，
即 ，因?yàn)?，解得 .
故選：C.
8. 已知球 的半徑為 ，則在球 的內(nèi)接圓錐中，體積最大的圓錐的底面半徑為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)球 的內(nèi)接圓錐的底面半徑為 ，取圓錐的軸截面 ，取線段 的中點(diǎn) ，連接 ，
設(shè) ，則 ，可得出 ， ，設(shè)圓錐的體積為 ，求出函數(shù) 的
解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù) 取最大值時對應(yīng)的 值，即可求得對應(yīng)的 值，即為所求.
【詳解】如下圖所示，設(shè)球 的內(nèi)接圓錐的底面半徑為 ，
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顯然當(dāng)球心在圓錐的內(nèi)部時，圓錐的體積才會最大，
取圓錐的軸截面 ，取線段 的中點(diǎn) ，連接 ，則 ，且 在線段 上，
設(shè) ，則 ，且 ， ，
設(shè)圓錐的體積為 ，
則 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
所以，函數(shù) 時取最大值，此時， .
故選：A.
二?多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目
要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分.
9. 為了豐富校園文化生活，展現(xiàn)學(xué)生的才藝風(fēng)采，激發(fā)學(xué)生的藝術(shù)創(chuàng)造力和表現(xiàn)力，某校舉行了“綻放青春，
藝路有你”才藝大賽.甲、乙兩位同學(xué)才藝表演結(jié)束后，6 位評委對甲、乙進(jìn)行打分（滿分 10 分），得到如圖
所示的折線統(tǒng)計圖，則（ ）
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A. 甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)
B. 甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)
C. 甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)
D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
【答案】BCD
【解析】
【分析】運(yùn)用平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)的公式計算，和方差的意義逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：
甲： ，乙： ，
甲得分的中位數(shù)為 ，乙得分的中位數(shù)為 ，甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，故 C 正確；
甲得分的眾數(shù) ，乙得分的眾數(shù)為 ，甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)，故 B 正確；
甲得分的平均數(shù) ，乙得分的平均數(shù)
，所以甲得分的平均數(shù)等于乙得分的平均數(shù)，故 A 錯誤；
由圖可以看出甲得分的波動比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故 D 正確.
故選：BCD
10. 已知函數(shù) 的最大值與最小值的差為 2，其圖象與
軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，且圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為 2，則（ ）
A.
B.
C.
D. 的單調(diào)遞增區(qū)間為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角公式化簡 得 ，根據(jù)最大值、相鄰兩條對稱軸的
距離、交點(diǎn)坐標(biāo)求出 、 、 的值，再計算單調(diào)區(qū)間即可.
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【詳解】 ，
因?yàn)?的最大值與最小值的差為 2，， ，解得 ，A 選項(xiàng)正確；
因?yàn)楹瘮?shù)圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為 ，可得函數(shù)的最小正周期為 ，即 ，解得 ，B
選項(xiàng)不正確；
又 的圖象與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，可得 ，解得
，C 選項(xiàng)正確；
所以函數(shù)的解析式為 ， ，
，所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，D 選項(xiàng)正確.
故選:ACD.
11. 已知函數(shù) 的定義域?yàn)?，對任意 ，均滿足 ，
且 ，則（ ）
A. 函數(shù) 為偶函數(shù)
B. 8 是 的一個周期
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】令 ，求得 ，令 ，得出 為偶函數(shù)，即可判斷 A； ，得出
周期為 4，即可判斷 B；根據(jù)周期性，即可得出 ，即可判斷 C；求得 ，結(jié)合
周期性得出 即可判斷 D．
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【詳解】對于 A，令 ，得 ，所以 ，
令 ，得 ，即 ，所以 為偶函數(shù)，
所以 ，則 為奇函數(shù)，故 A 錯誤；
對于 B，令 ， ，即
，
所以 周期為 4，故 B 錯誤；
對于 C，令 ， ，
所以 ，所以 關(guān)于 對稱，且 ，
又 周期為 4，所以 ，故 C 正確；
對于 D，令 ，得 ，即 ，
令 ， ，得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，故 D 正確；
故選：CD．
三?填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 若雙曲線 的一條漸近線上的點(diǎn) 關(guān)于另一條漸近線的對稱
點(diǎn)恰為右焦點(diǎn) ，則雙曲線 的漸近線方程為__________，實(shí)軸長為__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由點(diǎn)在漸近線上可求得 ，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)計算實(shí)軸長即可.
【詳解】由點(diǎn) 在雙曲線 的一條漸近線上，可得 ，
則雙曲線 的漸近線方程為 ；
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記坐標(biāo)原點(diǎn)為 ，則 ，即 ．
因?yàn)?，所以 ， ，故實(shí)軸長為 ．
故答案為： ； .
13. 某工人給排成一排的 塊地磚上色，可用顏色為固定的第 號至第 號，共 種顏色，其中 ，
.上色完畢后，若滿足相鄰兩塊地磚顏色不同，且只使用了第 號至第 號顏色（每種顏色至少使用一
次， ， ），則稱此方案為一種 上色方案.當(dāng) 時，不同的 上色方案共有__________
種.
【答案】
【解析】
【分析】不妨將 塊排成一排的地磚從左至右依次記為 、 、 、 ，分析可知，一定有 塊地磚同色，
列舉出同色的情況，結(jié)合排列計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】不妨將 塊排成一排 地磚從左至右依次記為 、 、 、 ，
用 種顏色給地磚上色，每種顏色至少使用一次，相鄰地磚不能同色，所以一定有 塊地磚同色，
同色的情況有 、 、 ，共 種，
所以，共有 種不同的 上色方案.
故答案為： .
14. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) ，動點(diǎn) 滿足 ，記 的軌跡為曲線 ，直
線 與 交于 兩點(diǎn)，當(dāng) 取得最小值時， 的值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè) ，由 有 ，由點(diǎn)到直線的距離公式有 ，即
，分析 的取值即可求解.
【詳解】設(shè) ，則由 有 ，
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即 ，則曲線 是以圓心為 ，半徑為 的圓，
則圓心 到直線 的距離為 ，
則 ，當(dāng) 取最大值時， 取得最小值，
所以 ，要使 取最大值則 ， ，
當(dāng) 取最小值時， 取最大值，
所以當(dāng) 時， ，
當(dāng) 時，等號成立，
所以 ， ，
當(dāng) 時， 取得最小值 ，
所以 ，
故答案為： .
四?解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知等比數(shù)列 是遞減數(shù)列， 的前 項(xiàng)和為 ，且 、 、 成等差數(shù)列，
，數(shù)列 滿足 ， ，
（1）求 和 的通項(xiàng)公式；
（2）若 ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
第 11頁/共 19頁
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，根據(jù)題意可得出關(guān)于 、 的方程組，結(jié)合數(shù)列 為遞減數(shù)
列可求得 、 的值，即可得出等比數(shù)列 的通項(xiàng)公式；推導(dǎo)出 ，結(jié)
合 可求得數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（2）分 為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，化簡 的表達(dá)式，利用錯位相減法、裂項(xiàng)相消法結(jié)合分組求和法可
求得 .
【小問 1 詳解】
設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，由題意可得 ，則 ，
因?yàn)閿?shù)列 是等比數(shù)列，解得 ，所以， ，
因?yàn)?，所以， ，
因?yàn)?，則 ，所以， ，故 .
【小問 2 詳解】
當(dāng) 為奇數(shù)時， ，令 ，
則 ，
所以， ，
兩個等式作差可得
，
化簡得 ；
當(dāng) 為偶數(shù)時， ，
第 12頁/共 19頁
令 ，則
，
故 .
16. 如圖，在直三棱柱 中， 為 的中點(diǎn)， .
（1）證明： 平面 .
（2）求直線 與平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先連接 ，再根據(jù)中位線得出 ，最后應(yīng)用線面平行判定定理證明 平面
；
（2）求出平面 的法向量，利用空間向量夾角余弦公式能求出 與平面 所成角的正弦值．
【小問 1 詳解】
連接 ，
∵E 為 中點(diǎn)， 為 的中點(diǎn)，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
第 13頁/共 19頁
∴ 平面 ；
【小問 2 詳解】
以點(diǎn) C 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則 ，
則 ，
設(shè)平面 的法向量 ，
則 ，取 ，則 ，
設(shè) 與平面 所成角為 ，
則 與平面 所成角的正弦值為：
．
17. 已知函數(shù) ， .
（1）求 的單調(diào)區(qū)間；
（2）若 的最大值為 ，證明： ， .
【答案】（1）增區(qū)間為 ，減區(qū)間為
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求出函數(shù) 的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）由函數(shù) 的最大值可求出 的值，將所證不等式變形為 ，構(gòu)造函數(shù)
第 14頁/共 19頁
，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù) 的單調(diào)性與極值，可證得 ，即可證得結(jié)論成立.
【小問 1 詳解】
因?yàn)楹瘮?shù) 的定義域?yàn)?，且 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函數(shù) 的增區(qū)間為 ，減區(qū)間為 .
【小問 2 詳解】
由（1）知， ，解得 ，
要證 ，即證 ，即證 ，
令 ，其中 ，則 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函數(shù) 的減區(qū)間為 ，增區(qū)間為 ，
所以， ，即 ，
所以， ， ，即 .
18. 亞冬會于 年 月 日至 月 日舉行.某體育局為普及亞冬會知識，組織了答題活動.設(shè)置一
個抽題箱，箱中有若干裝有題目的小球，小球的大小、顏色、質(zhì)量都一樣，每次答題抽取一個小球.每個小
球內(nèi)只有一道題目，每道題目只有一個分值，題目分值分別為 分、 分、 分.已知 分題目小球被抽到的
概率為 ， 分題目小球被抽到的概率為 ， 分題目小球被抽到的概率為 ，且每次抽完會補(bǔ)充一個同
分值小球到箱內(nèi).
（1）已知甲回答 分、 分、 分題目正確的概率分別為 、 、 ，求甲抽取 次，抽到 種不同分值
的題目，且累積得分不低于 分的概率；
（2）若甲抽取 次，記 表示甲 次抽取的題目分值之和，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
（2）分布列答案見解析，
【解析】
第 15頁/共 19頁
【分析】（1）對甲抽取的 個題目的分值進(jìn)行分類討論，確定每種情況下答題累積得分不低于 分，利用獨(dú)
立事件和互斥事件的概率公式可得出所求事件的概率；
（2）分析可知，隨機(jī)變量 的所有可能取值為： 、 、 、 、 、 、 ，計算出隨機(jī)變量 在不同
取值下的概率，可得出隨機(jī)變量 的分布列，進(jìn)而可求得 的值.
【小問 1 詳解】
若甲 次答題累積得分不低于 分，則甲抽取的 個題目的分值可以是 、 、 ，
當(dāng)甲抽取的 個題目的分值是 時，概率為 ，
要使得累積得分不低于 分，則 個題要全答對，所以，概率為 ；
當(dāng)甲抽取的 個題目的分值是 時，概率為 ，
要使得累積得分不低于 分，則 個 分題要答對，概率為 ；
當(dāng)甲抽取的 個題目的分值是 時，概率為 ，
要使得累積得分不低于 分，則 個 分題要答對，概率為 .
故甲 次答題累積得分不低于 分的概率為 .
【小問 2 詳解】
的所有可能取值為： 、 、 、 、 、 、 ，
， ，
，
， ，
， ，
第 16頁/共 19頁
所以，隨機(jī)變量 的分布列如下表所示：
所以， .
19. 對于給定的橢圓 ，與之對應(yīng)的另一個橢圓 且
，則稱 與 互為共軛橢圓.已知橢圓 與橢圓 互為共軛橢圓，
是橢圓 的右頂點(diǎn).
（1）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）不過點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于 、 ，且直線 與直線 的斜率之積為 .
①證明：直線 過定點(diǎn).
②試問在 軸上是否存在點(diǎn) ，使得直線 、 的斜率之積為定值？若存在，求出該定值；若不存在，
請說明理由.
【答案】（1）
（2）①證明見解析；②答案見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于 、 、 的方程組，解出 、 的值，即可得出橢圓 的標(biāo)準(zhǔn) 方程；
（2）①設(shè)點(diǎn) 、 ，將直線 的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)
求出 的值，化簡直線 的方程，可得出直線 所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；
②設(shè)點(diǎn) ，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率公式化簡 ，結(jié)合 為定值求出 值，即可結(jié)論.
【小問 1 詳解】
由題意可得 ，解得 ， ，
第 17頁/共 19頁
故橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【小問 2 詳解】
①設(shè) 、 ，
聯(lián)立 可得 ，
則 ，可得 ，
由韋達(dá)定理可得 ， ，
因?yàn)?， ，
所以，
，
整理可得 ，即 ，解得 或 ，
若 ，則直線 的方程為 ，此時，直線 過點(diǎn) ，不合乎題意，
所以， ，所以，直線 的方程為 ，則直線 過定點(diǎn) ；
②由①可知， ， ，
第 18頁/共 19頁
設(shè)點(diǎn) ，則 ， ，
所以，
，
要使得直線 、 的斜率之積為定值，只需 ，解得 ，
當(dāng) 時， ；
當(dāng) 時， .
故在 軸上存在點(diǎn) ，使得直線 、 的斜率之積為定值，
當(dāng)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 時，直線 、 的斜率之積為定值 ；
當(dāng)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 時，直線線 、 的斜率之積為定值 .
第 19頁/共 19頁

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